《黎曼猜想原始论文中文译注-《论小于某给定值的素数的个数》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黎曼猜想原始论文中文译注-《论小于某给定值的素数的个数》（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、论小于某给定值的素数的个数（黎曼提出黎曼猜想的原始论文）黎曼（Riemann）原稿 谢国芳（Roy Xie）译注Email:承蒙（柏林）科学院接纳我为通讯院士，我想表达被赐予这份殊荣的感谢之情的最好方式是立即利用由此得到的许可向其通报一项关于素数分布密度的研究，考虑到高斯和狄利克雷曾长期对此问题抱有浓厚的兴趣，它似乎并不是完全配不上这样性质的一个报告。我以欧拉的发现、即下面这个等式作为本研究的起点：其中等式左边的取遍所有质数，等式右边的取遍所有自然数，我将用表记由上面这两个级数（当它们收敛时）表示的复变量的函数。注1： 即定义复变函数 上面这两个级数只有当的实部大于1时才收敛，但很容易找到一个
2、（对任意）总是有效的函数的表达式。注2：用现代数学语言讲，即要对复变函数进行解析延拓，而解析延拓的最好方法是寻找一个该函数的更广泛有效的表示如积分表示或适当的函数方程。利用等式注3：是高斯引入的伽玛函数记号，现在一般把伽玛函数记作，令积分号中的哑变量即可导出上式。可得 注4： 现在考虑积分注5：按现代数学记号，该积分应记成 或（考虑到一般用z表示复数）， 其中的积分路径C如下面的图1所示。积分路径沿从到、包含值0但不包含被积函数的任何其他奇点的区域的正向边界进行。 注6：参见下面的图1。 图1易得该积分的值为其中我们约定在多值函数中，的取值对于负的为实数。由此即得注7： （注意复变量的三角函数
3、的定义由欧拉公式给出），按现代数学记号应记成（参见注5），其中的积分路径C如上面图1所示。关于上式的详细推导参见http:/ 其中的积分由上面所给出的方式定义。现在这一等式对于任意复变量都给出了函数的值，并表明它是单值解析的，并且对于所有有限的（除了1之外）都取有限值，当等于一个负偶数时取零值。注8：实际上可证上面等式的右边是一个整函数（请读者思考如何证明），故左边也是一个整函数，注意（参见注3），而在的一级极点和的零点抵消。当的实部为负时，上面的积分可以不沿正向围绕给定值的区域进行，而是沿负向包含所有剩下的复数值的区域进行，注9：参见下面的图2，其中的大圆C的半径趋向无穷大，从而包含被积函数
4、的所有极点即分母的所有零点 2ni（n为整数），接下来的计算用现代术语说就是应用柯西的留数定理。因为该积分的值对于模无限大的复数为无限小，而在该区域内部，被积函数只有当等于的整数倍时才有奇点，于是该积分即等于负向围绕这些值的积分之和，但围绕值的积分等于，注10：被积函数在（n0）的留数等于 于是我们得到它揭示了一个和之间的关系，利用函数的已知性质，也可以将它表述为： 在变换下不变。注11：“的已知性质”即伽玛函数的余元公式和勒让德公式。上述结果的推导参见注11补。该函数的这一性质诱导我在级数的一般项中引入而不是，由此我们能得到函数的一个很方便的表达式，事实上我们有注12： （从笛卡尔开始直到黎
