工程力学5第五章弯曲应力综述

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1、第五章 弯曲应力 主讲:符春生 y z x FS M FS M=Mz 51 概述 纯弯曲梁分析 截面上正应力 弯矩M作用产生什么应力? FS 纯弯曲：如图CD段。 剪切(横力）弯曲：如 图AC段和 BD段。M A B CD F aa F 52 梁弯曲时横截面上的正应力 纯弯曲梁：弯矩不为零，剪力为零 （1）横线：变形后仍为 直线，但转过一角度 ，并与纵线仍正交。 M M 一.纯弯曲梁的正应力 中性层与横截面的交 线中性轴z； z （2）纵线：弯成弧 线，上部缩短，下部 伸长, 中间有一层纵线既不 伸长，也不缩短 中性层。 y 对称轴 1几何关系 y z 横线 纵线 （1）平面假设：横截面变形后

2、仍为平面，与弯曲 后的纵线正交； 基本假设 （2）单向受力假设：各纵向线（纤维）之间无挤 压。每一纵向线处于单向受力状态。 1 1 2 2 M M （对称轴） z (中性轴） y y 变形后中性层的曲率半径 。 y任一纵线到中性层的距离 。 d1-1和2-2截面的相对转角。 y 中性层 1 12 2 d a b o1 o2 ba 12 12 o1o2 dx 任一条纤维的线应变为： y 中性层 1 12 2 d a b o1 o2 2.物理关系: y z 3.静力学关系: z y Sz = 0中性轴z通过横截面的形心 。 Iyz =0梁发生平面弯曲的条件。 dA z y EIz弯曲刚度 说明：

3、(2)符号：由M与y的符号确定的符号； 线弹性; 弯曲截面系数WZ= ymax Iz z y 由弯曲变形确定。 (3) z轴为对称时： z轴为非对称时: 二.纯弯曲正应力公式的推广 yt z y yc c 例1 ：一简支梁及其所受荷载如图所示。若分别采 用截面面积相同的矩形截面，圆形截面和工字形截 面,试求以三种截面的最大拉应力。设矩形截面高 为140mm,宽为100mm,面积为14000mm2。 F20kN A C B 33 解：该梁C截面的弯矩最大， Mmax=103=30kN.m 矩形截面: F20kN A C B 33 圆形截面 工字形截面。 选用50C号工字钢,其截面面积为13900

4、0mm2。 在承受相同荷载和截面面积相同时，工字梁所产生的 最大拉应力最小。反过来说，如果使三种截面所产生的最 大拉应力相同时，工字梁所承受的荷载最大。因此，工字 形截面最为合理，矩形截面次之，圆形截面最差。 结论如下： 5-3 矩形截面梁的切应力 1、两点假设: （1）切应力与横截面的侧边平行 （2）切应力沿截面宽度均匀分布 b h F2F1 q(x) z y h b FS x=0 y z=0 z y h b FS 由切应力互等定理 b h FSFS mn nm MM+dM dx F2F1 q(x) m n dx m mn n 2、弯曲切应力公式 y所求点距中性轴的距离。 FS FS mn

5、nm M M+dM dx y y a a b b mn a a b b m m n n dx mn y z a a b b FN1 FN2 dF y d dA A mn a a b b m m n n FS 横截面上剪力。 Iz 整个横截面对中性轴z 的惯性矩。 b横截面宽度。 S z* 横截面上距中性轴y处 横线一侧 截面对中性轴 的面积矩。 dx mn y z a a b b FN1 FN2 dF y d dA A 3、切应力沿截面高度的分布 max h z b y y y=h h/2/2， 0 0 比较 F 剪切弯曲时，平面假设不再成立剪切弯曲时，平面假设不再成立 m m m m 1、腹

6、板 FS横截面上剪力。 矩形截面的两个假定同样适用。 y z b h d h1 翼缘 腹板 一、工字形截面梁 y 5-4、其他形状截面梁的切应力 z z dx h1 b y h FN1 FN2 dF 工字形截面梁腹板上的切应力: FS横截面上剪力。 Iz 整个工字形截面对中性轴z的惯性矩。 d腹板宽度。 Sz* 距z轴y处横线一侧 阴影部分截面对z的面积矩 。 max y z b h d h1 y 1 1 （c） 其中 面积u 对中性轴的面积矩。 2、翼缘 FN2 FN1 B B dx u （b） dFdF B B A A z z dx u b u h ( a )( a ) 1 1 切应力流切

7、应力流 ： 切应力沿截面像水流一样流动的现象。切应力沿截面像水流一样流动的现象。 工字形截面梁切应力的分析方法同样适用于工字形截面梁切应力的分析方法同样适用于T T字字 形，槽形，箱形等截面梁。形，槽形，箱形等截面梁。 1 1 （c） 二、二、圆形截面圆形截面梁梁 z max y d A 三、薄壁圆环截面梁三、薄壁圆环截面梁 z R0 例2：一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。 试求最大拉应力及最大压应力，并画出最大剪力 截面上的切应力分布图。 q20kN/m A CB 2m4m D 280 z y 60 220 c 60 解:(1) 确定横截面形心的位置. (2) 计算横截面的惯性矩Iz

