复合材料第3章解析

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1、第三章 复合材料性能的复合准则 3.1 连续纤维增强原理 3.1.1 纵向强度和刚度 3.1.2 横向刚度和强度 3.2 短纤维增强原理 3.2.1 短纤维增强复合材料应力传递理论 3.2.2 短纤维增强复合材料的弹性模量与强度 3.3 颗粒增强原理 3.3.1 弥散增强原理 3.3.2 颗粒增强原理 3.4 复合材料的物理性能复合准则 3.1 单向排列连续纤维增强复合材料 3.1.1 纵向强度和刚度 复合材料在受到纤维方向的拉应力时有以下几个假设： 1/ 纤维的性能和直径是均匀的、连续的并全部相互平行 2/ 纤维和基体之间的结合是完美的，界面处无相对滑动 3/ 忽略纤维和基体之间的热膨胀系数

2、、泊松比以及弹性变形差所引起的附加应力 等应变假设认为整个材料的纵向应变是相同的，即复合材料、纤维、基 体具有相同的应变： 考虑到在沿纤维方向的外加载荷由基体和纤维共同承担，应有 式中A表示相应组分的横截面积，上式可转化为 对于平行纤维的复合材料，体积分数等于面积分数。此时有 复合材料、纤维、基体的应变相同，对应变求导数，可得到 表示在给定应变时相应应力-应变曲线的斜率。如果应力- 应变曲线是线性的，则斜率是常数，可以用相应的弹性模量代入，得到 上述公式表明纤维、基体对复合材料平均性能的贡献正比于它们各自的体 积分数，这种关系称作混合法则，这是多组分复合材料体系的基本准则 。 在纤维和基体都是

3、线弹性的情况下，纤维与基体承担应力与载荷的情况 推导如下： 因此有 由此，可得复合材料中组分承载比： 纤维/复合材料承载比与纤维体积分数的关系图 一般复合材料的变形有四个阶段： 1/ 纤维和基体均为线弹性变形；2/ 纤维继续线弹性变形，基体 非线性变形；3/ 纤维和基体都是非线性变形；4/ 随纤维断裂，复合 材料断裂。对于塑性基体的复合材料来说，由于基体的塑性变形， 第二阶段可能占复合材料应力-应变曲线的相当部分，这时，复合 材料的弹性模量应当由下式给出： 对于脆性纤维复合材料未观察到第三阶段。 在复合材料纵向断裂强度可以认为与纤维断裂应变值对应的复 合材料的应变值相等时，由复合法则，得到复合

4、材料纵向断裂强度 公式： （5.14） 式中 是纤维的强度， 是对应纤维断裂应变值的基体应 力。 应用此公式时应满足两个条件： 1/ 纤维和基体在受力过程中处于线弹性变形； 2/ 基体的断裂延伸率大于纤维的断裂延伸率。 图5.2 纤维（f）、基体(m)、及复合材料(c)的应力-应变曲线 下图是复合材料的拉伸强度与纤维体积分数Vf的关系（混合律）。图 中ABC线是式5.14的图示，OC和DF分别是复合材料中纤维承受的载荷和 基体承受的载荷与Vf的关系。图上的B点称为等破坏点，在此点上cu = mu，对应于此点的纤维体积分数称为临界体积分数Vfcrit。 图5.3 复合材料的拉伸强度与纤维体积分数

5、的关系 Vfcrit 按式5.14可得： 从图中DEF线可以看出，当Vf较小时，纤维不但对基体无增强效果，反而使其 强度下降，纤维可看作减小有效截面积的空洞。图中DF和AC的交点E所对应的纤维 体积分数称为纤维的最小体积分数： 当VfVfmin时，纤维起增强作用。 基体材料与性能(MPa)纤维临 界体积分数Vfcrit fu = 700fu = 1750fu = 3500fu = 7000 铝mu = 84, m* = 280.0830.0330.0160.008 铜mu = 210, m* = 420.2250.0980.0470.024 镍mu = 315, m* = 630.3960.1

