幂级数解方程(偏微分方程).

《幂级数解方程(偏微分方程).》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂级数解方程(偏微分方程).（92页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、幂级数解法本征值问题 第十一章 王建东 沙河校区计算机楼东206 jdwang 11.1二阶常微分方程的幂级数解法 11.1.1幂级数解法理论概述 1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量 一、分离变量法求解偏微分方程： 可直接求解 可直接求解 对第3个方程作变量替换 为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解 若讨论问题讨论问题 具有旋转轴对转轴对 称性，即 m=0 为 l 阶勒让德方程，不可直接求解 2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量 可直接求解 可直接求解 对第3个方程： (1) 若 0 ，作变换变换 为 m 贝塞尔方程，不可直接求解 =0可直接求解 (2) 若 1时时 级级数收敛敛

2、，当 1时级时级 数发发散。 对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。 对对于pl(x)： 根据高斯判别别法，=1，级级数pl(x)发发散。 有界 对对于ql(x)： 根据高斯判别别法，=1，级级数ql(x)发发散。 有界 如果级级数解 pl(x) 和 ql(x) 退化为有限项，即多 项式，则它们在x=1处处取有限数值值，那么发发散问问 题题就根本不存在了。 考察 pl(x)： 如果l是某个偶数，l=2n(n是正整数)，则则 pl(x)只到 x2n项为止，从x2n+2项起（上式彩色项），系数都含 有因子(2n-l)从而都为0。这样pl(x)不再是无穷级数 ，而是2n次多项式，并

3、且只含偶次幂。至于pl(x)因 其系数不含(2n-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发处发 散。 考察ql(x)，如果l是某个奇数，l=2n+1(n是非负负 整数)，则则 ql(x)只到x2n+1项为止，从x2n+3项起，系数 都含有因子(2n+1-l)从而都为0。这样ql(x) 是2n+1次 多项式，并且只含奇次幂。此时pl(x)因其系数不含 (2n+1-l)，仍是无穷级数，且在x=1处发处发 散。 其实实，考察级级数解的系数递递推公式便知，只要l 是整数，如l=n(正负负均可)，k从某个数k=n(n为为正) 或k=-n-1(n为负为负 )起，级级数解的偶数或奇数系数全为为 0：ak+2=0、

4、 ak+4=0，级数的偶数或奇数部分变 成多项式。 一般情况下，我们们均取l是非负负整数，且在一般 解y(x)中取常数a0=0(a10)或a1=0(a00)，使y(x)成为为 一个只含偶次幂幂或奇次幂幂的l次多项项式，作为为特解 ，称作l阶阶勒让让德多项项式，记记Pl(x)。 可以看出 l 次勒让让德多项项式Pl(x)的系数繁琐琐， 为为了使其有比较简单较简单 的形式，且使它在x=1处处的 值值恒为为1(归归一化)，选选最高次幂幂的系数为为： 勒让让德多项项式Pl(x)的系数递递推关系改写为为： 这样这样 我们们可从最高次幂幂系数al依次获获得其它低次 幂幂系数： 依次做下去，利用数学归纳归纳

5、 法，可得： 其中： 因此所求得的勒让让德方程的多项项式解为为： 该该 l 阶阶勒让让德多项项式Pl(x)也称为为第一类类勒让让德函数 。 前几个勒让让德多项项式： 当l是非负负整数时时，勒让让德方程的一般解中的一个 解为为勒让让德函数，而另外一个线线性独立的解则为则为 无穷级穷级 数，称为为第二类类勒让让德函数，记为记为 Ql(x)， 其表达式为为（朗斯基行列式导导出，不作要求）： Ql(x)和Pl(x)的递递推公式具有相同的形式，所以勒 让让德方程 的通解为为 总结总结 ： （1）当l不是整数时时，勒让让德方程在区间间-1,1上 有无解解； （2）当l是整数时时，勒让让德方程的通解为为 P

6、l(x)称为为第一类类勒让让德函数，Ql(x)称为为第 二类类勒让让德函数； （3）当l是整数时时，在自然边边界条件下(|cos|1)， 要求解有界，因此必须须取C2=0。 四、正则奇点邻域上的幂级数解法（贝塞尔方程的 求解） 对对于复变变函数(z)的线线性二阶阶常微分方程 ： 如果选选定的z0是该该方程的奇点，则则一般来说说，解 也以z0为为奇点，在z0邻邻域上的展开式不是泰勒级级数 而含有负幂项负幂项 ，即展开式是罗罗朗级级数，且有如下 定理： 定理 11.1.3 若z0为为方程(11.1.1)的正则则奇点， 则则存在两个线线性无关(独立)的解，它们们在这这奇点 的去心邻邻域上可表示成下列

