带电粒子在有界磁场中运动综述

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1、带电粒子在有界磁场中 的运动问题 授课课题：带电粒子在有界磁场中运动 教学目标 知识能力目标： 1. 会建立模型，根据不同模型选择合适的物理规律，掌握粒子 在磁场中运动的有关公式。 2. 掌握确定圆心，求半径，画轨迹，寻找几何关系的程序和操 作方法；力的合成与分解、运动的合成与分解、等效法、假设法 、类比法等思维方法。 3. 会将众多粒子转化为一个粒子的运动(临界法，动态分析法) 。 4. 培养审题能力、分析能力(受力分析，运动分析)、综合能力 、运用数学处理物理问题能力。 价值情感目标：学会运用等效法、假设法、类比法、临界法、 动态分析法等思维方法，培养运用数学处理物理问题能力。 教学重点

2、带电粒子在各种有界匀强磁场中的运动，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周 运动的程序解法三步法。 画轨迹(即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹)； 找联系(即轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、 运动时间相联系，在磁场中运动的时间与周期相联系)； 用规律(即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式)。 教学难点 利用旋转动态圆法、收缩法、二次函数判别式求极值等方法的运用。 教学方法 问题讨论法，讲练结合法 教学课时 1-2课时 教学过程 一、圆心、半径、运动时间的确定 (1) 圆心的确定 (2) 半径的确定 (3) 运动时间的确定 二、带电粒子在直线边界磁场中的运动

3、 三、带电粒子在圆形有界磁场中的运动 四、带电粒子在方形有界磁场中的运动(圆连续缩放法) 五、带电粒子在环状有界磁场中的运动 六、带电粒子在“空心状”磁场中的运动 七、带电粒子在三角形有界磁场中运动 八、带电粒子在扇形有界磁场中的运动(旋转动态圆法) 九、带电粒子在半圆形有界磁场中运动 带电粒子在磁场中运动的问题，一 般有带电粒子在无界磁场或有界磁场中 做完整的圆周运动；带电粒子在有界磁 场中做一段圆弧运动。 带电粒子在有界磁场中运动的临界 问题是高考的重点问题和理综命题的热 点问题，对此类问题的解题规律进行总 结归纳很有必要。 解决带电粒子在磁场中运动的临界问题， 应注意挖掘隐含条件。常用结

4、论： 刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁 场中运动的轨迹与边界相切； 当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心 角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时 间越长； 当速度v变化时，圆心角越大，运动时间 越长。 解决带电粒子在磁场中运动的极值问题，关键在 于找准“临界点”，以题目中的“恰好”、“最大”、“最 高”、“至少”等词语为突破口，借用半径R和速度v( 或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析， 确定轨迹圆边界的关系，找出临界点，然后利用数 学方法求解极值。 磁场区域面积极值：若磁场边界为圆形时，从 入射点到出射点连接的线段就是圆磁场的一条弦， 以该条弦为直径的圆形磁场区就是最小面积。

5、 带电粒子在磁场中的运动，形式千变万 化，但基本模型只有一个圆周运动。解决 带电粒子在磁场中运动问题的关键在于确 定圆心O和半径R。由于考试时间有限，容 不得充分的思考，对知识和能力的要求较 高，尤其是作图能力的要求，对分析问题 的灵敏性和严谨性要求也较高。要有较强 的物理意识和扎实的基础知识。 知识层面的知识：模型的建立，根据不同模 型选择合适的物理规律和粒子在磁场中运动 的有关公式； 方法层面的知识：确定圆心，求半径，画轨 迹，寻找几何关系的程序和操作方法；常用 到力的合成与分解、运动的合成与分解、等 效法、假设法、类比法等思维方法。 策略方面的知识：众多粒子如何转化为一个 粒子的运动(临

