带电粒子在有界磁场中运动综述

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1、带电粒子在有界磁场中 的运动问题 授课课题:带电粒子在有界磁场中运动 教学目标 知识能力目标: 1. 会建立模型,根据不同模型选择合适的物理规律,掌握粒子 在磁场中运动的有关公式。 2. 掌握确定圆心,求半径,画轨迹,寻找几何关系的程序和操 作方法;力的合成与分解、运动的合成与分解、等效法、假设法 、类比法等思维方法。 3. 会将众多粒子转化为一个粒子的运动(临界法,动态分析法) 。 4. 培养审题能力、分析能力(受力分析,运动分析)、综合能力 、运用数学处理物理问题能力。 价值情感目标:学会运用等效法、假设法、类比法、临界法、 动态分析法等思维方法,培养运用数学处理物理问题能力。 教学重点

2、带电粒子在各种有界匀强磁场中的运动,带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周 运动的程序解法三步法。 画轨迹(即确定圆心,几何方法求半径并画出轨迹); 找联系(即轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系,偏转角度与圆心角、 运动时间相联系,在磁场中运动的时间与周期相联系); 用规律(即牛顿第二定律和圆周运动的规律,特别是周期公式、半径公式)。 教学难点 利用旋转动态圆法、收缩法、二次函数判别式求极值等方法的运用。 教学方法 问题讨论法,讲练结合法 教学课时 1-2课时 教学过程 一、圆心、半径、运动时间的确定 (1) 圆心的确定 (2) 半径的确定 (3) 运动时间的确定 二、带电粒子在直线边界磁场中的运动

3、 三、带电粒子在圆形有界磁场中的运动 四、带电粒子在方形有界磁场中的运动(圆连续缩放法) 五、带电粒子在环状有界磁场中的运动 六、带电粒子在“空心状”磁场中的运动 七、带电粒子在三角形有界磁场中运动 八、带电粒子在扇形有界磁场中的运动(旋转动态圆法) 九、带电粒子在半圆形有界磁场中运动 带电粒子在磁场中运动的问题,一 般有带电粒子在无界磁场或有界磁场中 做完整的圆周运动;带电粒子在有界磁 场中做一段圆弧运动。 带电粒子在有界磁场中运动的临界 问题是高考的重点问题和理综命题的热 点问题,对此类问题的解题规律进行总 结归纳很有必要。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题, 应注意挖掘隐含条件。常用结

4、论: 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁 场中运动的轨迹与边界相切; 当速度v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心 角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时 间越长; 当速度v变化时,圆心角越大,运动时间 越长。 解决带电粒子在磁场中运动的极值问题,关键在 于找准“临界点”,以题目中的“恰好”、“最大”、“最 高”、“至少”等词语为突破口,借用半径R和速度v( 或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析, 确定轨迹圆边界的关系,找出临界点,然后利用数 学方法求解极值。 磁场区域面积极值:若磁场边界为圆形时,从 入射点到出射点连接的线段就是圆磁场的一条弦, 以该条弦为直径的圆形磁场区就是最小面积。

5、 带电粒子在磁场中的运动,形式千变万 化,但基本模型只有一个圆周运动。解决 带电粒子在磁场中运动问题的关键在于确 定圆心O和半径R。由于考试时间有限,容 不得充分的思考,对知识和能力的要求较 高,尤其是作图能力的要求,对分析问题 的灵敏性和严谨性要求也较高。要有较强 的物理意识和扎实的基础知识。 知识层面的知识:模型的建立,根据不同模 型选择合适的物理规律和粒子在磁场中运动 的有关公式; 方法层面的知识:确定圆心,求半径,画轨 迹,寻找几何关系的程序和操作方法;常用 到力的合成与分解、运动的合成与分解、等 效法、假设法、类比法等思维方法。 策略方面的知识:众多粒子如何转化为一个 粒子的运动(临