6、500.0730.036 不锈钢mu = 455, m* = 1750.5840.1780.0840.041 纤维临界体积分数 3.2.2 横向刚度和强度 （1）串联模型：此时纤维和基体上具有相同的应力，即f = m = cT，此时有： （2）Halpin-Tsai公式：这个公式可以用来近似的表达纤维增强复合材料横向弹性模 量严格的微观力学分析结果。公式所预测的值在纤维体积分数不接近一时是十分严 格的。该公式的表达式为： 其中 是与纤维几何、堆积几何及载荷条件有关的参数。可以通过公式和严格的数 学解得到。这个公式十分适合预测实际复合材料的横向弹性模量。 Halpin-Tsai 横向 弹性模量与

7、纤维 体积分数的关系 （2）横向强度 与纵向强度不同的是纤维对横向强度起反作用，假设复合材料横向强度 受基体强度控制，同时可以用一个强度衰减因子S来表示复合材料强度的降 低，则有： 可以认为 S 就是应力集中系数 SCF 或应变集中系数 SMF。如果忽略 泊松效应则有： 使用现代方法S可以计算得到。按照最大形变能判据，S可以写作： 式中 是基体中任何一点的最大归一化形变能， 是外加应力。这种方法 比较精确、严格、可靠。 仿照颗粒增强复合材料的经验公式，可得复合材料横向断裂应变的表达 式： 式中 是基体的断裂应变。如果基体和复合材料有线弹性应力-应变关系， 还可以得到复合材料横向断裂应力公式：

8、以上公式的推导都假设纤维和基体之间有完全的结合，因此断裂发生在基体 或界面的附近。 3.3 短纤维增强原理 3.3.1 短纤维增强复合材料应力传递理论 对于短纤维复合材料来说，端头效应不可忽略，同时复合材料性能是 纤维长度的函数。 （1）应力传递分析 经常引用的应力传递理论是剪切套（Shear Lag）理论。 纤维长度微元上力的平衡 沿纤维长度应力的分布可以通过纤维的微元平衡方式加以考虑，如图， 纤维长度微元dZ在平衡时，要求 即 式中 是纤维轴向应力， 是作用于界面的剪应力，r 是纤维半径。积分得 到距端部横截面上的应力为： 是端部应力。这个量在很多分析中可以忽略。在实际应用过程中经常假设

9、纤维周围的基体是完全塑性的，即剪切应力不随剪切应变变化，并等于基体 剪切屈服应力。忽略端部应力，积分得： 对于短纤维，最大应力发生在纤维的中部（z=l/2）,则有 式中l是纤维长度。纤维承载能力存在一极限值。可由下式表达 式中 是作用于复合材料的外加应力， 可以通过混合法则求出。把能够 达到最大纤维应力的最短纤维强度定义为载荷的传递长度lf，由下式定义： 式中d是纤维直径。可以看出lf是外加应力的函数。当其被定义为与外加应 力无关的临界纤维长度，则有下式： 式中lC 是载荷传递长度的最大值，也称作临界纤维长度，它是一个重要参 量，将影响复合材料的性能。有时也载荷传递长度与临界纤维长度称作无 效

10、长度，即在这个长度上纤维承载应力小于最大纤维强度。 （a）纤维应力与界面剪应力 （b）大于临界长度时应力的变化 图 纤维应力沿 纤维长度的分布 （2）应力分布的有限元分析 在实际应用中，弹塑性理论存在许多困难，数值解的方法是比较方便的。只需做 少量的简化假设，就可以得到精确解。 （a）为假设基体是完全弹性的时，有限元分析得到的应力分布图 （b）基体应力分布图 图 纤维应力沿纤维长度分布的结果有限元分析图 图 纤维应力沿纤维长度分布结果的有限元弹塑性分析 （3）平均应力 纤维端部的存在使短纤维复合材料的弹性模量与强度降低。在考虑弹性 模量与强度时，平均纤维应力是非常有用的，其表达式为： 积分可以