6、界法，动态分析法)； 数学方面的知识：对称隐含的关系； 审题方面的知识：语文阅读与理解; 能力方面的要求：审题能力、分析能力( 受力分析，运动分析)、综合能力、运用 数学处理物理问题能力。 解法方面的要求：带电粒子在匀强磁场中 做匀速圆周运动的程序解法 “三步法” : 画轨迹(即确定圆心，几何方法求半径并画出 轨迹)； 找联系(即轨道半径与磁感应强度、运动速度 相联系，偏转角度与圆心角、运动时间相联系 ，在磁场中运动的时间与周期相联系)； 用规律(即牛顿第二定律和圆周运动的规律， 特别是周期公式、半径公式)。 一、圆心、半径、运动时间的确定： 问题1 若已知粒子在进、出磁场 时的速度方向，如图

7、(a)所示， 如何确定圆心位置？ 图a P Q v v NM 问题2 若已知粒子在磁场中运动时 入射速度的方向和出射点，如图 (b)所示，如何确定圆心位置？ P Q v NM 图b (1)圆心的确定。 思路：圆心一定在与速度方向垂直的直线上。 已知入射方向和出射方向：由于洛仑兹力F指 向圆心，根据Fv，画出粒子运动轨迹中任 意两点(一般是射入和射出磁场的两点) F的方 向，沿两个洛伦兹力F所在直线分别画其延长 线，两延长线交点即为圆心O； 已知入射方向和出射点的位置：利用圆心位置 必定在圆中一根弦的中垂线上，作出入射点与 出射点连线的中垂线，其与入射点洛伦兹力F 延长线的交点即为圆心位置。 O

8、 FF 图a P Q v v NM O F P Q v NM 图b 带电粒子在常见不同边界磁场中的运动： 直线边界(进出磁场具有对称性，如图1) 平行边界(存在临界条件，如图2) 圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图3) (a) O v v (b) O v v (c) O v v 图1 O v v 图3(b) O v v (c) O v v 图2 (a) O v v (2)半径的确定。 如图所示，利用平面几何知识 求出该圆的可能半径(或圆心角) 时，应注意两个重要的几何特点： 粒子速度的偏向角等于回旋角(圆心角) ，等于速度方向与轨迹圆弧对应弦AB的夹角 (弦切角)的2倍，即=2=t； 相对

9、的弦切角相等，与相邻的弦切角互 补，即+=180. O (偏向角) O A B v v (3)运动时间的确定。 利用回旋角(即圆心角)与弦切角的关系， 或者利用四边形内角和等于360计算出圆心角 的大小，再由公式t = (或t = )即可 求出粒子在磁场中的运动时间t； 若粒子在磁场中运动的弧长s和速率v已知， 则运动时间t = 。 二、带电粒子在直线边界磁场中运动 带电粒子在直线边界磁场中运动时，粒子 在无磁场空间(不计重力场)做匀速直线运动， 在匀强磁场中做匀速圆周运动，进出各磁场边 界时速度方向与边界的夹角相等，即从同一边 界射入的粒子，再从同一边界射出时，速度方 向与边界之间的夹角相等

10、。其轨迹关于入射点 和出射点线段的中垂线对称。 【例】如图a所示，在一水平放置的平板MN的上方有匀 强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直纸面向 里。许多质量为m、带电荷量为+q的粒子，以相同的速 率v沿位于纸面内的各个方向，由小孔O射入磁场区域 ，不计粒子重力，不计粒子间的相互影响。图b中阴影 部分表示带电粒子可能经过的区域， 其中R= ，则图b中正确的是( ) MN O B 图a MN O C 2R 2R 2R MN O D 2R R 2R 图b NM O A R 2R 2R MN O B R 2R 2R 旋转动态圆法 在直线边界磁场中的应用 解析：带电粒子垂直进入匀强磁场中做圆周运动

11、，由 于它们入射速度大小相等，故圆周运动的半径R相等， 向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子运动轨迹 是围绕发射点O以2R为半径旋转的动态圆。多画几个入 射方向不同(典型和特殊的)的粒子的运动轨迹，可得 知这些圆周所覆盖区域即为所求。 如图c中红线所示，区域的左边缘是 以O为圆心、以2R为半径的四分之一 圆，右边缘是从O点几乎沿MN方向入射粒子的轨迹。 比较之后可知A图正确。 MN O C 2R 2R 2R MN O D 2R R 2R 图b NM O A R 2R 2R MN O B R 2R 2R MN B O 图c 小结：垂直于磁场向各个方 向发射速率相同的带电粒子 时，粒子的运动轨迹