6、界法,动态分析法); 数学方面的知识:对称隐含的关系; 审题方面的知识:语文阅读与理解; 能力方面的要求:审题能力、分析能力( 受力分析,运动分析)、综合能力、运用 数学处理物理问题能力。 解法方面的要求:带电粒子在匀强磁场中 做匀速圆周运动的程序解法 “三步法” : 画轨迹(即确定圆心,几何方法求半径并画出 轨迹); 找联系(即轨道半径与磁感应强度、运动速度 相联系,偏转角度与圆心角、运动时间相联系 ,在磁场中运动的时间与周期相联系); 用规律(即牛顿第二定律和圆周运动的规律, 特别是周期公式、半径公式)。 一、圆心、半径、运动时间的确定: 问题1 若已知粒子在进、出磁场 时的速度方向,如图

7、(a)所示, 如何确定圆心位置? 图a P Q v v NM 问题2 若已知粒子在磁场中运动时 入射速度的方向和出射点,如图 (b)所示,如何确定圆心位置? P Q v NM 图b (1)圆心的确定。 思路:圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 已知入射方向和出射方向:由于洛仑兹力F指 向圆心,根据Fv,画出粒子运动轨迹中任 意两点(一般是射入和射出磁场的两点) F的方 向,沿两个洛伦兹力F所在直线分别画其延长 线,两延长线交点即为圆心O; 已知入射方向和出射点的位置:利用圆心位置 必定在圆中一根弦的中垂线上,作出入射点与 出射点连线的中垂线,其与入射点洛伦兹力F 延长线的交点即为圆心位置。 O

8、 FF 图a P Q v v NM O F P Q v NM 图b 带电粒子在常见不同边界磁场中的运动: 直线边界(进出磁场具有对称性,如图1) 平行边界(存在临界条件,如图2) 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出,如图3) (a) O v v (b) O v v (c) O v v 图1 O v v 图3(b) O v v (c) O v v 图2 (a) O v v (2)半径的确定。 如图所示,利用平面几何知识 求出该圆的可能半径(或圆心角) 时,应注意两个重要的几何特点: 粒子速度的偏向角等于回旋角(圆心角) ,等于速度方向与轨迹圆弧对应弦AB的夹角 (弦切角)的2倍,即=2=t; 相对

9、的弦切角相等,与相邻的弦切角互 补,即+=180. O (偏向角) O A B v v (3)运动时间的确定。 利用回旋角(即圆心角)与弦切角的关系, 或者利用四边形内角和等于360计算出圆心角 的大小,再由公式t = (或t = )即可 求出粒子在磁场中的运动时间t; 若粒子在磁场中运动的弧长s和速率v已知, 则运动时间t = 。 二、带电粒子在直线边界磁场中运动 带电粒子在直线边界磁场中运动时,粒子 在无磁场空间(不计重力场)做匀速直线运动, 在匀强磁场中做匀速圆周运动,进出各磁场边 界时速度方向与边界的夹角相等,即从同一边 界射入的粒子,再从同一边界射出时,速度方 向与边界之间的夹角相等

10、。其轨迹关于入射点 和出射点线段的中垂线对称。 【例】如图a所示,在一水平放置的平板MN的上方有匀 强磁场,磁感应强度的大小为B,磁场方向垂直纸面向 里。许多质量为m、带电荷量为+q的粒子,以相同的速 率v沿位于纸面内的各个方向,由小孔O射入磁场区域 ,不计粒子重力,不计粒子间的相互影响。图b中阴影 部分表示带电粒子可能经过的区域, 其中R= ,则图b中正确的是( ) MN O B 图a MN O C 2R 2R 2R MN O D 2R R 2R 图b NM O A R 2R 2R MN O B R 2R 2R 旋转动态圆法 在直线边界磁场中的应用 解析:带电粒子垂直进入匀强磁场中做圆周运动

11、,由 于它们入射速度大小相等,故圆周运动的半径R相等, 向垂直于磁场的各个方向发射粒子时,粒子运动轨迹 是围绕发射点O以2R为半径旋转的动态圆。多画几个入 射方向不同(典型和特殊的)的粒子的运动轨迹,可得 知这些圆周所覆盖区域即为所求。 如图c中红线所示,区域的左边缘是 以O为圆心、以2R为半径的四分之一 圆,右边缘是从O点几乎沿MN方向入射粒子的轨迹。 比较之后可知A图正确。 MN O C 2R 2R 2R MN O D 2R R 2R 图b NM O A R 2R 2R MN O B R 2R 2R MN B O 图c 小结:垂直于磁场向各个方 向发射速率相同的带电粒子 时,粒子的运动轨迹