11、应力-纤维长度曲线下的面积表示，使用图1-11的应力分布，则平 均应力是 3.3.2 短纤维增强复合材料的弹性模量与强度 短纤维增强复合材料的弹性模量Halpin-Tsia公式对单向短纤维复合材料 纵向与横向弹性模量的计算也是非常有用的。公式如下： 其中 上式表明单向短纤维复合材料横向弹性模量与纤维长径比无关，与连续纤 维复合材料的值是一样的。 图 纵向弹性模量与纤维长径比的关系 对于平面内随机取向的短纤维复合材料，弹性模量可用下面的经验公式计 算： （2）短纤维增强复合材料的强度 可以用混合法则来表达单向短纤维增强复合材料的纵向应力： 式中 是纤维的平均应力。则复合材料的平均应力是： 如果纤

12、维长度比载荷传递长度大得多，上式可改写成 以上三式可以用于复合材料强度计算。 当纤维短于临界长度时，复合材料的断裂发生在基体或界面， 其强度近似为： 当纤维大于临界长度时，复合材料的强度为： 式中 是纤维断裂应变为 时所对应的基体应力。 以上所讨论的都是纤维增强复合材料的体积分数高于临界值，基体不能承担 纤维断裂后所转移的全部载荷，纤维断裂时复合材料立刻断裂的情况。与处 理连续纤维复合材料类似，可以得出临界体积分数和最小体积分数。 3.3 颗粒增强原理 颗粒增强原理根据粒子尺寸的大小分为两类：弥散增强原理 和颗粒增强原理 3.3.1 弥散增强原理 该机理与金属材料的析出强化机理相似。可用位错绕

13、过理论 解释。示意图见图：1-6。此时，载荷主要由基体承担，弥散颗粒 阻碍基体的位错运动。这种阻碍能力越大，增强效果约大。在剪 应力的作用下位错的曲率半径为： ：基体剪切模量：柏氏矢量 ：剪应力 若微粒之间的距离为 Df，当剪切应力大到使位错的曲率半径R为 Df/2 时，基体发生位错运动，复合材料产生塑性变形，此时剪切应力 即为复合材料的屈服强度。 若微粒直径为d ，体积分数为Vp，微粒弥散且均匀分布。根据体 视学，有如下关系： 显然，微粒尺寸越小，体积分数约高，强化效果越好。 3.3.2 颗粒增强原理 颗粒增强复合材料是尺寸较大的（1微米）的坚硬颗粒与基体复 合而成，其增强原理与弥散增强原理

14、有区别。此时，虽然载荷主要由基 体承担，但颗粒也承受载荷并约束基体的变形。颗粒阻止基体位错运动 的能力越大，增强效果越好。 颗粒增强复合材料的屈服强度为： c: 常数 G p : 颗粒强度 p与常数c乘积 将体视学关系式代入得到 显然，颗粒尺寸越小，体积分数越高，颗粒增强效果越好。 3.4 复合材料的物理性能复合准则 （1）密度 可按混合律来计算： （2）热膨胀系数 球状颗粒增强复合材料： （3）导热率 纵向导热率 ： 横向导热率 ： （4）比热 对于纤维复合材料有: 对于各向同性复合材料: (5) 导磁率 对于连续纤维复合材料 平行于纤维方向时 垂直于纤维方向时 对颗粒复合材料 问题3 说明连续纤维增强复合材料的断裂方式及其强度 、刚度的复合准则？ 推导临界纤维体积含量和最小纤维体积含量并说 明其意义。 推导短纤维增强复合材料中临界纤维长径比或临 界纤维长度并说明其意义。 说明颗粒增强复合材料的强化机制及适用范围。 试推导梯度功能复合材料的弹性模量E的计算方 法，假定在厚度为t的范围内梯度材料从模量为E1 的物质线性均匀转变为模量为E2的物质。 E1 E2 t 载荷方向