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1、第六章 最优控制 1 最优控制概述 2 最优控制问题 3 最优控制求解 4 LQ问题及求解 6.1 最优控制概念 快速升降问题 有一物体作垂直升降运动。假定在M内装有 一 个控制器，它可以产生一个作用力 u(t)， 可 控制物体M的上下运动; M u g 使tf最小. 6.1 最优控制概念 性能指标 J 求极值 u与x的关系:状态方程 6.2 最优控制问题的描述 1) 受控动态系统的数学描述 状态方程: 2) 动态系统的初始状态和终端状态，也就是状态方程的边界条件：目标集 3)一个衡量“控制作用”效果的性能指标：性能指标, 性能泛函, 价值函数 ，目标函数，效益函数。 6.2 最优控制问题的描
2、述： 4) 一个容许的控制集 合 最优控制问题, 就是从可供选择的容许控制集合U中,寻找 一个控制u(t), 使受控系统在t0,tf内,从初始状态 x(t0),转移到终端状态x(tf)或目标集时,性能指标J取最小 (大)值. 最优控制 最优轨线 最优性能指标 6.3 最优控制求解 n有等式约束条件的极值问题 . 拉格朗日乘子法 y=f(x)的函数极值: y=f(x1,x2) 矩阵正定,极小值 6.3 最优控制求解 求泛函的极值问题: 变分法 多元泛函取极值的必要条件是J的一次变分等于零. 引入哈密顿函数 6.3 最优控制求解 正则方程 控制方程 边界条件 6.3 最优控制求解 最小值原理及其应
3、用 n线性二次型(LQ)最优控制 6.4 线性二次型最优控制问题 LQ问题: 线性系统,性能指标为状态和控制量的二次型函数的 最优控制问题. n为什么要讨论LQ? n一般问题是什么? 本课程主要讨论终端时间为无穷时的状态调节问题. 6.4 线性二次型最优控制问题 1 二次型性能泛函 误差大小的代价函数, q1 ij大表示对应误差要求小 正定 半正定 半正定 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能量, q2ij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小值, 其实质是用不大的控制来 保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差综合最优的目的. 6.4 线性二次型最优控制问题 2
4、有限时间状态调节问题 任务: P293 输出跟踪 状态调节和 输出调节 假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值. 调节问题和跟踪问题 6.4 线性二次型最优控制问题 根据极小值原理 正则方程 最优控制应使H取极值, 6.4 线性二次型最优控制问题 得到: 黎卡提(Riccati)矩阵微分方程 性能泛函最优值 6.4 线性二次型最优控制问题 得到: 系统的结构图 6.4 线性二次型最优控制问题 P296 6.4 线性二次型最优控制问题 例题 6-20 求u*(t) 解: 6.4 线性二次型最优控制问题 例题 6-20 续 状态解 6.4 线性二次型最优控制问题 276 6.4 线性二次型最优控
5、制问题 P(t)随q2变化 q2 减 小 u(t)随q2变化 q2 减 小 6.4 线性二次型最优控制问题 277 x(t)随q2变化 q2 减 小 6.4 线性二次型最优控制问题 当终端时间不同时的P(t) q0=1 q0=0 tt=1,3,5,9 6.4 线性二次型最优控制问题 无限时间状态调节问题 存在唯一最优控制 Q半正定, R正定 黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 能控 6.4 线性二次型最优控制问题 误差大小的代价函数, qij大表示对应误差要求小 正定 半正定 对控制的约束或要求. 表示在区间内消耗的能 量, rij大表示对应付出的能量小. 最优控制目标是使性能指标J取得极小
6、值, 其实质是用不 大的控制来保持比较小的误差,从而达到所用能量和误差 综合最优的目的. Q, R 6.4 线性二次型最优控制问题 例题6-22 解: 求时J最小的u(t) 黎卡提(Riccati)矩阵代数方程 能控性 6.4 线性二次型最优控制问题 例题6-22续 闭环系统 最优控制 y=x1 6.4 线性二次型最优控制问题281 6.4 线性二次型最优控制问题 输出调节问题 任务: P303 假设u不受限制,寻求最优控制,使J取极值. Q0,Q1半正定,Q2正定, 能观, 二次型指标最优控制问题 二次型性能指 标 线性系统 有限时间状态调节器 最优控制存在的条件及结论: 应用Matlab
7、解LQ问题 1 K,P,L=lqr(sys,Q,R) K:状态反馈增益阵 P :黎卡提(Riccati)矩阵代数方程的解 L:闭环系统的特征值 2 K,P,L=lqr(A,B,Q,R) Matlab 在最优控制中的应用 LQR Linear-quadratic regulator design for state space systems. K,S,E = LQR(SYS,Q,R,N) calculates the optimal gain matrix K such that: * For a continuous-time state-space model SYS, the state
8、-feedback law u = -Kx minimizes the cost function J = Integral xQx + uRu + 2*xNu dt subject to the system dynamics dx/dt = Ax + Bu The matrix N is set to zero when omitted. Also returned are the the solution S of the associated algebraic Riccati equation and the closed-loop eigenvalues E = EIG(A-B*K
9、). Matlab 在最优控制中的应用 K,S,E = LQR(A,B,Q,R,N) is an equivalent syntax for continuous-time models with dynamics dx/dt = Ax + Bu 例题 A=0 1;0 0 B=0;1 Q=1 0;0 1 R=1; K,S,E = LQR(A,B,Q,R) K=1.0000 1.7321 Matlab 在最优控制中的应用 K,S,E = LQR(A,B,Q,R,N) is an equivalent syntax for continuous-time models with dynamics dx/dt = Ax + Bu 例题 A=0 1;0 0 B=0;1 Q=5 0;0 1 R=1; K,S,E = LQR(A,B,Q,R) K=2.2361 2.3393 第六章 作业（习题） 1 什么是LQ问题:. 2 LQ研究的内容是什么? 3 终端时间为无穷大时的状态调节问题的解具有什么形式? 有什么特点?
