材料力学 第三章 扭 转.

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1、第三章第三章 扭扭 转转 3-1 概 述 工程上有一些直杆，在外力作用下，其变形是横截面绕 着杆轴线转动，这种变形称为扭转。以扭转为主要变形的杆 件称为轴（shaft）。 外力特点：外力是一平衡力偶系，作用在垂直于 杆轴线的平面内。 变形特点：所有横截面绕杆轴线作相对转动，任 意两横截面之间产生相对角位移，称为扭转角， 用表示；纵向线也随之转过一角度。 T T 扭矩的计算扭矩的计算 扭矩图扭矩图 1. 扭矩用Mx表示，单位：Nm, kNm。 2. 符号规定：按右手螺旋法则，以拇指代表横截 面外法线方向，与其余4指转向相同的扭矩为正， 反之为负。 3. 计算方法：截面法 扭矩图 以平行于杆轴线的

2、坐标为x坐标，表示横截面 的位置；以垂直于杆轴线的坐标为Mx坐标，表示 各横截面扭矩Mx的大小，画出的图形称为扭矩图。 例 画出如图所示圆轴的扭矩图。 T3T TT 123 32 1 ABCD 功率、转速与外力偶矩的关系功率、转速与外力偶矩的关系 WW= =T T = = t t P P= = WW t t T T= = WW = = PtPt t t = = P P =2=2n n/60/60 n n转速（转转速（转/ /分），分），P P以以kWkW计，则计，则 T T =9.55=9.55 P P n n （kNmkNm） 应力分布应力分布 应力公式应力公式 变变 形形应变分布应变分布

3、几何分析几何分析 平面假定平面假定 物理关系物理关系 静力学方程静力学方程 3-2 圆杆扭转时的应力 一、横截面上的应力 O Mx r T T 周线 纵线 周线 纵线 1. 变形几何关系 （1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度。 a b c d dx a b c d dx a a b b c c d d a a b b c c d d c c d d TT 周线 纵线 a b c d dx （1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变， 绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度。 平面假设：横截面变形后仍为平面，并如同

4、刚片一样仅 绕杆轴线做相对转动，其上任一半径始终保持为直线。 由表及里，里外周线变形一致由表及里，里外周线变形一致 dx c r a b O d O 分析横截面上应变情况分析横截面上应变情况 c d d f e c d d c 周线 纵线 a b c d dx f e g d dx tan = = ee dx = d dx = d dx = = 称为单位长称为单位长 度杆的相对度杆的相对 扭转角扭转角 几何方程几何方程 dx c r a b O d O c d d f e f e g 2. 物理关系 切应变发生在垂直于半径的 平面内，从而切应力也垂直 于半径。 根据实验得到，在弹性范围内 =G

5、 剪切胡克定律 G为切变模量 c d d c 横截面上切应力的分布规律 Mx o =G 3. 静力学关系 o Mx dA r dA Mx= dA A Mx= G2 dA A d dx = = A d dx G2dA d dx =G 令令 I Ip p = = A 2dA = = A d dx G2dAMx = = d dx G I Ip p d dx = = Mx G I I p p 故故 从而从而 = Mx I Ip p = max Mxr I Ip p = Mx WW p p WW p p = = I Ip p r 称为扭转截面系数称为扭转截面系数 截面的极惯性矩截面的极惯性矩 GI I

6、p p 抗扭刚度抗扭刚度 二、极惯性矩和抗扭截面系数的计算 1. 实心圆截面 I Ip p = = A 2dA d 4 32 = = = = d 3 16 dA=2d I Ip p = = A 2dA = 22d 0 d/2 d d o WW p p = = I Ip p r 2. 空心圆截面 D d o d I Ip p = = D 4 32 = = (1-(1- 4 4 ) ) D 4 32 - - d 4 32 WW p p= = D 3 16 (1-(1- 4 4 ) ) =d/D=d/D 3.薄壁圆环截面 r0 D d d0 o 例 直径为50mm的传动轴。电动机通过A轮输入功率，

7、由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶矩分别为 TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm，TD=0.95kNm 。（1）作轴的扭矩图,(2）求轴的最大切应力。 Mx /kNm x + - 1.43 1.75 0.95 解：1.作扭矩图 2.最大切应力 Mx /kNm x + - 1.43 1.75 0.95 2.最大切应力 解： 各横截面上扭矩均为Mx=T=10kN m （1）实心圆截面 d T T D/2 T T D 例 直径d =100mm的实心圆轴，两端受力偶矩T=10kNm作 用，求横截面上的最大切应力。若改用内、外直径比值为 0.5的空心圆轴，且横截

8、面面积不变，问最大切应力是多少？ d T T （1）实心圆截面 （2）空心圆截面 D/2 T T D 实心： 空心： 由面积相等，且内、外直径比 =0.5 例 两空心圆轴，横截面面积相等，内、外直径比值 分别为0.6和0.8，在相同扭矩作用下，问哪一个的最大切 应力大？ 0.6D1 T T D1 0.8D2 T T D2 线弹性材料，弹性范围内加线弹性材料，弹性范围内加 载，两种材料共同变形载，两种材料共同变形 1. 1. 横截面上的切应力怎样分布；横截面上的切应力怎样分布； 2. 2. 横截面上两种材料交界处的切应力横截面上两种材料交界处的切应力 是否连续；是否连续； 3. 3. 横截面上两

