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1、3 1 结构力学 Structural MechanicsStructural Mechanics 周 强 土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：qzhou85 第七章 力矩分配法 7-1 引言 7-2 力矩分配法的基本原理 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 7-4 力矩分配法与位移法联合应用 力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精度力矩分配法可以避免解联立方程组，其计算精度 可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。可按要求来控制。在工程中曾经广泛应用。 力矩分配法力矩分配法是基于位移法的逐步逼近精确解的是基于位移法的逐步逼近精确解的近近 似方法似方法。 从数学上说，是一种从
2、数学上说，是一种异步迭代法异步迭代法。 单独使用时只能用于单独使用时只能用于无侧移无侧移（线位移）的结构。（线位移）的结构。 7-1 引言 力矩分配法的理论基础是力矩分配法的理论基础是位移法位移法，力矩分配法，力矩分配法 中对中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号的正负号 规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。规定，与位移法相同（顺时针旋转为正号）。 转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上等 于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与杆 件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。 一、力矩分配法中几个概念 1. 转动刚度（劲度系数） 转动刚度 A A端一
3、般称为近端，端一般称为近端，B B端一般称为远端。端一般称为远端。 7-2 力矩分配法的基本原理 转动刚度 转动刚度 转动刚度 思考： 7-2 力矩分配法的基本原理 利用结点B的力矩平衡条件MB=0，得 图示连续梁，力偶MB使结点B产生转角 B 。 (a) 取结点B为隔离体 2分配系数 杆端弯矩为 7-2 力矩分配法的基本原理 S(B) 为汇交于结点B的各杆件在B端的转动刚度之和。 近端弯矩MBA、MBC为 转角为: 可见：各杆B 端的弯矩与各杆B 端的转动刚度成正比。 7-2 力矩分配法的基本原理 BA、BC 分别称为各杆近端弯矩的分配系数。 令 , 近端弯矩 称为分配 弯矩。 可以写成 一
4、个结点上的各杆端分配系数总和恒等于一个结点上的各杆端分配系数总和恒等于1 1。 7-2 力矩分配法的基本原理 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之 和(B) 应等于多少？ 3传递系数 远端弯矩（传递弯矩） 称为由A 端向B 端的传递系数。 上述计算过程可归纳为： 结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 7-2 力矩分配法的基本原理 远端固定时远端固定时: : 远端铰支时远端铰支时: : 远端定向时远端定向时: : C=1/2C=1/2 C=0C=0 C=-1C=-1 与远端支承 情况有关 1 4i 2i 1 3i 1 i 7-2 力矩分配
5、法的基本原理 例7-1 结构的A端、B端，C端的支撑及各杆刚度如图所 示，求SBA、SBC、SBD及CBA、CBC、CBD。 解:当结点B转动时，A支座只阻止A端发生线位移，相 当于固定铰，故 C支座既阻止C 端的线位移，也可以阻止C 端转动，其作 用与固定端一样，因此 D支座不能阻止D点垂直BD轴的转动，所以 7-2 力矩分配法的基本原理 例7-2 图示梁的AC为刚性杆段，CB杆段EI=常数，求 SAB及CAB 解: 当A端转角=1时，截面 C 有竖向位移 =l=l及转角=1 。CB段的杆端弯矩为 梁AB弯矩图是直线变化的， 按直线比例可得 7-2 力矩分配法的基本原理 解: 当A 转角=1
