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1、数学物理方程第一章 波动方程 1.1 弦振动方程的导出 1 方程的导出、定解条件 1.2 定解条件 1.3 定解问题适定性概念 数学物理方程第一章 波动方程 物理背景： 波的传播和弹性体振动。 1.1 弦振动方程的导出 首先，考察弦横振动这个物理问题： 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦线，设其 长度为l ，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横 振动，求弦上各点的运动规律。 把实际问题提炼为数学模型时必须做一定的理想化 假设，以便抓住问题的最本质特征。 数学物理方程第一章 波动方程 1.1 弦振动方程的导出 基本假设： 1. 弦的质量是均匀的，弦的截面直径与长度相比可以忽略。 弦可以视为一
2、条曲线，线密度为常数。 （细弦） 2. 弦在某一个平面内作微小横振动。 弦的位置始终在一直线段附近，弦上各点在同一平面内垂 直于该直线的方向上作微小振动。 （微幅） 3. 弦是柔软的，它在形变时不抵抗弯曲。 弦上各质点的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长 变形与张力的关系服从虎克定律。 （横振动） 基本规律： 牛顿第二定律（冲量定律） 数学物理方程第一章 波动方程 弦线上任意一点在 t 时刻沿y轴上的位移 研究对象： 在右图所示的坐标系，用u(x, t)表示弦 上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。在 这条弦上任意取一弦段(x, x+x)，它的 弧长为 ： 由假设3，弦线张力T(x)总是沿着
3、弦在x处的切线方向由于弦只在垂直x轴 的方向进行横振动，因此可以把弦线的张力T(x)在x轴的方向的分量看成常数 。对于图中选取的弦段而言，张力在x轴的垂直方向上的合力为： 假设2和假设3 数学物理方程第一章 波动方程 在时间段(t, t+t)内该合力产生的冲量为： 另一方面，在时间段(t, t+t)内弦段(x, x+x)的动量变化为： 于是由冲量定理： 从而有 ： 数学物理方程第一章 波动方程 进一步由t， x 的任意性，有 假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则弦 段(x, x+x)上的外力为： 它在时间段(t, t+t)内的冲量为： 数学物理方程第一章 波动方程 类
4、似地，三维波动方程可以表示为： 于是有： 数学物理方程第一章 波动方程 简化假设： (2)振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。 (1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。 牛顿运动定律： 横向： 纵向： 其中： 数学物理方程第一章 波动方程 其中： 其中： 数学物理方程第一章 波动方程 一维波动方程 令： -非齐次方程自由项 -齐次方程 忽略重力作用： 非均匀弦的强迫横振动方程 一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述 ： 弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播 等等等等 因此，一个方程反应的
5、不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。而是一类问题。 1.1 弦振动方程的导出 数学物理方程第一章 波动方程 列出微分方程的目的是要从微分方程中求得具体问题的解或者研究 解的性质。前面我们看到，弦振动方程描述的是弦作微小横振动时的位 移函数u(x, t)所应满足的一般性规律。仅仅利用它并不能完全确定一条弦 的具体运动状况。这是因为弦的运动还与其初始状态以及边界所处的状 况有关系，因此对于具体的弦振动问题而言，还需要结合实际问题附加 某些特定条件。 例如: 在前面的推导中，弦的两端被固定在x=0和x=l两点，即 u(0, t)=0 ， u(l, t)=0，
6、这两个等式称为边界条件。此外，设弦在初始时刻t=0时的位置和速度为 这两个等式称为初始条件。边界条件和初始条件总称为定解条件。把微分 方程和定解条件结合起来，就得到了与实际问题相对应的定解问题。 对于弦振动方程而言，与上述定解条件结合后，其定解问题可以描述为： 1.2 定解条件 数学物理方程第一章 波动方程 要在区域上（见右上图）求上述定解问题的解，就是 要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域00)，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t 值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。 数学物理方程第一章 波动方程 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故
7、称为行波法。 a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0 换一个角度看波的传播 数学物理方程第一章 波动方程 例2 在上述问题中，初值条件为 试说明其解的物理意义。 -22 0 1 1 数学物理方程第一章 波动方程 可见右行波与左行波分别为 由达朗贝尔公式有 于是右行波与左行波的波形均为 随着时间的推移，其波形如图所示： 数学物理方程第一章 波动方程 0 -2-424 1 2 -224 0 1 2 -4 2 0 1 2 -2-424 数学物理方程第一章 波动方程 0
8、 1 2 -2-424 0 1 2 -2-424 0 1 2 -2-424 数学物理方程第一章 波动方程 小结行波法 3 适用范围： 无界域内波动方程，等 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 一维波动方程的达朗贝尔公式 行波法 数学物理方程第一章 波动方程 结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速 为a波的叠加，故称为行波法。 a. 只有初始位移时， 代表以速度a 沿x 轴正向传播
