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1、1 第六章第六章 线性反馈系统的时间域综合线性反馈系统的时间域综合 6.1 引言 6.2 状态反馈和输出反馈 6.3 状态反馈极点配置：单输入情形 6.4 输出反馈极点配置 6.5 状态反馈镇定 6.6 跟踪控制和扰动控制 6.7 线性二次型最优控制：有限时间情形 6.8 线性二次型最优控制：无限时间情形 6.9 全维状态观测器 6.10 降维状态观测器 6.11 Kx-函数观测器 6.12 基于观测器的状态反馈控制系统的特性 6.13 小结和评述 2 概概 述述 综合与分析相反，已知的是系统的结构和参 数，以及所期望的系统运动形式或其某些特 征，用来确定需要施加于系统的外输入作用 即控制作用
2、的规律 本章以状态空间描述和状态空间方法为基础 ，主要在时间域内讨论线性反馈系统的综合 问题。 返回 3 6.1 6.1 引言引言 综合问题的提法 给定系统 和期望的性能指标，综合就是寻找一控制作用u，使 得其作用下系统运动的行为满足所给出的期望性能 指标。 状态反馈控制输出反馈控制 u = -Kx + v 状态反馈系统 u = -Fy + v 输出反馈系统 4 性能指标的类型性能指标的类型 非优化型性能指标 镇定问题：以渐近稳定作为性能指标 极点配置问题：以一组期望的闭环系统极点作为性能指标 解耦控制问题：使一个多输入-多输出系统实现“一个输入 只控制一个输出”作为性能指标 跟踪问题：系统的
3、输出y无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作 为性能指标 优化型性能指标 二次型积分性能指标 确定一个控制u*()，使J(u*()取极小值，通常，u*()称最 优控制，J(u*()称最优性能。 5 研究综合问题的思路研究综合问题的思路 建立可综合条件 指相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的 控制存在并实现综合目标所应满足的条件。 建立相应的用以综合控制规律的算法 对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制律。 工程实现中的一些理论问题工程实现中的一些理论问题 状态反馈物理构成问题 系统模型的不准确和参数摄动问题 对外部扰动的影响的抑制问题 返回 6 6.2 6.2 状态反馈和输出
4、反馈状态反馈和输出反馈 状态反馈和输出反馈的构成 Go(s)=C(sI-A)-1B 状 态 反 馈 输 出 反 馈 7 状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测状态反馈和输出反馈系统的能控性和能观测 性性 证明：I. 状态反馈系统xf能控的充要条件是受控系统0能控。 Qc = B | AB | | An-1B QcK = B |( A-BK)B | | |( A-BK)n-1B 结论6.1 状态反馈的引入，不改变系统的能控性。 结论6.2 状态反馈的引入，可能改变系统的能观测性。 另一方面， 0也可看作xf的状态反馈系统 综上， 8 II. 状态反馈系统不一定能保持能观测性 举例说明，系统 所以
5、系统能观测 加入状态反馈，K = 0 5 ，则 所以状态反馈可能改变系统的能观测性 9 结论6.3 输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性 和能观测性，即输出反馈系统 yf为能控(能观测)的充 分必要条件是受控系统 0为能控(能观测)。 状态反馈和输出反馈的比较状态反馈和输出反馈的比较 输出反馈为系统结构信息 的不完全反馈，改善措施 是采用动态输出反馈系统 状态反馈通常不可直 接量测，改善措施是 引入状态观测器 返回 10 6.3 6.3 状态反馈极点配置：单输入情形状态反馈极点配置：单输入情形 问题的提法 线性定常受控系统 给定期望的闭环系统极点 状态反馈极点配置问题就是对给定的受控系统，确
