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1、3. 光在几类特殊晶体中的传播规律 (1) 各向同性介质或立方晶体 (2) 单轴晶体 A. 两种特许线偏振光波(本征模式) B. e 光的波法线方向和光线方向 (3) 双轴晶体 4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述 (1) 各向同性介质或立方晶体 主介电系数 1= 2 = 3 = n02 将波法线菲涅耳方程通分、整理，得到： 1= 2 =3= n02，并注意到 k12+k22+k32 = 1，上式简化为： k1E1+k2E2+k3E3=0 解得重根 n= n= n0。 把 n= n= n0 代入(4.2-34)，得到三个完全相同的关系式： 在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波折射率都等 于
2、主折射率 n0 ，即光波折射率与传播方向无关。 各向同性介质中D, E, k, s 的关系 E E D D sk 在各向同性介质或立方晶体中传播的光波，允许有两个 传播速度相同的线性不相关的偏振态，两偏振方向正交。相 应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。 (2) 单轴晶体 则： k1 = 0, k2 = sin , k3= cos ne no 正单轴晶体 ne no 负单轴晶体 A 两种特许线偏振光波(本征模式) 为讨论方便，取 在x2Ox3平面内，并与 x3 轴夹角为 。 主介电系数为： (4.2-31) 解得： (4.2-45) 化简得 (4.2-44) 将 代入(4.2-3
3、1)得到 n = no n与光传播方向无关，相应的光波称为寻常光波，即 o光。 在晶体中只有 x3 轴一个方向是光轴，称为单轴晶体。 对于 e 光，当 =/2 时，n= ne；当 =0 时，n= no 。 可见，当 与 x3 轴方向一致时，光的传播特性如同在各向 同性介质中一样， n= n= no ，因此把 x3 轴称为光轴。 n与光传播方向有关，随 变化，相应的光波称为异常光波( 非寻常光波、非常光波)，即 e 光。 将 n = n= no和k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得 O 光 因此 O 光的 平行于x1轴， 。对于一般的 方 向，O 光的 垂
4、直于 与光轴(x3 )所决定的平面。又由于 ，所以 O 光 。 第一式中系数为零，E1 有非零解； 第二、三式系数行列式不为零，E2 =E3 =0 。 将 n = n和 k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得 e 光 一式中系数不为零，所以 E1 = 0 ； 二、三式系数行列式为零，E2 和 E3 有非零解。 D1= 01E1 = 0 ，所以 在x2O x3面内，但 不平行于 。 另外 、 与光轴共面，但 与 不平行。仅当 =/2 时， E2=0， 与光轴平行， ， 。 位于x2O x3平面内，即 与光轴(x3 )所决定的平面内。 单轴晶体中存在两种特许偏
5、振方向的光波(本征模式)： o 光和 e光。对应于某一波法线方向 有两条光线： 和 ， 两种光波的 ( )彼此垂直。 对于o光： ，并且垂直于 与光轴所确定的平面； 折射率不依赖于 的方向； 与波法线方向重合。这种特性 与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常波。 对于 e光： 与 一般不平行，并且都在 与光轴所确 定的平面内。它们与光轴的夹角随 的方向改变；折射率 随 的方向变化； 与波法线方向不重合。这种特性与光 在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波。 x1 x3 x2 De Eo Do so Ee se k 图4-6 单轴晶体中的 o 光和 e 光 B. e 光的波
6、法线方向和光线方向 由上分析已知，单轴晶体中 e 光波法线方向与光线方 向之间存在着一个夹角，通常称为离散角。确定这个角度 ， 对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。 则：(4.2-49) 由几何关系得(4.2-50) 对于 同一e 光：取 x3 轴为光轴， 均在主截 面 x2Ox3 平面内， 与 x3 轴的夹角为 ， 与 x3 轴的夹角为 ，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系，则有 根据离散角的定义 将 (4.2-51)式代入，整理得 由(4.2-49)和 (4.2-50)式可得 (4.2-51) (4.2-52) (4.2-53) 可见： 当 = 0或 = 90 ，即光波法线方向 平行
7、或垂直于光轴 时，=0。此时， 与 、 与 方向重合。 /2时，对于正单轴晶体，ne no， 0，e光的光线较 其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne no， 0，e光 的光线较其波法线远离光轴。 当 与光轴间的夹角 满足： 时， 证明： 时， 将 = 对 求导，得 为得到最大离散角 M ，应令 d /d = 0，即 由 ，有 求解得： 由此得： (4.2-51) (4.2-52) 图 4 - 7 实际的晶体元件方向 光轴 空气晶体 e光 o 光 实际应用中，经常要 求晶体元件工作在最大离 散角的情况下，同时满足 正入射条件。 通光面(晶面)与光轴 的夹角 = 90 。 则 满足： (3) 双
8、轴晶体 12 3 ，n1n2 n3 。 通常 1 2 3 。 双轴晶体有两个光轴，当光沿该二光轴方向传播时，其相 应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率)相等。 由波法线菲涅耳方程可以证明，两个光轴都在x1Ox3平面 内，并且与 x3 轴的夹角分别为 和 。 小于 45 的晶体，叫正双轴晶体; 大于 45 的晶体，叫负双轴晶体。 光轴1光轴2 x3 x1 x2(垂直纸面向内) 由(4.2-31)式可以证明，若光波法线方向 与二光轴方 向的夹角为1和2时，相应的二特许偏振光的折射率满足： 当1=2 = ，即当波法线方向 沿二光轴角平分面时，相 应的二特许偏振光的折射率为： 对于某个给定的波法线
9、方向 ，其相应的二特许偏振光的 光矢量 ( ) 振动方向和光线传播方向 就确定了。 1.折射率椭球(光率体) 2.折射率曲面和波矢曲面 3.菲涅耳椭球 4.射线曲面 4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述 1. 折射率椭球(光率体) (1) 折射率椭球方程 (2) 折射率椭球的性质 (3) 利用折射率椭球确定 D, E, k, s方向的几何方法 (4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质 (1)折射率椭球方程 由光的电磁理论，主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度: 在给定能量密度 we 的情况下，该方程为 (D1、D2、D3)空 间的椭球面。 故有 则有 或 若令： 图 4 - 10 折射率椭球(
10、光率体) 若从主轴坐标系原点出 发作波法线矢量 ，再过 坐标原点作中心截面 (k) 与 垂直， (k)与椭球的 截线为一椭圆，该椭圆的半 长轴和半短轴的矢径分别记 作 ra(k) 和 rb(k) 。 (2) 折射率椭球的性质 两个重要性质： 与波法线方向 相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和 n，分别等于椭圆的两个主轴的半轴长： 与波法线方向 相应的两个特许线偏振光 的振动方向 和 ，分别平行于 和 ，即： 这里， 是 矢量方向上的单位矢量。 两个重要性质： 对于给定晶体，已知晶体的主介电张量，可以作出相应 的折射率椭球，从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢 量 相应的两个特许线偏振光的折射率和 的振动方向。 折射率椭球的物理意义：表征晶体折射率在晶体空间的 各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分 别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方 向一致。通过椭球中心的每一个矢径方向代表 的一个振 动方向，其长度为 在此方向振动的光波折射率，故矢径 可表示为 。所以折射率椭球有时也称为( )曲面 。 共面，该平面与折射率椭球的交线是一椭圆。 (3) 利用折射率椭球确定 的方向 法线 切平面 T J k B D Q s E R 作 业 5，6，7，10