7、形式： 和 或： 常系数s1、s2、ak、bk和A通过过将解代入方程合并(z- z0)的同幂项幂项 使其系数为为0得出，这这里不作展开。 （1）贝贝塞尔方程的求解 对于上述阶贝塞尔方程 所以x=0为方程的正则奇点，根据上述定理，方 程的一个特解可展开为如下形式的级数： 此时 将此3式代入阶贝塞尔方程，可得： 合并x的同幂次： 要使此方程对任意的x都成立，则必须使x的各幂 次前的系数为0，即： 取a00，由第1式可解得： 代入第2式，可解得： 因为 由3式，可解得级数解的系数递推公式： 因为a1=0，从该递推公式可知： 取c= ( 0)，可得偶数幂次系数： 因此我们得到贝塞尔方程的一个特解： 通

8、常我们取 并记y1(x)为J(x)，称之为阶阶贝塞尔函数，即 若取c=-，及 可得方程的另一个特解，并记为记为 J-(x)，称之为- 阶阶贝塞尔函数，即 若n(整数)，当x0时时 J(x)和J-(x)统称为阶阶第一类类贝塞尔函数。 常数 J(x)和J-(x)线性无关，因此贝塞尔方程的通解为： 若=n(整数) (-n+m+1)函数的定义义要求(-n+m+1)0，即m n -1，令k=m-n，可得 即正、负n阶的贝塞尔函数线性相关，因此它们 的线性组合不能构成贝塞尔方程的通解，此时需 要根据Jn(x)求出另一个与它线性无关的特解： 通常这一特解定义为 称为第二类贝塞尔函数或诺伊曼函数。 （2）贝贝

9、塞尔方程解的敛敛散性 对于贝塞尔函数J(x)，其收敛半径为： 即级级数解J(x)的收敛范围为0|x|。 对于贝塞尔函数J-(x)，其收敛半径为： 但此级级数解J(x)存在负幂项，所以其收敛范围 为0|x|。 （3）贝贝塞尔函数举举例 最低阶阶的二个第一类贝类贝 塞尔函数J0(x)和J1(x)在实 际应用中经常遇到，如平行光通过凸透镜在交点 处的光场分布就是一阶贝塞尔函数。 贝塞尔函数可通过数学用表或数学手册查到 11.1.2 施图姆刘维尔本征值 在运用分离变量法求解偏微分方程时，在边 界条件的约束下，会出现种种含有参数的常微分 方程，而它们又只在这些未知参数取特定值时才 有非零解，这些未知参数

10、所取的特定值称为本征 值，相应的非零解则称为本征函数。求本征值和 本征函数的问题称为本征值问题。一些偏微分方 程定解问题的最后解决往往取决于本征值问题的 解决。因此从数学理论上讨论本征值问题具有重 要的意义。 前面对数理方程分离变量后所得到的一些带 有参量的常微分方程的一般形式为： 一、施图姆刘维尔本征值问题 做变换 则原方程变为 因此，任何一个形如上述一般形式的含参数的二 阶常微分方程均可化为此形式，该形式的方程称 为施图姆刘维尔型方程，简称为S-L方程。 施图姆刘维尔型方程附以奇次的第一类、 第二类、第三类或自然边界条件，就构成施图姆 刘维尔本征值问题。 例1： 或 自然边界条件：有界 代

11、入S-L方程可得： 有界有界 此两方程为勒让德方程本征值问题。 例2： 或 自然边界条件：有界 代入S-L方程可得： 有界 有界 此两方程为连带勒让德方程本征值问题。 例3： 自然边界条件：有界 代入S-L方程可得： 有界 此方程为贝塞尔方程本征值问题。 注：方程的x为柱坐标系或极坐标系中的极坐标 例4： C1、C2为常数 代入S-L方程可得： 一维自由弦振动问题分离变量后所得的方程， 其本征值和本征函数分别为： 例5： 代入S-L方程可得： 这是埃尔米特方程 的增长不快于 的本征值问题。（此问题来自量子力学中的谐振 子问题） 例6： 代入S-L方程可得： 这是拉盖尔方程 的本征值问题。（此问