6、时，因为AC 刚性转动，C 点向下的位 移=l=l ，所以 例7-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。求 SAB ,CAB。 7-2 力矩分配法的基本原理 解:当A 端转动=1时，因AB杆是刚性转动，所以B 产 生向下的竖向位移=l=l ，弹簧反力FyB=k=EI/l2 。则 例7-4 图示梁AB为刚性，B支座为弹性支承，其弹性刚 度 k=EI/l3 ,求SAB ,CAB。 7-2 力矩分配法的基本原理 4不平衡力矩 固定状态: -不平衡力矩， 顺时针为正 固端弯矩-荷载引起的 单跨梁两端的杆端弯矩 ，绕杆端顺时针为正。 7-2 力矩分配法的基本原理 放松状态: 需借助分配系
7、数, 传递系数等概念求解 7-2 力矩分配法的基本原理 例.求不平衡 力矩 7-2 力矩分配法的基本原理 二、力矩分配法基本思想 以图示具体例子加以说明 按位移法求解时按位移法求解时 7-2 力矩分配法的基本原理 由此可得到什么由此可得到什么 结论呢？结论呢？ 如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？如果外荷载不是结点力偶，情况又如何呢？ 7-2 力矩分配法的基本原理 叠加得最终杆端弯矩为叠加得最终杆端弯矩为 近端近端 远端远端 7-2 力矩分配法的基本原理 1 1、先固定结点，由固端弯矩获得结点不、先固定结点，由固端弯矩获得结点不 平衡力矩；平衡力矩； 力矩分配法思路：力矩分配法思路： 3 3
8、、接着用传递系数求传递弯矩、接着用传递系数求传递弯矩； 2 2、然后用分配系数求杆端分配弯矩；、然后用分配系数求杆端分配弯矩； 4 4、最后计算杆端最终杆端弯矩。、最后计算杆端最终杆端弯矩。 这种直接求杆端弯矩，区段叠加作这种直接求杆端弯矩，区段叠加作 MM图的方法即为力矩分配法。图的方法即为力矩分配法。 7-2 力矩分配法的基本原理 例. 计算图示刚架, 作弯矩图 解:确定分配系数 确定固端弯矩 7-2 力矩分配法的基本原理 分配 传递 结点 杆端 BA1C B1A11A1B1CC1 1/2 3/8 1/8 -1/4 1/41/8 7-2 力矩分配法的基本原理 解 （1）计算结点B处各杆端的
9、分配系数 由SBA=4i ， SBC=3i 有分配系数为 一、力矩分配法计算单刚结点的连续梁 例：用力矩分配法计算图示的连续梁的内力。 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 结点B的不平衡力矩为 （2）计算固端弯矩（查表8-1） （3）进行弯矩分配与传递 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 分配系数 47 37 固端弯矩27 -27 -900 分配与传递36 27 最后弯矩 18 0 注意：结点B应满足平衡条件。 将以上结果叠加，即得最后的杆端弯矩。 -963-63 0 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 根据各杆杆端的最后弯矩即可利用叠加法作出连续 梁的弯矩图。 思考：
10、用力矩分配法计算的只有一个刚结点结 构的结果是精确解吗？ 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 二、具有多个结点转角的多跨连续梁 1.先将所有刚结点固定，计算各杆固端弯矩； 2.轮流放松各刚结点，每次只放松一个结点 ，其他结点仍暂时固定，这样把各刚结点的不平 衡力矩轮流进行分配与传递，直到传递弯矩小到 可略去时为止。 这种计算杆端弯矩的方法属于渐近法。 只需依次对各结点使用上述方法便可求解。 步骤: 3. 最后累加固端、分配和传递得结果。 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例：用力矩分配法计算图示的三跨连续梁的内力。 EI=常数 解: (1) 首先引用刚臂将两个刚结点1、2固定
11、。 (2)计算结点1、2处各杆端的分配系数。 结点1的分配系数为结点2的分配系数为 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 (3) 计算固端弯矩 (4) 计算结点的不平衡力矩 结点1的不平衡力矩为 结点2的不平衡力矩为 (5) 按轮流放松结点， 进行弯矩分配与传递。 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 固端弯矩MF -300+300 -600+60000 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 结点分配传递 最后弯矩 +150 +150+75+75 -386 -2890-193 +96.5 +96.5+48.2+48.2 -