6、定 状态反馈控制u = -Kx + v，v为参考输入，即确定状态 反馈增益矩阵K，使得导出的状态反馈闭环系统 的极点为 ，即 11 期望闭环极点组的性能指标属性，联系控制理论和 控制工程 控制工程中基本类型性能指标 时间域性能指标：单位阶跃响应定义 超调量s = 响应曲线第一次越过稳态值达到峰点时超调部 分与稳态值之比 过渡过程时间ts = 响应曲线最终进入稳态值5%(或2%) 范围而不再跃出的时间 上升时间tr = 响应曲线首次从稳态值10%过渡到稳态值 90%所需时间 延迟时间td = 响应曲线首次达到稳态值50%所需时间 峰值时间tp = 响应曲线第一次达到峰点时间 期望闭环极点组期望闭
7、环极点组 12 频率域性能指标：频率响 应幅频特性定义 谐振峰值Mr = 幅频特性曲 线达到峰点的值 谐振角频率wr= 幅频特性曲 线峰值点对应角频率值 截止角频率wcc= 幅频特性 曲线值为0.707处对应角频 率值 二阶系统的性能指标关系式 典型二阶单输入单输出连续时间线性时不变系统 T：时间常数；0 z 0，Q 0，或Q 0且A，Q1/2能观测，则 证明：I. Q 0，由解阵P的性质，P 0。取李亚普诺夫函数 V(x) = xTPx为正定，有 37 负定 又因为 ，所以闭环系统大范围渐近稳定 II. Q 0且(A，Q1/2)为能观测。 V(x) = xTPx为正定 负半定 反证法证明对一
8、切x00的运动解x(t)，有 0。设对某个x00 的x(t)有 0，所以xT(t)Qx(t)0，xT(t)PBR-1BTPx(t)0 0 (R-1BTPx(t)TR(R-1BTPx(t) = u*T(t)R u*(t) 0 xT(t)Q1/2 Q1/2x(t) = Q1/2x(t)TQ1/2x(t) u*(t) 0 Q1/2 x(t) 0 与A，Q1/2为能观测相矛盾，所以有 0 所以闭环系统大范围渐近稳定，证明完成。 38 引入衰减度后，LQ调节问题变为 在综合得到的最优调节系统中，闭环系统矩阵的所有特征值的 实部均小于-a，引入线性变换 转换为无限时间时不变LQ调节问题 39 结论6.43
9、 指定衰减度的无限时间时不变LQ调节问题， 最优控制的充要条件是 u*(t)=-K*x*(t)，K* = R-1BTP 最优调节系统为 则最优调节系统以a为衰减上限指数稳定，即 其中，P为矩阵黎卡提代数方程的正定对称解阵： 40 最优调节系统的频率域条件最优调节系统的频率域条件 结论6.44 多输入无限时间时不变LQ调节问题，最 优调节系统，必满足如下频率条件： I+R1/2K*(-jwI-A)-1BR-1/2T I+R1/2K*(jwI-A)-1BR-1/2 I 其中等号只对有限个w值成立 。 结论6.45 单输入无限时间时不变LQ调节问题，最 优调节系统必满足如下频率条件： |1+k*(j
10、wI-A)-1b| 1 其中等号只对有限个w值成立 。 41 单输入情况频率域条件的几何解释 |1+g0(jw)| 1 结论6.46 单输入时不变无限时间LQ调节问题，最优 调节系统的频率域条件几何表示为，开环频率响应 g0(jw) = k*(jwI-A)-1b在复平面上由w = 0变化到w = 的曲线必不进入单位圆G(-1, j0)内，且g0(jw)曲线和单 位圆G(-1, j0)只有有限个相切点。 42 最优调节系统的鲁棒性最优调节系统的鲁棒性 鲁棒性：指当受控系统的参数或反馈增益阵的参数发 生摄动时，闭环调节系统仍能保持渐近稳定的属性。 增益裕度：保 持闭环系统渐近稳定 的b的变化范围。
