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1、毕 业 论 文题 目： 求极限的方法 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 毕业年限： 2013 学生姓名： 俞琴 学 号： 200971010249 指导教师： 伏生茂 求极限的方法俞 琴（数学与应用数学 200971010249）摘要：在数学分析中，极限思想始终贯穿于其中，求极限的方法也显得至关重要，求数列和函数的极限是数学分析的基本运算.求极限的主要方法有用定义、四则运算法则、迫敛性、两个重要极限、定积分、函数连续性等，除了这些常用方法外，还有许多相关技巧.本文结合自己对极限求解方法的总结，通过一些典型的实例，对求极限的各种方法的很多细节作了具体分析，使方法更具针对性、技巧
2、性，因此，克服了遇到问题无从下手的缺点，能够做到游刃有余.关键词：极限 单调性 定积分 洛必达法则 函数连续性一、极限的定义及性质自然界中有很多量仅仅通过有限次的算术运算是计算不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得结果，这正是极限概念和极限方法产生的客观基础.极限概念是数学分析中最基本的概念，因为数学分析的其它基本概念均可用极限概念来表达，且解析运算(微分法、积分法) 都可用极限概念来描述，如函数在处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分、三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，这些数学分析中最重要的概念都是用极限来定义的.极限是贯穿数学分析的一条主线，它将数学分析的
3、各个知识点连在了一起.所以，极限概念与极限运算非常重要，学好极限便为学习数学分析打好了基础.（一）定义定义1 设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有 ，则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或.定义2 设函数为定义在上的函数，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有 ，则称函数当趋于时以为极限，记作或.定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的，存在正数，使得当时有，则称函数当趋于时以为极限，记作或.（二）性质1.收敛数列的性质：定理1（唯一性）若数列收敛，则它只有一个极限.定理2（有界性）若数列收敛，则为有界数列，即存在正数，使得对一切正整数有.定
4、理3（保不等式性）设与均为收敛数列.若存在正数，使得当时有，则.定理4（迫敛性）设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.2.函数极限的性质：定理1（唯一性）若极限存在，则此极限是唯一的.定理2（局部有界性）若存在，则在的某空心邻域内有界.定理3（保不等式性）设与都存在，且在某领域内有，则.定理4（迫敛性）设，且在某邻域内有 ，则.二、极限的计算方法(一)利用定义求极限例1 用极限的定义证明，这里为正数.证： 由于故对任给的，令，则，即存在，当时，便有，即成立.这便证明了.例2 用极限的定义证明.证：对，要使，取，则当时，成立所以.注:由或出发，借助恒等变形和不等式变
5、形进行适当放大，由给定的找到相应的或.（二）利用四则运算法则求极限应用数列或函数极限的四则运算法则,其前提条件是参加运算的数列或函数首先是收敛数列或函数,其次在做除法运算时,要求必先使分母的极限不为,值得注意的是在应用数列或函数极限的四则运算前,先把所给的商式消去分子分母的公共零因子.例3 求.解：先对括号里的式子进行分子有理化，由及例1（设.证明：若，则.）得.（三）利用无穷小量求极限1无穷小量的性质（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量.（2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.例4 求.解：当时，是无穷小量，为有界量，即，所以有.2.无穷小与无穷大的关系：互为倒数例5 求
6、.解：由题可知，同时因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即.（四）利用迫敛性求极限例6 求的极限.解:因为又因为，由极限的迫敛性，有 .注:通过迫敛性求极限，一般是将极限的变量作适当的放大和缩小，利用所得的不等式求极限.（五）利用单调有界定理求极限单调有界定理：在实数系中，单调有界数列必有极限，且极限唯一.例7 证明数列， 收敛，并求其极限.证：记，易见数列是递增的.先用数学归纳法来证明有上界.显然.假设，则有，从而对一切有，即有上界.由单调有界定理，数列有极限，记为.由于，对上式两边取极限得，即有，解得或.由数列极限的保不等式性，是不可能的，故有 .注:首先要判定证明数列是单
7、调有界的，可设其极限为；再找出数列相邻两项和的关系式；最后用关系式求极限，在关系式两端取极限，得到一个关于的方程，若能解出，问题得解.（六）利用两个重要极限求极限1. .2. .例8 求.解：令，则，且当时.所以有 例9 求.解：注:用两个重要极限求极限时，经常用三角公式或代数公式进行恒等变形或变量代换，使之成为重要极限的标准形式.（七）利用定积分求极限定积分定义:设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给的正数，总存在某一正数，使得对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有 ，即，则称函数在区间上可积或黎曼可积；数称为在上的定积分或黎曼积分，记作.例10 求极限.解：令，当时
8、，令，由定积分的定义：.(八)利用归结原则求极限归结原则：在内有定义. 存在的充要条件是：对于任何含于且以为极限的数列，极限都存在且相等.例11 考察函数:,在点是否有极限.解：令 ，则，但是当时，是恒等于的常值数列， 是恒等于的常值数列.所以极限不存在.(九)利用柯西准则求极限1.数列柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数，使得当时，有.2.函数柯西准则：函数在内有定义. 存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何有. 例12求极限.解:取，对任给的，设正整数，即，令 ，那么有，则有，而.于是按柯西准则，极限不存在.注: 与极限的定义比较，柯西收敛准则把原来的、的关系换成
9、了、的关系，此时无须借助数列和函数以外的数，只要根据数列和函数本身的特征就可以判断其敛散性.(十)利用等价无穷小量的代换求极限等价无穷小量：若，则称与是当时的等价无穷小量.记作 .定理 设函数，在内有定义，且有.（i）若，则；（ii）若，则.例13 求的极限.解：由于，而，故有 .注6 再利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代. 如在上式中，若因有，,而推出,则得到的结果是错误的.(十一)利用函数连续性求极限若函数在处连续，则在处有极限，且极限值等于函数值.可用连续性的推广：设复合函数，复合形
10、成的，并且，则在处的极限存在且.例14 证明.证：利用对数函数的连续性，.令，则 .所以 .（十二）利用洛必达法则求极限洛必达法则：若函数和满足：（i）或；（ii）在点的某空心邻域内两者都可导，且；（iii）（可为实数，也可为或），则 .若所求的极限属于，型的未定式的极限，可直接利用洛必达法则求极限，其它类型的未定式有，等，这些未定式经过简单变换，他们一般均可化为型或型的极限.例15 求.解：这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即.参考文献1 华东师范大学数学系数学分析（上册，第三版）M北京：高等教育出版社，2001：23-1312 同济大学应用数学系微积分（上册，第一版）M北京：高等教育出版社，1999：23-713 卢兴江，金蒙伟微积分（上册，第一版）M杭州：浙江大学出版社，20064 王瑞声.高等数学中数列极限的几种求法J.湖北广播电视大学学报，2008,11指导教师预评评语指导教师职称预评成绩 年 月 日答辩小组评审意见答辩小组评定成绩答辩委员会终评意见答辩委员会终评成绩答辩小组组长（签字）：年 月 日答辩委员会主任（签章）：年 月 日说 明：1. 成绩评定均采用五级分制，即优、良、中、及格、不及格。2. 评语内容包括：学术价值、实际意义、达到水平、学术观点及论证有无错误等。12 / 12
