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1、弯曲应力 (Bending Stresses) 廖东斌编制 一、弯曲概述 二、梁横截面上的正应力计算 三、梁横截面上的切应力计算 四、梁的合理设计 弯曲应力 五、课内练习 1.工程实例 桥梁，屋梁，车轴都是 最常见梁的例子。 2.定义 凡是以弯曲变形为主的杆件称为梁（beam)。 一、弯曲(bending)概述 当纵向平面上承受垂直于杆件轴线的横向力或 外力偶当作用时，杆件的轴线由直线变成曲线， 此变形称为弯曲变形。 平面弯曲：当作用在梁上的所有外力（或合 力）位于纵向对称面内时，梁的轴线为一条位 于纵向对称面内的曲线的弯曲。（对称弯曲） 纵向对称面：梁的轴线与横截面纵向对称轴所 构成的平面。
2、 支座的简化 固定铰支座 可动铰支座 固定端 CL7TU2 3.3.梁的计算简图梁的计算简图 杆件的简化 用梁的轴线来代替实际的梁 FRy FRx MR FRx FRy FRy 外伸梁 悬臂梁 静定梁的基本形式 简支梁简支梁 超静定梁 三跨连续梁 主跨边跨跨径 简支桥梁简支桥梁 1.纯弯曲： 横力弯曲： 二、梁横截面上的正应力计算 从三方面考虑从三方面考虑 ： 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 静力学静力学关系关系 变形几何关系变形几何关系 纯弯曲时梁横截面上的纯弯曲时梁横截面上的正应力公式推导正应力公式推导 观察梁纯弯曲时变形现象观察梁纯弯曲时变形现象 观察到以下观察到以下变形现象
3、变形现象: : 部分纵向线段缩短，部分部分纵向线段缩短，部分 纵向线段伸长。纵向线段伸长。 梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设：平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂 直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一 个角度。个角度。 纵向直线弯成弧线；纵向直线弯成弧线； 横向直线变形后仍为横向直线变形后仍为 直线直线； 再作再作单向受力假设：单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤假设各纵向纤维之间互不挤 压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态
4、。 梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长 也不缩短也不缩短, ,保持原来的长度，这一纵向纤维层称保持原来的长度，这一纵向纤维层称 为为中性层。中性层。 中性层 中性轴 中性层 z 中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴。中性轴。 变形几何关系变形几何关系 物理关系物理关系 几何关系几何关系 正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的正应中性层上的正应 力为零；力为零； 由于中性轴由于中性轴z z的位置未确定，故的位置未
5、确定，故 y y 无法标定；无法标定； 式中式中 未知未知. .（若已知（若已知MM， 与与MM有何关系？）有何关系？） 上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算。上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算。 设中性轴为设中性轴为 z z y y z z 横截面对横截面对z z轴的轴的静矩静矩 MM 静力学关系静力学关系 中性轴中性轴z z必通过截面形心必通过截面形心 令：令： 截面对截面对yzyz轴的惯性积轴的惯性积 截面对截面对 z z 轴的惯性矩轴的惯性矩 由于由于y y为对称轴为对称轴, , 上式自然满足。上式自然满足。 横截面上正应力横截面上正应力 横截面上最大正应力横截面上最大正应力
6、 WW z z 为弯曲截面系数为弯曲截面系数 沿沿y y 轴线性分布，同一轴线性分布，同一 坐标坐标y y 处，正应力相等。中处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。 中性轴将截面分为受拉中性轴将截面分为受拉 、受压两个区域。、受压两个区域。 最大正应力发生在距中最大正应力发生在距中 性轴最远处。性轴最远处。 Z Z 弯矩为正（下部受拉时）正应力分布图弯矩为正（下部受拉时）正应力分布图 大桥箱梁顶板（波纹管中穿钢绞线，预应力） 大桥箱梁底板扎筋 应力、应变测量应力、应变测量 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切 变形，使横截面
7、发生翘曲，不再保持为平面。变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。 弹性力学精确分析结果指出：当梁的弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于跨高比大于5 5 时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可 忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式， 仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过1%1%。 横力横力弯曲时，弯矩不再是常量。弯曲时，弯矩不再是常量。 公式适用条件：公式适用条件： 1 1）符合平面弯曲）符合平面弯曲 ( (平面假设，横截面有一对称轴）；平面
8、假设，横截面有一对称轴）； 2 2） p( (材料服从胡克定律）。材料服从胡克定律）。 简单截面的Iz和Wz z z d d z z h h b b z z D D d d 2 2、梁的正应力强度条件、梁的正应力强度条件 强度条件强度条件 等直梁等直梁强度条件强度条件 对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以 有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度 条件为：条件为： 请注意：请注意：梁的最大工作拉应力和最大工作压应力不梁的最大工作拉应力和最大工作压应力不 一定发生在同一截面上。一定发生在同一截