5、曼的时代，一个变量的平方一般用叠写该变量表示，虽然其他次数的方幂都用指数表示）。为了推导上式，只需在中作替换即可。因此，如果记即得又因为 （雅可比椭圆函数论新基础S卷第184页）注13：黎曼引入的这个函数本质上即雅可比theta函数：易见 上述恒等式即theta函数的变换公式：它最早由柯西用傅立叶分析得到，后来雅可比又用椭圆函数给出了证明，详见注13补。我们又有注14：注意在上面的最后一个等式中，我们可以明显看出 在变换下不变。（ 和 都在下不变 ）这样黎曼就再次推导出了的函数方程（这比前面用围道积分和留数定理的推导更简单）。若引入辅助函数函数方程可以简洁地写为 ，但更方便的做法是在中添加因子
6、（这正是黎曼接下来做的），即令（为了和黎曼的记号保持一致引入数字因子1/2）因为因子消去了在处的一阶极点，因子消去了在处的极点，而的平凡零点 -2，-4，-6,.和的其余极点抵消，因此是一个整函数，且仅以的非平凡零点为零点。注意到因子显然在下不变，所以仍有函数方程 .现在设 ,于是可得或注15：黎曼定义的这个函数和现在通常使用的函数（参见上注）本质上完全相同（注意 ，参见注3），仅有的差别是黎曼以为自变量，而现在通常使用的仍以为自变量，和差一个线性变换： ，即一个90旋转加1/2的平移。这样一来，平面中的直线 就对应于平面中的实轴，zeta函数在临界直线上的零点就对应于函数的实根。注意在黎曼的
7、记号中，函数方程（见上注）就变成了，即是偶函数，故而其幂级数展开只有偶次幂，且零点关于对称分布。另外，从上面的两个积分表示也可以明显看出是偶函数（是的偶函数）。对于所有有限的，该函数的值都是有限的，并可以按的幂展开成一个快速收敛的级数，因为对于一个实部大于1的值，也是有限的，这对的其他因子的对数也同样成立，因此函数只有当的虚部位于和之间时才可能取零值。注16：即只有当的实部位于0和1之间时才可能取零值（参见上注）。方程的实部在0和之间的根的数目约等于注17：黎曼对零点数目估计的这一结果直到1895年才由Mangoldt严格证明。这是因为沿包含所有虚部位于和之间、实部位于0和之间的值的正向回路的
8、积分 （略去和同阶的小量后）的值约等于，而该积分的值等于位于此区域内的方程的根的数目乘以 注18：此即幅角原理。事实上我发现在该区域内的实根数目近似等于该数目，极有可能所有的根都是实数。对此我们自然希望能有一个严格的证明，然而在一些仓促的不成功的初步尝试之后，我暂时把寻求证明搁在一边，因为对于我接下来研究的目的来说它并不是必需的。注19：黎曼轻描淡写写下的这几句话就是著名的黎曼猜想！- 正文第一部分终 -【注11补】 由欧拉公式（）可得因此（注意, 参见注3） 再用倍角公式即得到作替换后即 （1）这就是的函数方程。为了将它改写成一种对称的形式，用伽玛函数的余元公式和勒让德公式 在式（1）中作替
9、换,就得到即在变换下不变，亦即 在变换下不变。【注13补】设第一类完全椭圆积分 分别称为雅可比椭圆函数或椭圆积分的模（modulus）和补模。令，有将模和补模互换又有两式相比即得 . - 未完待续（to be continued）-【译者和注释者简介】 谢国芳，浙江绍兴人，独立语言学者和数学研究者，创立了外语解密学习法，著有解密英语学外语从零点到绝顶的最速路经、日语汉字读音规律揭秘、破解韩国语单词的奥秘等，建有以传播外语和数学知识与文化为宗旨的网站“语数之光”。已发表的数学和物理方面的论文有：1. D 函数的一种初等推导及应用（1996年01期大学物理） 2. 量子角动量理论新探（1998年0