8、. Iz=186.6106mm4 yc=180 q20kN/m A CB 2m4m D 280 z y 60 220 c 60 22.5 M(kN.m) 1.5m 40 (3) 画剪力、弯矩图. q20kN/m A CB 2m4m D280 z y 60 220 c 60 280 z y 60 220 c 60 yc=180 F FS S ( (kNkN) ) 30 50 40 1.5m (4) 计算最大拉应力和最大压应力 由于该梁的截面不对称于中性轴，因而横面 上下边缘的距离不相等，故需分别计算B、D截面 的最大拉应力和最大压应力，然后比较。 在B截面上的弯矩为负，故该截面上边缘各点 处产生

9、最大拉应力，下边缘各点处产生最大压应力。 t max = 4010310010-3/186.610-6=21.4 MPa, c max = 4010318010-3/186.610-6=38.6 MPa 22.5 M(kN.m) 1.5m 40 q20kN/m A CB 2m4m D 280 z y 60 220 c 60 yc=180 D截面上的弯矩为正，故该截面下边缘各点处 产生最大拉应力，上边缘各点处产生最大压应力： t max = 22.510318010-3/186.610-6=21.7 MPa, c max = 22.510310010-3/186.610-6=12.1 MPa 2

10、2.5 M(kNm)1.5m 40 q20kN/m A CB 2m4m D 280 z y 60 220 c 60 yc=180 t max = 21.7 MPa， 发生在D截面的下边缘各点处。 c max = 38.6 MPa， 发生在B截面的下边缘各点处。 4.34MPa 4.13MPa 280 z y 60 220 c 60 FSmax=50kN截面上的切应力分布: yc=180 1max1max 例3：一矩形截面外伸梁，如图所示。现自梁 中1.2.3.4点处分别取四个单元体，试画出单 元体上的应力，并写出应力的表达式。 q A B l 1 2 3 l /4 h /4 l /4 4 4

11、z b h max 解：(1)求支座反力: (2)画FS 图和M 图 FS ql/4 ql/4 ql/2 ql/2 M M 3ql2 /32 ql2 /32 ql2 /32 q A B l 1 2 3 l /4 h /4 l /4 4 4 1 2 z b h max FS ql/4 ql/4 ql/2 ql/2 M M 3ql2 /32 ql2 /32 ql2 /32 q A B l 1 2 3 l /4 h /4 l /4 4 4 3 4 z b h max FS ql/4 ql/4 ql/2 ql/2 M M 3ql2 /32 ql2 /32 ql2 /32 q A B l 1 2 3 l

12、 /4 h /4 l /4 4 4 54、梁的强度计算 危险点： 最大弯矩截面的上、下底面各点为正应力危险点。 最大剪力截面的中性轴各点为切应力危险点。 危险截面：危险截面：最大弯矩截面最大弯矩截面 最大剪力截面最大剪力截面 一、梁的强度计算 1、等截面梁的正应力强度条件为： 注：弯曲容许正应力弯略大于轴向拉压容许正应力轴， 一般可取弯= 轴。 当t c 时，需分别计算tmax和cmax，使 tmax t ， cmax c 。 2、等截面梁的切应力强度条件为: 校核强度； 设计截面； 求容许荷载。 强度计算： 注： 一般情况下，只需按正应力强度条件来进行强度计算， 不必对切应力作校核。 特殊情

13、况下，需校核切应力强度。 a. FS 很大而 M 较小。 b. 焊接或铆接的组合薄壁截面梁。如工字形截面，当复 板高度很高， 厚度很小时，腹板上产生相当大的切应 力。 c. 木梁的顺纹向抗剪强度较低，应校核顺。 d d、题中给定题中给定 。 例4. 如图一简支木梁。已知：t = c = 10 MPa， = 2 MPa。梁截面为矩形，b = 80 mm，求高度。 2m 10kN/m h b z 解：由正应力强度条件确定截面高度， 再校核切应力强度。 1按正应力强度条件计算h 。 而 可取 h = 200 mm 。 2切应力强度校核： 故由正应力强度条件所确定的h=200mm能满足切应力强 度条件

14、。 例5. 一受载外伸梁及截面形状如图。已知:l=2m, Iz=5493104mm4;若材料为铸铁:t = 30 MPa，c = 90 MPa, =24MPa。试求q的容许值,并校核切应力强度。 解：1画剪力、弯矩图，确定危险截面、危险点。 l ql q D l l A B C z y 86 134 40 180 2020 80 FS + - ql/4 3ql/4 ql + M ql2/4 ql2/2 + - 2求 q 。 C截面： q 12.3kN/m l ql q D l l A B C z y 86 134 40 180 2020 80 FS + - ql/4 3ql/4 ql + M

15、ql2/4 ql2/2 + - B截面： q 9.6 kN/m 该梁所受q 的容许值为： q =9.6kN/m l ql q D l l A B Cz y 86 134 40 180 2020 80 FS + - ql/4 3ql/4 ql + M ql2/4 ql2/2 + - 3、校核切应力 l ql q D l l A B C z y 86 134 40 180 2020 80 FS + - ql/4 3ql/4 ql + M ql2/4 ql2/2 + - 二、提高承载能力的措施 1、选择合理截面形式 即Wz /A 越大越合理，此时Iz /A也较大，既可提高强度 ，又可提高刚度。 弯矩M与Wz成正比，WW z z 越大越合理越大越合理 合理截面：合理截面：是在不增加材料消耗的前提下，是在不增加材料消耗的前提下， 尽可能使得尽可能使得WW z z 越大越合理。越大越合理。 如设截面高度为h ， 可见，工字型截面比矩形截面合理，而矩形截面又比圆 截面合理。 选择截面的形式时，还要考虑材料的性能。塑性：中性轴对 称；脆性：中性