11、 相角裕度： g0(jw)当w=0的曲 线和单位圆的交点与 负实轴的夹角。 43 结论6.47 单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优 调节系统必具有 (i) 至少60o的相角裕度； (ii) 从1/2到的增益裕度。 结论6.48多输入无限时间时不变LQ调节问题，取相 对控制输入加权阵R = diagr1，. ，rp，ri 0，则 最优调节系统的每个反馈控制回路必具有： (i) 至少60o的相角裕度； (ii) 从1/2到的增益裕度。 多输入情况 44 反馈通道中包含非线性摄动的鲁棒性问题 结论6.49 多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调 节系统的反馈通道内包含非线性摄动F(s)，s=K
12、*x，则 当其满足如下扇形条件时： k1sTRs sTRF(s) k2sTs，s 0 其中，1/21 返回 62 6.11 6.11 KxKx - - 函数观测器函数观测器 能控能观测系统 以Kx为重构目标的函数观测器可取为： 结论6.70 成为Kx-函数观测器的充要条件为 (1) TA FT = GC，T为mn实常阵 (2) H = TB (3) F的全部特征值均具有负实部。 (4) MT + NC = K 函数观测器的目标为： 63 如何确定函数观测器的维数m 结论6.71 如果K为1n维常向量，可取m=g 1，g为 A，C的能观测型指数 算法6.13 ： 计算被估计系统的能观测性指数g
13、指定函数观测器的特征值 ，都 为具有负实部的共轭复数或负实数，则 取 64 引入非奇异变换PT=CT，RT，rankC=q，R 需保证P为非奇异，则 ， 计算 求解 组成 65 求解 组成 组成 并计算 66 所设计的(g-1)维Kx-函数观测器 且成立 对于函数Kx，函数观测器的最小维数因具体问题的 不同而不同。若pn阵K为秩1的，即rankK=1，表K = rK1，其中r为p1，K1为1n常向量，同样可取g 1 维函数观测器重构Kx。算法如上所示。 返回 67 6.12 6.12 基于观测器的状态反馈控制系统基于观测器的状态反馈控制系统 的特性的特性 基于观测器的状态反馈系统的组成 68
14、基于观测器的状态反馈系统的特性基于观测器的状态反馈系统的特性 令KB为包含观测器的状态反馈系统，0和OB分别为受 控系统和观测器，则它们的维数之间成立： dim(KB) = dim(0) + dim(OB) 包含观测器的状态反馈系统的特征值集合具有分离性， KB的特征值集合=li(A-BK)，i = 1,，n； lj(F)，j = 1, ，n-q 分离性原理：观测器的引入不影响由状态反馈阵K所配 置的系统特征值li(A-BK)，i=1,，n；状态反馈的引入 也不影响已设计好的观测器的特征值lj(F)，j = 1, ，n- q。所以对包含观测器的状态反馈系统其设计可分离地 来进行； 69 基于观
15、测器的状态反馈系统的特性基于观测器的状态反馈系统的特性 观测器的引入不改变原状态反馈系统的传递函数矩阵 观测器的引入使状态反馈系统KB不再保持能控性，即 KB不完全正确能控，且分解后的能控部分为A- BK,B,C 一般地说，包含观测器的状态反馈系统在鲁棒性上较直 接状态反馈系统为差。 观测器综合原则：通常选择观测器特征值负实部取为A- BK特征值负实部的2-3倍，即 Re (F) = (23) Re (A - BK) 70 具有观测器状态反馈系统和具有补偿器输出反具有观测器状态反馈系统和具有补偿器输出反 馈系统的等价性馈系统的等价性 G1(s)=KQ2(sI-F)-1H G2(s)=KQ2(sI-F)-1G+ KQ1 Gp(s)= G2(s) GT(s)=I + G1(s)-1 71 6.13 6.13 小结和评述小结和评述 本章定位：对连续时间线性时不变状态反馈控制系统 的综合和实现方法的系统论述 控制系统综合的理论和方法：核心是对相应类型性能 指标建立状态反馈可综合条件；实质是为确定状态反 馈提供可行算法 极点配置问题：节6.3节6.6 动态解耦和静态解耦问题：节6.7节6.
