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1、第五章线性参数的最小二乘处理 第五章 线性参数的最小二乘处理 习 题 5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示： x+ty+t2z=L 式中x表示在0时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（）；L为t基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表： 求未知参量x，y，z的最可依赖值。 5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下： x=0 y=0 z=0 x-y=0.92, -y+x=1.35 -x+z=1.00 试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。 5-3由等精度测定方程为： x
2、+37y+1369z=36.3 x+32y+1024z=41.4 x+27y+729z=47.5 x+2y+484z=54.7 x+17y+289z=63.2 x+12y+144z=72.9 x+7y+49z=83.7 44 试用矩阵最小二乘法求x，y，z的最可依赖值及其精度。 5-4交流电路的电抗x=L? 1， C 在角频率1=3时，测得x为x1=0.8 2=2时，测得x为x2=0.2 3=1时，测得x为x3=-0.3 试求：(i) L，C及其方差；(ii) =3时（?=0.1）电抗值及其方差。 5-5试求下列方程给出的x，y的最大或然值及其标准误差。 2x+y=5.1 x-y=1.1 4x
3、-y=7.4 x+4y=5.9 5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。试求AB，BC，CD，DE的最大或然值。 5-7由方程组 3x+y=2.9 x-2y=0.9 2x-3y=1.9 试求x，y的最大或然值及其标准误差。 5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x1，x2的最可信赖值及其标准误差。 x1=0 x2=0 权： P1=8 P2=10 P3=1 P4=5 x1+2x2=0.25 x1-3x2=0.92 5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x，y的最大或然值及其
4、标准误差。 x-3y=-5.6 4x+y=8.1 2x-y=0.5 权： P1=1 P2=2 P3=3 5-10由下面的测定方程组，试求x，y的最可依赖值及其标准误差。 2x+y=5.1 x-y=1.1 4x-y=7.2 权：P1=1 P2=3 P3=2 5-11试求满足下列方程的x，y，z及其标准误差（假设它们是等权的）。 x+y+z=4.01 45 2x-y+z=1.04 x+3y-2z=5.02 3x+y=4.97 5-12由座标点(1，0) (3，1) 和 (-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。 5-13对某一角度值，分两个测回
5、进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。 5-14某平面三角形三个角被测出为A=48o510，B=60o2524，C=70o427，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。 5-15数N系时间t的函数 N=x1+ x2t+ x3t2 测定后的N的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。 5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，测定为 46 上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。试用最小二乘法来检证。 5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然
6、误差。 X+Y=37.0 权：P1=5 2X+Y=61.9 P2=4 3X+Y=86.7 P3=4 X+2Y=49.2 P4=4 X+3Y=60.6 P5=3 2X+3Y=86.7 P6=2 3X+2Y=98.4 P7=3 5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。 2X+4Y+8Z=0.1612 2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986 3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098 2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896 3X+9Y+27Z=0.4181 5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、Y2、Y3。现在将它们直接地或间
7、接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）： （i）每一个量规各与标准量规比较二次； （ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次； （iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次； 上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示： 试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。 47 典型题解 5-1 由测量方程 3x?y?2.9 x?2y?0.9 2x?3y?1.9 试求x、y的最小二乘法处理及其相应精度。 解：方法一：列出误
8、差方程组： v1?2.9?(3x?2y)? v?(x?2y)? 2?0.9? v3?1.9?(2x?3y)? ?3 Vi2(2.9?(3x?y)2?(0.9?(x?2y)2?(1.9?(2x?3y)2 i1 分别对x，y求偏导，并令它们的结果为0， 2(3x?y)?2.9)?3?2(x?2y)?0.9)?2(2x?3y)?1.9)?2?0 2(3x?y)?2.9)?2(x?2y)?0.9)?2?2(2x?3y)?1.9)?3?0 即， 14x?5y?13.4? ?5x?14y?4.6? 由上式可解得结果： x?0.9626 y?0.0152 方法二：直接列表计算给出正规方程常数项和系数 可得正
9、规方程 14x?5y?13.4? ?5x?14y?4.6? 将x，y的结果代入分别求得： v1?2.9?(3?0.96260.0152)?0.003? v?0.9?(0.9626?2?0.0152)?0.0322? 2? v3?1.9?(2?0.96263?0.0152)0.0204? 得， 48 ?v i?132i?v12?v22?v32 ?(?0.003)2?(?0.0322)2?(0.0204)2 ?0.00146 由题已知，n?3，t?2得 ?v131.46?10?3?0.0382 n?t3?22i 由不定乘数的方程组 14d11?5d12?1? ?5d?14d? 1112?0? 14
10、d21?5d22?0? ?5d? 21?14d22?1? 得 d11?0.0819 d22?0.0819 得 ?x?11?0.0382?0.0109 ?y?22?0.0382?0.0109 方法二：按矩阵形式计算，由误差方程V?L?AX? v1?2.9?(3x?2y)? v0.9?(x?2y)? 2? v3?1.9?(2x?3y)? 上式可以表示为 ?v1?l1?31? ?v? ?l?1?2?x? 2?2? ?v3?l3?2?3?y? 即 ?v1?l1?2.9? V?v2?31?；L?l2?0.9?； A?1?2?； X? ?x?v3? ?l3?1.9?2?3?y? 可得 49 ?x? X?C
11、?1ATL?(ATA)?1ATL ?y? 式中 C?1?(ATA)?1 ?31?1312?14?5?1?2?514? 1?2?3?23? 1 ?1?145?5?145?1?171?145?145?514 所以 X? ?x? ?C?1? AT?yL ?1?145?2.9? 171?312?145?1?2?3?0.9?1.9? ?1?47413 ?2.9?171?29?23?32?0.9? ?1.9? 1?164.6? 171?2.6? ?0.9626? ?0.0152? 即解得， x?0.9626? y?0.0152? 将最佳估计值代入误差方程可得， ? ?v1?V?L?AX?v2?v3? ?l
12、1?l?31? ?1?2?x?2?l?2?3? ?y? 3?50 ?2.9?31?1?2?0.9626?0.9?0.0152?1.9?2?3? ?0.0030?0.0322?0.0204? 将计算得到的数据代入式中 3 i2 ?v11.46? n?t?103 3-2?0.0382 为求出估计量x，y的标准差，首先求出不定常数dij (i，j?1，2)。 由已知，不定常数d?1 ij的系数与正规方程的系数相同，因而dij是矩阵C中各元素，即C?1?d11d12?1?145? ?d21d22?171?145? 则 d14 11?171?0.0819 d22?14 171?0.0819 可得估计量的标准差为 ?x?d11?0.0382.0819?0.0109 ?y?d22?0.03820.0819?0.0109 5-2 已知误差