12、题来自量子力学中的氢原 子问题） 的增长不快于 ，y(0)有限 注：在以上各例中，k(x)、q(x)和(x)在开区间间 (a, b)上都取正直。 （2）贝塞尔方程的k(x)=x，k(0)=0，在端点x=0 确实存在着自然边界条件； 从以上各例还可看出，如端点a和b是k(x)的 一级零点，在那个端点就存在着自然的边界条件 ，例如： （1） 勒让德方程的k (x)=1-x2，k(1)=1-(1)2=0 ，在端点x=1确实存在自然边界条件； （3）再如拉盖尔方程的k(x)=xe-x，k(0)在端点x=0 确实有自然边界条件。 二、施图姆刘维尔本征值问题的共同性质 （1） 如果k(x)、 k(x)、

13、q(x)连续或者最多以x=a 和x=b为为一阶阶极点，则则存在无限多个本征值值 条件：S-L本征值问题中的k(x)、q(x)和(x)在 开区间间(a, b)上非负负（0）。 相应的有无限多个本征函数 （2） 所有本征值为实数且非负，即 证明： 本征值n和本征函数yn(x)满足 用yn(x)遍乘各项，并逐项从a到b积分可得 如果在端点x=a是第一类奇次条件yn(a)=0、第 二类奇次条件yn(a)=0或自然边界条件k(a)=0， 则 如果在端点x=a是第三类奇次条件(yn-hyn)x=a=0 ，则 同理，可得无论在哪种边界条件下，都有 因此，有 即 大家自己证 明n= *n （3） 相应于不同本

14、征值m和n的本征函数ym和yn 在区间a,b上带权重(x)正交，即 证明： 本征函数ym和yn(x)满足 yn(x) 第一式 ym(x) 第二式，可得 逐项在区间a,b积分，可得 如果在端点x=b是第一类奇次条件y (b)=0、第二 类奇次条件y(b)=0或自然边界条件k(b)=0，则 如果在端点x=b是第三类奇次条件(y+hy)x=b=0 ，则 同理，可得无论在哪种边界条件下，都有 因此，有 又mn，所以 得证。 如果(x)=1，则是我们以前学过的函数正交关系 （4） 本征函数族y1(x), y2(x), y3(x), 是完备的。 这是说，如果函数f(x)具有连续一阶导数和分 段连续二阶导数

15、，且满足本征函数族所满足的边 界条件，则其可以展开为绝对且一致收敛的级数 ： 证明超出我们的范围，略。 三、广义傅里叶级数 绝对绝对 一致收敛敛的级级数 称为为广义义傅里叶级级数，系数fn(n=1,2,)叫作f(x) 的广义义傅里叶系数，函数族yn(x)叫作这这个级级数展 开的基。 用ym(x)(x)乘上述级级数展开式并逐项积项积 分， 可得： 记记： 由于本征函数带权带权 重的正交性质质，上式右端除了 n=m项项之外全为为0，因此有： 上式积积分的平方根Nm项项叫作本征函数ym(x)的模。 从而f(x)的广义义傅里叶系数 fm为为: 如果本征函数的模Nm=1(m=1,2,)，就称为归为归 一

16、 化的本征函数。对对于正交归归一化的本征函数族， 上述广义义傅里叶系数计计算公式变为变为 ： 对对于非归归一化的本征函数yn(x)，只要改用yn(x)/Nn ，就实现实现 了本征函数的归归一化。 为为了方便，我们们常将本征函数的正交关系写为为: 其中： 称为为克罗罗内克函数，对对于正交归归一化的本征函数 族，上式简简化为为 注：为了应用广义傅里叶系数计算公式，必须先判 定本征函数族是（带权重）正交的，还必须能 计算本征函数族的模。 四、复数的本征函数族 以上的讨论假定了本征函数是实变数的实值函 数。但本征函数也可以是实变数的复值函数，例如 本征值方程 自然周期条件 的本征函数族通常是实实函数族： 这这些实实函数族也完全可以由如下复函数族代替 对对于复数本征函数族，为为了保证证模是实实数，通常 将模定义义修改为为 其中ym(x)*为