12、27.5 -20.7-13.8 +6.9 +6.9+3.4+3.4 -1.9 -1.5-1.0 +0.5 +0.5+0.2+0.2 -0.1 -0.1 -173.2+553.9 -553.9+311.3 -311.30 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 (6) 计算杆端最后弯矩最后，将各杆端的固端弯矩 和历次所得到的分配弯矩和传递弯矩总和加起来，便 得到各杆端的最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩作 弯矩图(略)。 本节叙述的方法同样可适用于无结点线位移的刚架。 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 例： 用力矩分配法做图示结构的弯矩图。各杆EI=常数。 此结构有两个对称轴，根据对
13、称轴处的变形情况可 简化为取1/4结构进行计算。原结构杆件DB的弯矩可由静力 平衡方程求出。 解: 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 1. 计算结点“1”的分配系数 令EI=6 传递系数 2. 求固端弯矩 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 4. 将固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩的结果相加得 最后弯矩，根据各杆杆端的最后弯矩利用叠加法作出刚 架的弯矩图。 3. 进行分配、传递 7-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 一、力矩分配法的基本思路 力矩分配法适用于连续梁和无结点线位移的刚架。力 矩分配法与位移法的基本理论是一致的，即认为结构最后 的内力状态是由荷载单独作用（此时不
14、考虑结点位移，即 把结点位移约束住）和结点位移单独作用下 （放松约束 ，使结构产生变形）产生的内力相叠加的结果。 但二者的不同之处在于用位移法计算时，我们把 结构的最后变形看作是由初始状态一次性完成的；力矩分 配法则是每次只完成一部分变形，经过几次循环之后才逐 渐达到最后的变形值，因而结构在总变形下产生的总内力 也应当是由这几次变形各自产生的内力相叠加。 本章总结 例：图示结构中各杆EI 相同，求分配系数BA 。 解： 注意：本题需正确求解SBC 。 ， 所以 本章总结 （2）结点有外力偶的结构。当结点上有外力偶时， 为正确计算该处不平衡力矩，宜取该结点为隔离体，画出集 中力偶和固端弯矩的实际
15、方向，则由结点的力矩平衡方程求 出不平衡力矩，不平衡弯矩以逆时针旋转为正。 1. 几种情形下约束力矩的计算 （1）带悬臂的结构。求图a 所示连续梁结点B 的不 平衡力矩，可将悬臂端的F 等效平移到支座C上（图b）， 杆BC 的C 端弯矩为M，B 端的传递弯矩为M/2，得B 端的 约束力矩MB=Fl/8+M/2。 本章总结 例：求图a所示连续梁结点B的不平衡力矩。 解：由图b可得结点B的不平衡力矩为 本章总结 （3）支座沉降 例：求图a所示连续梁有支座沉降时，结点C 的约束 力矩。 解： 本章总结 (1) 思路一致。力矩分配法和位移法的思路是一致的， 即都是先固定结点，只考虑除变形外的其他因素，
16、然后再 令结构发生变形，使结构达到最后的变形状态。 (2)实现最后的内力和变形状态的方法不同。位移法的 最后变形状态是一次性完成的，内力是由广义荷载和变形 各自作用的结果相叠加来实现的；力矩分配法则是经循环 运算、逐步修正，将各结点反复轮流地固定、放松，才使 各结点的不平衡力矩逐渐趋近于零，杆端力矩也就逐步修 正到精确值。 二、力矩分配法与位移法的比较 本章总结 例：已知各杆EI=常数，作图a 所示结构的M图。 解: ABCD为静定部分，先求出该部分M 图，再把 MAB反作用于基本部分EABF，用位移法或力矩分配法求 解，答案见图b。 本章总结 例：写出图a 所示结构的解题方法（用计算简图表示 ，并作简要说明）。 解：易知，CIE为静定的附属部分，取CIE为隔离 体，即可求出E、C的支座反力。再将支