9、的波 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波 4 解的物理意义 b. 只有初始速度时： 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0 数学物理方程第一章 波动方程 2.4 依赖区间、决定区域和影响区域 看达朗贝尔公式，回答下面三个问题： （1） ，即在(x, t)处函数值由哪些初值决定？进一步 由x轴上哪些点对应的初值决定？ 答：由区间x-at, x+at上的初值决定。将此区间称为点(x, t) 的依赖区间。 数学物理方程第一章 波动方程 进一步分析：方程的特征线为 过(x, t)的两条特征线与x轴的 交点正好是x-at和x+at. 如图 （2）区间 上的初值都能 确定哪些点处的函数值？
10、特征线， 斜率1/a 特征线 答：过 和 分别作斜率 为 和 的两条直线，与x 轴围成的三角形区域内任一点的 函数值都可由 上的初值决 定。 称此区域为 的决定域。 依赖区间 决定区域 数学物理方程第一章 波动方程 （3）区间 上的初值都能影响到哪些点处的函数值？ 答：过 和 分别作斜率为 和 的两条直线， 与x轴围成的无界区域内任一点的函数值都能受到 上的 初值的影响。 称此区域为 的影响域。 一点的影响域如右图 影响区域 影响区域 数学物理方程第一章 波动方程 在前面的讨论中，我们看到在(x,t)平面上 斜率为1/a的直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程 的研究起着重要作用，它们称
11、为波动方程的特 征线。 我们看到，扰动实际上沿特征线传播。扰 动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要 特点。 重要结论重要结论 数学物理方程第一章 波动方程 例：利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 为了求解此问题，我们可以设想在x=0的左侧仍然有弦存在,只是在振 动过程中x=0点始终不动。问题于是转化为：如何将x0上已知的初始函数 延拓为整个直线-x+上的函数，并使得用延拓后的函数作初值的柯西 问题的解在x=0点恒为零。 记(x)及(x)是由(x)和(x)分别延拓而得到的函数。由达朗贝尔公 式，以(x)及(x)为初值的柯西问题的解为 数学物理方程第一章 波动方程 要使U(x,t
12、)在x=0点恒为零，就应当成立 为此只需要将(x)和(x)分别作奇延拓就可以满足上式，也就是说，令 于是将上面定义的(x)及(x)的表达式代入(1.15)式即得到问题的解 数学物理方程第一章 波动方程 2.5 齐次化原理 考虑非齐次问题 不能用达朗贝尔公式 可分解成如下两个问题 和 用达朗贝尔公式求解 如何求解？用齐次化原理 数学物理方程第一章 波动方程 齐次化原理 的物理背景 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 齐次化原理（齐次化原理（DuhamelDuhamel原理）原理） （以一维弦振动为例） 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方
13、程第一章 波动方程 解：由如上公式，有 例1：求解下列初值问题： 数学物理方程第一章 波动方程 课后作业：题8，Page15。 数学物理方程第一章 波动方程 3.1 分离变量法 3 初边值问题的分离变量法 3.2 解的物理意义 3.3 非齐次方程的情形 3.4 非齐次边界条件的情形 数学物理方程第一章 波动方程 本节进一步考察波动方程的初边值问题，并介绍一种常用 的解法分离变量法。首先考察波动方程的初边值问题： 3.1 分离变量法 数学物理方程第一章 波动方程 利用叠加原理，上述初边值问题可以分解为下面两个 初边值问题： 与上一节中一样，关键是求解问题()，因为问题()可以运用 齐次化原理归结
14、为问题()的求解。 数学物理方程第一章 波动方程 为了对方程进行分离变量，我们先分析驻波在传播中的真实形状。 如果选定一个坐标轴的话，他表示某时刻各点处的位移分布，实验表明， 驻波在不同时刻各点的位移按同一比例增减驻波在不同时刻各点的位移按同一比例增减！ 如果两列相干波（频率相同、振动方向相同、相位差恒定的简谐波）在同一直线 上沿相反方向传播，会形成一种特殊的干涉现象叫做驻波。在空间的某一些点，介 质质点不运动，而另一些点，介质质点运动的幅度最大；每一点的运动状态与紧挨 着的下一个点的运动状态好像是无关的。我们把这种不向前传播的波动叫做驻波， 不运动的点叫做波节，振幅最大的点叫做波腹。 波由波
15、疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，有半波损失，界面处为合成驻 波的波节，这样的反射称为半波反射；而当波由波密介质垂直入射到波疏介质界面 上反射时，无半波损失，界面处为合成驻波的波腹，这种反射叫做全波反射。 两个频率、振幅相同的声波相反方向传播时，若满足驻波条件，也能形成驻波。 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 二阶线性常微分方程 称为该问题为该问题 的固有值值（特征值值） 使该问题该问题 有非零解 称为为它的固有函数 相应的非零解 数学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 固有值 固有函数 数学物理方程第一章 波动方程 由叠加原理 由初始条件 数
16、学物理方程第一章 波动方程 数学物理方程第一章 波动方程 前面的推导说明了初边值问题()如果有解，那么它的解可以表示为 (2.24)式的级数形式，现在的问题是：什么条件下，初边值问题()的解 一定存在？ 定理：若函数(x)在求解区域内具有三阶连续偏导数，(x)在求解区域内 具有二阶连续偏导数，并且 则弦振动方程的初边值问题()的解是存在的，它可以由级数(2.24)给出 ， Ak和Bk 由(2.25)式确定。通常我们称(2.25)式为相容性条件。 如果(x)和(x)不满足以上定理的条件，我们可以把(x)和(x)看成函数 列 的平均收敛极限，当n很大时，因为方程和边界条件都已满足，初始条件 也近似得到了满足，由此可以把un(x,t)看成问题的近似解。