9、面上。 利用强度条件可以进行三方面的强度计算：利用强度条件可以进行三方面的强度计算： 已知外力、截面形状尺寸、许用应力，已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁校核梁 的强度。的强度。 已知外力、截面形状、许用应力，已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的截设计梁的截 面尺寸。面尺寸。 已知截面形状尺寸、许用应力，已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。求许可载荷。 而轴向拉而轴向拉( (压压) )时，截面上的应力是均匀分布的。时，截面上的应力是均匀分布的。 思考、思考、建筑房屋中的混凝土承重梁考虑下面建筑房屋中的混凝土承重梁考虑下面 图形的合理性？图形的合理性？ (a)(a)(b)(b)(c)
10、(c) (d)(d) 例1.我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比 例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯 出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 （如何使Wz最大?） h b 解:设圆木直径为d P1 P P2 h z b b z h (b) (a) 例2.两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相 等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条 件确定两者许可载荷之比 P1P2？ 解： z b h z b h 例例3.3.图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用, ,P P =20kN=20kN。 试在下列三种截面形状下，比较所耗材试在下列三种截面
11、形状下，比较所耗材 料：料：(1)(1)高宽比高宽比h/bh/b=2=2的的矩形；矩形；(2)(2)圆形；圆形；(3)(3)工字钢。工字钢。 P P=20=20kNkN 解解: :作弯矩图作弯矩图 20kN.m (1)(1)矩形矩形 (2)(2)圆形圆形 d d11.3cm11.3cm (3)(3)工字形工字形 查查型钢表，取型钢表，取1616号工字钢号工字钢 工字形截面最省料，圆形截面最费料。工字形截面最省料，圆形截面最费料。 为什么？为什么？ 本题中，最大工作应力将略大于许用应力，但不超本题中，最大工作应力将略大于许用应力，但不超 过过5%5%，这在工程中是允许的。这在工程中是允许的。 a
12、 a l l a a q q 解：请同学画弯矩图解：请同学画弯矩图 只有支座处截面与跨只有支座处截面与跨 中截面之弯矩的绝对中截面之弯矩的绝对 值相等，才能使该梁值相等，才能使该梁 的最大弯矩的绝对值的最大弯矩的绝对值 为最小，从而使其最为最小，从而使其最 大正应力为最小。大正应力为最小。? ? 例例4.4.图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当 最大正应力为最小时的支座位置。最大正应力为最小时的支座位置。 思考：思考：主主梁梁ABAB，跨度为，跨度为l l，采用加副梁，采用加副梁CDCD的方法的方法 提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺提高
13、承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺 寸相同，则副梁的最佳长度寸相同，则副梁的最佳长度a a为多少？为多少？ 例5.两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受 荷载如图所示。梁长为l。若材料许用应力为，其 许可载荷P为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一 体，则其许可荷载为多少？ b P P b P l 解：1、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两梁都 有自己的中性层。每梁各承担一半弯矩。 2、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个。 可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 b P z 例例6. 6.图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力 t t =30
14、MP =30MPa a， 许用压许用压 应力应力 c c =60MP =60MPa a, , z z = =7.63107.6310-6 -6 m m4 4 ， 试校核此梁的强试校核此梁的强 度。度。 2.5kN10.5kN 解：作弯矩图作弯矩图 2.5kN.m 4kN.m M C C截面截面： B B截面截面： 满足强度要求满足强度要求 B C 本题本题可不必计算可不必计算为什么？为什么？ 2.5kN.m 4kN.m M 三、梁横截面上的切应力计算 1.矩形截面梁 z y b-梁截面宽 S-静矩 1.矩形截面梁 z y 最大值发生在中性轴上的点 腹板 翼缘 2 2、工字形截面梁的剪应力工字形
15、截面梁的剪应力 在腹板上在腹板上 最大剪应力最大剪应力 3 3、圆截面梁的剪应力、圆截面梁的剪应力 弯曲剪应力强度条件弯曲剪应力强度条件 例7.圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许 用应力=160MPa，=100MPa，试求 最小直径dmin。 解:作内力图 解：解： 由正应力强度条件 ： 由剪应力强度条件： 四、梁的合理设计 提高梁强度的主要措施 控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力 因此应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。 1、梁的合理截面 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。 为指标。 2、合理安排梁的受力情况 对于对于 t t = = c c 的材料，可用与中性轴对称的截的材料，可用与中性轴对称的截 面，使截面上、下边缘面，使截面上、下边缘 tmax tmax= = cmax cmax 对于对于 t t c c 的材料，如铸铁的材料，如铸铁 t t c c ，宜用宜用 中性轴偏于受拉边的截面。中性轴偏于受拉边的截面。 3、采用变截面梁、等强度梁的概念 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用 应力时，称为等强度梁。 课内练习 1、下列说法错误的有( )。 A、图形对其主惯性轴（即主轴）的惯性积为零。 B、图形对其形心主轴的惯性积为零。 C、图形对其形心轴的静矩为零。 D、图形对其主轴的静矩为零。 D 2、下列错误的有( )。 A 、 C y
