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1、高考真题之导数 李传文导数及其应用2006年18（本小题满分12分）设函数，其中，求的单调区间.解：由已知得函数的定义域为，且（1）当时，函数在上单调递减，（2）当时，由解得、随的变化情况如下表0+极小值从上表可知当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递增.综上所述：当时，函数在上单调递减.当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增.2007年(22)(本小题满分14分)设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln()都成立.22【答案】(I) 函数的定义域为.，令，则在上
2、递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得2008年21（本小题满分12分）已知函数，其中，为常数（）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数，当时，
3、有21（）解：由已知得函数的定义域为，当时，所以（1） 当时，由得，此时当时，单调递减；当时，单调递增（2）当时，恒成立，所以无极值综上所述，时，当时，在处取得极小值，极小值为当时，无极值（）证法一：因为，所以当为偶数时，令，则（）所以当时，单调递增，又，因此恒成立，所以成立当为奇数时，要证，由于，所以只需证，令，则（），所以当时，单调递增，又，所以当时，恒有，即命题成立综上所述，结论成立证法二：当时，当时，对任意的正整数，恒有，故只需证明令，则，当时，故在上单调递增，因此当时，即成立故当时，有即A B C x 2009年21）（本小题满分12分）两县城A和B相距20Km，现计划在两县城外以A
4、B为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和。记C点到城A的距离xKm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为Y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为K，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B）总影响度为0.065（）将Y表示成X的函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）讨论（）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距
5、离；若不存在，说明理由。21. 解法一:（1）如图,由题意知ACBC,其中当时，y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为（2）,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.解法二: （1）同上.（2）设,则,所以当且仅当即时取”=”.下面证明函数在(0,160)上为减函数, 在(160,400)上为增函数.设0m1m2160,则 ,因为0m1m242402409 m1m29160160所以,所以即 函数在(0,160)上为减函数.同理,函数在(160,400)上为增函数,设160m1m2400
6、,则因为1600m1m2400,所以49160160所以,所以即函数在(160,400)上为增函数.所以当m=160即时取”=”,函数y有最小值,所以弧上存在一点，当时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小.2010年22)(本小题满分14分)已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.【解析】()原函数的定义域为（0，+，因为 =，所以当时，令得，所以此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；当时，所以此时函数在（0，+是减函数；当时，令=得，解得（舍去），此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；当时，令=得，解得，此
7、时函数在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数；当时，令=得，解得，此时函数在1）上是增函数；在（0，）和+上是减函数；当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在（0，1）上是增函数；在（1，+上是减函数。（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即， 即，所以，解得，即实数取值范围是。【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。（
8、1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间1,2上的最大值，然后解不等式求参数。2011年21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元.（）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的.【解析】（）因为容器的体积为立方米，所以,解得,所以圆柱的侧面积为
9、=,两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为(0,).（）因为+=,所以令得:; 令得:,所以米时, 该容器的建造费用最小.2012年22(本小题满分13分)已知函数f(x) = （k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y= f(x)在点（1，f(1)）处的切线与x轴平行。（）求k的值；（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数，证明：对任意x0，。解析：由f(x) = 可得，而，即，解得；（），令可得，当时，；当时，。于是在区间内为增函数；在内为减函数。简证（），当时， ，.当时，要证。只需证，然后构造函数即可证明.2013年21、（本
10、小题满分13分） 设函数（是自然对数的底数，）（）求的单调区间、最大值； （）讨论关于的方程根的个数。21、解：（）， 由 ，解得， 当 时，单调递增； 当 时，单调递减. 所以，函数 的单调递增区间是，单调递减区间是，最大值为. （）令. （1） 当 时， ，则， 所以 . 因为 ， 所以 因此 在上单调递增.（2）当 时， ，则，所以 .因为，所以.又，所以，即，因此 在上单调递减.综合（1）（2）可知 当 时，.当，即时，没有零点，故关于的方程的根的个数为0；当，即时，只有一个零点，故关于的方程的根的个数为1；当，即时， 当时，由（）知 ， 要使，只需使，即 ； 当时，由（）知 ， 要使
11、，只需使，即 ；所以 时，有两个零点，故关于的方程的根的个数为2.综上所述，当时，关于的方程的根的个数为0；当时，关于的方程的根的个数为1；当时，关于的方程的根的个数为2.2014年（20）（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.20解：由题，。由可得，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增。所以，的单调递减区间为，单调递增区间为；由知，时，函数在内单调递减，所以在内不存在极值点；当时，设，因，当时，当时，函数单调递增。所以在内不存在两个极值点；当时，得：当时，函数单调递减，当时，函数单调递增。所以函数
12、的最小值为。函数在内存在两个极值点，当且仅当，解得。综上所述，函数在内存在两个极值点时，的取值范围为。2015年（21） （本小题满分14分）设函数，其中.（）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（）若，成立，求的取值范围.解：（），定义域为，设，当时，函数在为增函数，无极值点.当时，若时，函数在为增函数，无极值点.若时，设的两个不相等的实数根，且，且，而，则，所以当单调递增；当单调递减；当单调递增.因此此时函数有两个极值点；当时，但，所以当单调递増；当单调递减.所以函数只有一个极值点。 综上可知当时的无极值点；当时有一个极值点；当时，的有两个极值点.（）由（）可知当时在单调递增，而，则当时，符
13、合题意；当时，在单调递增，而，则当时，符合题意；当时，所以函数在单调递减，而，则当时，不符合题意；当时，设，当时，在单调递增，因此当时，于是，当时，此时，不符合题意.综上所述，的取值范围是.另解：（），定义域为，当时，函数在为增函数，无极值点.设，当时，根据二次函数的图像和性质可知的根的个数就是函数极值点的个数.若，即时，函数在为增函数，无极值点.若，即或，而当时此时方程在只有一个实数根，此时函数只有一个极值点；当时方程在都有两个不相等的实数根，此时函数有两个极值点；综上可知当时的极值点个数为0；当时的极值点个数为1；当时，的极值点个数为2.（）设函数，都有成立.即当时，恒成立；当时，；当时，；由均有成立。故当时，则只需；当时，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是.另解：设函数，要使，都有成立，只需函数函数在上单调递增即可，于是只需，成立，当时，令，