9、种材料的最大切应力。横截面上两种材料的最大切应力。 G1 G2 d 2d G2 G1 Mx 思考题思考题 (b) dx dy dz 三、切应力互等定理 x dx (a) o o ( dydz)dx =( dxdz)dy MMO O O O=0=0 故故 = 扭转圆轴纵截面上切应力？ 切应力互等定理：在任何受力杆 件中，过一点相互垂直的两个截面上 ，垂直于两截面交线的切应力大小相 等，并共同指向或背离这两面的交线 。 这是材料力学中普遍适用的一个定理 dx dy dz o o = 3-3 圆杆扭转时的变形扭转超静定问题 一、圆杆扭转时的变形一、圆杆扭转时的变形 d dx = = = Mx G I

10、 I p p 单位长度杆相对扭转角单位长度杆相对扭转角 d dx x微段相对扭转角微段相对扭转角 d= = dx 长长l l的圆杆两端截面相对扭转角的圆杆两端截面相对扭转角 = = = d l l l l 0 0 Mxdx GI I p p 当杆长当杆长l l范围内的范围内的 Mx、 G及及I I p p 为常数时为常数时 Mxl GI I p p =( (radrad) ) 扭转角扭转角：横截面之间的相对角位移。：横截面之间的相对角位移。 例 图示钢制实心圆截面传动轴。已知：T1 =0.82kNm， T2 =0.5kNm， T3 =0.32kNm，lAB=300mm， lAC=500mm。

11、轴的直径d=50mm，钢的切变模量G=80GPa。试求截面C相 对于B的扭转角。 解: AB、AC两轴段的扭矩分别Mx1=0.5kNm， Mx2 =0.32kNm。 T2T1 T3 d BAC lAClAB T2T1 T3 d BAC lAClAB T1T3 d AC lAC AC Mx1=0.5kNm Mx2 =0.32kNm lAC=500mm G=80GPa d=50mm T2T1 T3 d BAC lAClAB T2T1 T3 d BAC lAClAB Mx1=0.5kNm Mx2 =0.32kNm lAB=300mm G=80GPa d=50mm AC AB 二、扭转超静定问题 杆在

12、扭转时，如支座反力仅用静力平衡方程不能求出， 这类问题称为扭转超静定问题。 其求解方法与拉压超静定问题类似。 ABC T ab TA TB ABC T ab TA TB 变形协调条件 A、B两固定端, CA与CB 的 数值相等。 故 从而 平衡方程 思考题： 横截面面积相同的空心圆杆与实心圆杆，它们的强 度、刚度哪一个大？但工程中为什么使用实心杆较多？ 3-4 扭转时材料的力学性能 由低碳钢薄壁圆筒扭转试验可以测得T- 曲线 故可得 -曲线 r0 =G剪切胡克定律 E、G、v的关系 p 剪切比例极限 s 剪切屈服极限 铸铁：铸铁： 变形小，沿变形小，沿4545 o o 螺旋面断裂螺旋面断裂 可

13、得切应力强度极限b 实心圆截面实心圆截面 实心圆轴的扭转试验还可得到切变模量实心圆轴的扭转试验还可得到切变模量G G。 3-5 扭转圆杆的强度计算和刚度计算 一、强度计算 等直圆杆扭转时的强度条件为 式中Mxmax 是危险截面上的扭矩。 三方面的强度计算：校核强度、设计截面和容许力偶矩。 1. 1. 校核强度校核强度 2. 2. 设计截面设计截面 3. 3. 求容许外力偶矩求容许外力偶矩 max Mxmax WP = = Mxmax WP Mxmax WP = u n u 极限切应力 对于脆性材料u=b 对于塑性材料u=s =（0.5-0.6）塑性材料 脆性材料=（0.8-1.0） 容许切应力

14、 例 直径为50mm的实心传动轴。电动机通过A轮输入 功率，由B、C和D轮输出。已知A、B、C和D轮所受力偶 矩分别为TA=3.18kNm，TB=1.43kNm，TC=0.80kNm， TD=0.95kNm,=75MPa。 （1）作轴的扭矩图,(2）校核轴的切应力强度。 d 解： （1）轴的扭矩图 Mx 1.43 (kNm) 0.95 1.75 - + - d （2）校核轴的切应力强度 AC段截面扭矩绝对值最大 Mx 1.43 (kNm) 0.95 1.75 - + - 轴的最大切应力 MMx x max max=1.75 =1.75 kNm =75MPa 故该轴满足切应力强度要求。 二、刚度

15、计算二、刚度计算 ( (rad/mrad/m) ) 为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。为容许的单位扭转角，可在设计手册中查到。 Mxmax GIp = = max 等直圆杆扭转的刚度条件为 精密机器： 一般传动轴： 钻杆： =(0.15-0.3)o /m =(0.3-2.0)o /m =(2.0-4.0)o /m 例 一传动轴如图3-14a所示。设材料的容许切应力 =40MPa，切变弹性模量G=810MPa，杆的容许 单位长度扭转角=0.20/m。试求轴所需的直径。 解：（1）轴的扭矩图 Mx (kNm) 3.5 7 + + （2 2）求直径）求直径 Mx (kNm) 3.5 7 + + （3 3