12、是围绕 发射点旋转的动态圆。 演练:如图所示,直线MN上方存在磁感应强 度为B的匀强磁场,质量为m、电荷量为e 的 正、负电子,同时从同一点 O以和MN成30角的同样速 度v射入磁场,问: (1) 它们从磁场中射出时相距多远? (2) 射出的时间相差多少? MN O v B 30 问题1 正、负电子在该磁场中各做什么运动? 问题2 正、负电子的轨道半径关系如何? 正、负电子分别沿顺时针方向 和逆时针方向做匀速圆周运动。 问题3 正、负电子的运动周期关系如何? 根据r = 可知正、负电子的轨道半径相等。 根据T= 可知正、负电子的运动周期相等。 MN O v B 30 解析:由带电粒子在匀强磁场

13、中做匀速圆周运 动的半径公式r = 和周期公式T= 知,正 、负电子的轨道半径和周期是相同的,只是偏 转方向相反。考虑到向心力方向跟速度方向垂 直,圆心一定在过O点 且垂直于速度的直线上, 因此可确定圆心和半径; MN O v B 30 O1 O2 1 2 由对称性知,射入、射出点处速度与MN所成的角必然 相等。即射入点、射出点和圆心恰好是正三角形的三 个顶点,两个射出点P、Q相距s=2r = , 正、负电子在磁场中轨迹圆弧 所对应的圆心角分别是1=60和 2=300,经历时间分别为 t1= ,t2= , 时间差t =t2-t1= MN O v B 30 O1 O2 1 2 v v Q P 小

14、结:从同一边界射入的粒子,再从同一 边界射出时,速度方向与边界之间的夹角 相等。即正、负电子再从边界MN射出时的 速度方向必定平行。 正、负电子在磁场 中的两段轨迹圆弧 恰好组成一个完整 的圆周。 MN O v B 30 O1 O2 1 2 如图所示,在圆形有界磁场区域内,沿径向射入 的粒子,必定沿径向射出,即入射速度方向指向匀强 磁场区域圆的圆心,出射速度方向的反向延长线必过 该圆形有界磁场区域的圆心; 三、带电粒子在圆形有界磁场中的运动 若入射速度方向与轨迹圆弧对应的弦所夹角为( 弦切角),则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为 2,轨迹圆弧对应的圆心角也为2, 并且初末速度方向的交点、轨

15、迹圆的圆 心O 、区域圆的圆心O都在该弧对应弦 的垂直平分线上。 O 2 O 2 v v 【例】如图a所示,一半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线 方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B,一质量为m ,电荷量为q的带正电粒子(不计重力)以速度v从筒 壁的A孔沿半径方向进入筒内,设粒子 和筒壁的碰撞无电荷量和能量的损失, 那么要使粒子与筒壁连续碰撞,绕筒 壁一周后恰好又从A孔射出,问: (1) 磁感应强度B的大小必须满足什么条件? (2) 粒子在筒中运动的时间为多少? O A v m,q 图a 粒子在圆形有界磁场中运动 磁感应强度的极值问题 解析:(1)如图b所示,粒子从A射入圆筒后受洛伦兹 力作用而偏转,设第一次与B点碰撞,碰后速度大小 不变又指向O点,假设运动轨迹是n段相等的圆弧,粒 子将与筒壁碰撞n-1次再从A孔射出。 设第一段圆弧的圆心为O,半径为r, 则= ,由几何关系有 r =R tan,又qvB=m ,即r = , 解得B = (n=3,4,5); O A B R 图b O r (2)粒子运动周期T= ,将B的表达式代入 可得T = ,弧AB所对圆心角=-2= ,粒子由A运动到B所用时间为 t = (n=3,4,5),粒子运动的总时间 t = nt = (n=3,4,5)。 O O

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