12、是围绕 发射点旋转的动态圆。 演练：如图所示，直线MN上方存在磁感应强 度为B的匀强磁场，质量为m、电荷量为e 的 正、负电子，同时从同一点 O以和MN成30角的同样速 度v射入磁场，问： (1) 它们从磁场中射出时相距多远？ (2) 射出的时间相差多少？ MN O v B 30 问题1 正、负电子在该磁场中各做什么运动？ 问题2 正、负电子的轨道半径关系如何？ 正、负电子分别沿顺时针方向 和逆时针方向做匀速圆周运动。 问题3 正、负电子的运动周期关系如何？ 根据r = 可知正、负电子的轨道半径相等。 根据T= 可知正、负电子的运动周期相等。 MN O v B 30 解析：由带电粒子在匀强磁场

13、中做匀速圆周运 动的半径公式r = 和周期公式T= 知，正 、负电子的轨道半径和周期是相同的，只是偏 转方向相反。考虑到向心力方向跟速度方向垂 直，圆心一定在过O点 且垂直于速度的直线上， 因此可确定圆心和半径； MN O v B 30 O1 O2 1 2 由对称性知，射入、射出点处速度与MN所成的角必然 相等。即射入点、射出点和圆心恰好是正三角形的三 个顶点，两个射出点P、Q相距s=2r = ， 正、负电子在磁场中轨迹圆弧 所对应的圆心角分别是1=60和 2=300，经历时间分别为 t1= ，t2= ， 时间差t =t2-t1= MN O v B 30 O1 O2 1 2 v v Q P 小

14、结：从同一边界射入的粒子，再从同一 边界射出时，速度方向与边界之间的夹角 相等。即正、负电子再从边界MN射出时的 速度方向必定平行。 正、负电子在磁场 中的两段轨迹圆弧 恰好组成一个完整 的圆周。 MN O v B 30 O1 O2 1 2 如图所示，在圆形有界磁场区域内，沿径向射入 的粒子，必定沿径向射出，即入射速度方向指向匀强 磁场区域圆的圆心，出射速度方向的反向延长线必过 该圆形有界磁场区域的圆心； 三、带电粒子在圆形有界磁场中的运动 若入射速度方向与轨迹圆弧对应的弦所夹角为( 弦切角)，则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为 2，轨迹圆弧对应的圆心角也为2， 并且初末速度方向的交点、轨

15、迹圆的圆 心O 、区域圆的圆心O都在该弧对应弦 的垂直平分线上。 O 2 O 2 v v 【例】如图a所示，一半径为R的绝缘圆筒中有沿轴线 方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m ，电荷量为q的带正电粒子(不计重力)以速度v从筒 壁的A孔沿半径方向进入筒内，设粒子 和筒壁的碰撞无电荷量和能量的损失， 那么要使粒子与筒壁连续碰撞，绕筒 壁一周后恰好又从A孔射出，问： (1) 磁感应强度B的大小必须满足什么条件？ (2) 粒子在筒中运动的时间为多少？ O A v m,q 图a 粒子在圆形有界磁场中运动 磁感应强度的极值问题 解析：(1)如图b所示，粒子从A射入圆筒后受洛伦兹 力作用而偏转，设第一次与B点碰撞，碰后速度大小 不变又指向O点，假设运动轨迹是n段相等的圆弧，粒 子将与筒壁碰撞n-1次再从A孔射出。 设第一段圆弧的圆心为O，半径为r， 则= ，由几何关系有 r =R tan，又qvB=m ，即r = ， 解得B = (n=3，4，5)； O A B R 图b O r (2)粒子运动周期T= ，将B的表达式代入 可得T = ，弧AB所对圆心角=-2= ，粒子由A运动到B所用时间为 t = (n=3，4，5)，粒子运动的总时间 t = nt = (n=3，4，5)。 O O