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1、函数模型的应用实例教学设计 盘县第六中学 董大品 一、教学目标1、知识与技能目标：(1）、能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；(2）、会利用建立的函数模型解决实际问题；(3）、在例题分析和讲解过程中，给同学们渗透法治教育.2、过程与方法目标：(1)、通过实例分析，使学生感受函数的广泛应用，体会建立函数模型解决实际问题的思维过程；(2)、在讲到车速和人口问题时，可以向同学们拓广中华人民共和国道路交通安全法和中华人民共和国人口与计划生育法.3、情感、态度与价值观目标：(1)、让学生体验“解决问题”的成功喜悦，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学好数学的自信心；(2)、培养学生的应用意
2、识、创新意识和探索精神，优化学生的理性思维和求真务实的科学态度；(3)、经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观点.二、教材分析 本小节教材共有4个例题，大致分为两类，其中例3和例5是根据图表信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时，本节课是第一课时.我以教材例3和例4为基础，分别在图形和数表两种不同应用情境中，引导学生自主建立函数模型来解决实际问题.因此，本节课的教学重点是：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题.三、学情分析 学生已掌握了一些基本初等函数的相关知识，并在上一节几类不同增长的函数模
3、型的学习中，初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程，这为本节课的学习奠定了知识基础.但学生的应用意识、应用能力比较弱，且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力、整体驾驭能力和局部处理能力，这些能力要求对学生的学习造成了一定的困难.因此，本节课的教学难点是：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言、图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型.四、教学过程（一）交流成果 提出课题 学生交流上节课作业题“请举出生活中函数模型的应用实例”的成果，提出课题.【设计意图】让学生体会函数与现实生活的密切联系，感受建立函数模型解决实际问题的必要性，从而激发他们的学习内驱力，也很自然地引入课题.
4、（二）分析探究 解决实例【例1】一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系，如图1所示.（1）求出图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际意义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2010 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象. 【教学活动1】先让同学们观察图像，然后回答问题。在解决问题之前，老师会问：这辆汽车在哪个时间段速度最快，最快速度是多少？这个问题同学们应该都会。接着，老师又问：小汽车在高速路上行驶，最快速度不能超过多少？可能有同学会回答120 km/h。老师又会问：如果超过了120 km/h会怎么样？同学们可
5、能会回答“要被罚款、要被扣分、可能引起交通事故等等”.此时，老师就可以对中华人民共和国道路交通安全法进行简单说明.接着请同学起来回答第一问，然后老师讲评. 第（1）题分析过程：阴影部分面积为五个小矩形的面积之和，那么只要知道求其中一个矩形的面积并知道其实际意义，就能解决整个问题.因此，我借助多媒体设置动画，引导学生对第一个矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度各是多少？其实际意义分别是什么？根据“矩形面积长宽速率时间路程”，学生就能很快说出第一个矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了.【设计意图】这个问题可以让老师在教学中渗透法治教育，同事让同学们掌握从“局部到整体”、“特殊到一般”的
6、思想来分析问题. 【教学活动2】第（2）题：重点分析如何建立s与t的函数关系式. 由于“汽车里程表读数s2010汽车行驶路程”，而汽车行驶的路程速率时间，分析v与t的图象，得v是t的分段函数，从而s是t的分段函数.求这个分段函数的解析式，关键是求出前两段的函数解析式.其中求第二段函数解析式是难点.由第一问可知“路程”的几何意义为“图形的面积”，于是可以将求路程转化为求图形的面积.设置多媒体动画重点分析：t在0至2小时内变化时，s与t的函数解析式变化，使得有效突破难点.然后让学生自主完成整个题目的解答，并利用实物投影仪展示学生的解答过程，师生共同点评，得出下列结论：（1）阴影部分的面积为5018
7、01901751+651360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.(2)据v与t的关系图，有这个函数的图象如图2所示.【设计意图】通过本例的教学，让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想，养成自主探究与合作交流相结合的学习习惯. 【例2】人口问题是当今世界各国普遍关注的问题。认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据。早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型： (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增
8、长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;设问：描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的,确定这种函数模型需要几个因素?和r设问：根据表中数据如何确定函数模型?先求1951-1959年各年的人口增长率,再求年平均增长率r,确定的值,从而确定人口增长模型.得到马尔萨斯人口增长模型：设问：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价?作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上. 由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合. (2)如果按数据表的增长趋势,大约在哪
9、一年我国的人口达到13亿?该模型只能大致描述自然状态下的人口增长情况，而对于受到人为影响的人口增长情况，如计划生育。如果不实行计划生育，我国将面临难以承受的压力，计划生育政策，利国利民.设问：依据表中增长趋势，你们算一算我国2050年的人口数是多少？ 通过计算,2050年我国人口将达到52.3亿.实际上我国人口并没有这么多,因为我国实行了计划生育.老师会问:我国实行计划生育有什么好处?同学们会回答:“可以控制人口数量、可以提高人口素质、可以提高人民生活水平、有利于资源的优化配置、有利于劳动就业等等”.此时,老师就可以对中华人民共和国人口与计划生育法进行简单说明。利用函数模型既能解决现实问题，也
10、可预测未来走向.说明：本题体现数学建模的思想，检验模型，更体现模型的实际应用价值。 【设计意图】本题涉及人口问题，老师可以对中华人民共和国人口与计划生育法进行简单拓广.同时让学生体验解决实际问题的过程和方法.培养学生分析归纳、概括能力. 从而初步体验解应用题的规律和方法.（三）反思过程 发现规律【教学活动】通过比较、概括上述两个实例的求解过程，我引导学生总结出建立函数模型解决实际问题的思维流程：【设计意图】 学会归纳、总结解决数学问题的思维方法，掌握建立函数模型解决实际问题的一般规律，提高理性思维能力.（四）反馈调控 方法迁移【练习】某上市公司股票在30天内每股的日交易均价P(元)与时间t(天
11、)组成有序数对(t，P)，且点(t，P)落在图中的两条线段上.该股票在30天内（含30天）的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：第t天4101622Q(万股)36302418（1）写出这支股票每股的日交易均价P（元）与时间t（天）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；（3）求这30天中第几天的日交易额最大，最大值为多少万元？【教学活动】通过前面的学习与思考，学生对解决这类问题已有一定的方法基础，面对本题表现出一种一展身手的亢奋状态.我要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式对本问题求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答的答
12、卷作实物投影展示，师生一起评价、纠错，形成共同解答.【解析】 (1) 当时,设,由图象得，解得，即；同样的方法可求得当时，. 综上可得， (2)设,由题意知：，即，解得.所以：（3）设第t天的日交易额为f(t)万元，则 即 当时， 当时，所以这30天中第15天的日交易额最大，最大日交易额为125万元.【设计意图】选择一个既有图形，又有数表的实例，能有效地检测、反馈学生对两类建立函数模型的应用问题的掌握程度，同时培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力.（五）归纳小结 深化认识引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳小结.（1）建立函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？ （2）在本节课的学习过程中，运用到了哪些数学思想方法？【设计意图】启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程.（六）布置作业 巩固提高 作业:（1）教材107页1、2、4（2）社会实践题：找到身边的函数应用模型实例两例 .（3）抽时间去了解我国的法律法规 【设计意图】让学生巩固函数建模的思想方法，并进行自我检测与评价.通过分层作业，体现对不同能力层次的学生有不同学习要求.同时要求同学们去了解一下我国的法律法规.10