10、6期大学物理） 3. 球坐标D函数与的傅里叶级数表示 （2001年01期大学物理） 4. 一般三次方程的简明新求根公式和根的判别法则 （2012年第21期数学学习与研究）总黄酮生物总黄酮是指黄酮类化合物，是一大类天然产物，广泛存在于植物界，是许多中草药的有效成分。在自然界中最常见的是黄酮和黄酮醇，其它包括双氢黄（醇）、异黄酮、双黄酮、黄烷醇、查尔酮、橙酮、花色苷及新黄酮类等。简介近年来，由于自由基生命科学的进展，使具有很强的抗氧化和消除自由基作用的类黄酮受到空前的重视。类黄酮参与了磷酸与花生四烯酸的代谢、蛋白质的磷酸化、钙离子的转移、自由基的清除、抗氧化活力的增强、氧化还原作用、螯合作用和基因
11、的表达。它们对健康的好处有：（ 1 ） 抗炎症 （ 2 ） 抗过敏 （ 3 ） 抑制细菌 （ 4 ） 抑制寄生虫 （ 5 ） 抑制病毒 （ 6 ） 防治肝病 （ 7 ） 防治血管疾病 （ 8 ） 防治血管栓塞 （ 9 ） 防治心与脑血管疾病 （ 10 ） 抗肿瘤 （ 11 ） 抗化学毒物 等。天然来源的生物黄酮分子量小，能被人体迅速吸收，能通过血脑屏障，能时入脂肪组织，进而体现出如下功能：消除疲劳、保护血管、防动脉硬化、扩张毛细血管、疏通微循环、活化大脑及其他脏器细胞的功能、抗脂肪氧化、抗衰老。 近年来国内外对茶多酚、银杏类黄酮等的药理和营养性的广泛深入的研究和临床试验，证实类黄酮既是药理因子
12、，又是重要的营养因子为一种新发现的营养素，对人体具有重要的生理保健功效。目前，很多著名的抗氧化剂和自由基清除剂都是类黄酮。例如，茶叶提取物和银杏提取物。葛根总黄酮在国内外研究和应用也已有多年，其防治动脉硬化、治偏瘫、防止大脑萎缩、降血脂、降血压、防治糖尿病、突发性耳聋乃至醒酒等不乏数例较多的临床报告。从法国松树皮和葡萄籽中提取的总黄酮 碧萝藏 - （英文称 PYCNOGENOL ）在欧洲以不同的商品名实际行销应用 25 年之久，并被美国 FDA 认可为食用黄酮类营养保健品，所报告的保健作用相当广泛，内用称之为 类维生素 或抗自由基营养素，外用称之为 皮肤维生素 。进一步的研究发现碧萝藏的抗氧化
13、作用比 VE 强 50 倍，比 VC 强 20 倍，而且能通过血脑屏障到达脑部，防治中枢神经系统的疾病，尤其对皮肤的保健、年轻化及血管的健康抗炎作用特别显著。在欧洲碧萝藏已作为保健药物，在美国作为膳食补充品（相当于我国的保健食品），风行一时。随着对生物总黄酮与人类营养关系研究的深入，不远的将来可能证明黄酮类化合物是人类必需的微营养素或者是必需的食物因子。性状：片剂。 功能主治与用法用量功能主治：本品具有增加脑血流量及冠脉血流量的作用，可用于缓解高血压症状（颈项强痛）、治疗心绞痛及突发性耳聋，有一定疗效。 用法及用量：口服：每片含总黄酮，每次片，日次。 不良反应与注意不良反应和注意：目前,暂没有
14、发现任何不良反应. 洛伐他丁【中文名称】： 洛伐他丁 【英文名称】： Lovastatin 【化学名称】：(S)-2-甲基丁酸-(1S,3S,7S,8S,8aR)-1,2,3,7,8,8a-六氢-3,7-二甲基 -8-2-(2R,4R)-4-羟基-6氧代-2-四氢吡喃基-乙基-1-萘酯 【化学结构式】： 洛伐他丁结构式【作用与用途】洛伐他丁胃肠吸收后，很快水解成开环羟酸，为催化胆固醇合成的早期限速酶（HMGcoA还原酶）的竞争性抑制剂。可降低血浆总胆固醇、低密度脂蛋白和极低密度脂蛋白的胆固醇含量。亦可中度增加高密度脂蛋白胆固醇和降低血浆甘油三酯。可有效降低无并发症及良好控制的糖尿病人的高胆固醇血症，包括了胰岛素依赖性及非胰岛素依赖性糖尿病。 【 用法用量】口服：一般始服剂量为每日 20mg，晚餐时1次顿服，轻度至中度高胆固醇血症的病人，可以从10mg开始服用。最大量可至每日80mg。 【注意事项】病人既往有肝脏
