《理论力学--第8章动量定理.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学--第8章动量定理.（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、动力学 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关 系。对物体的机械运动进行全面的分析，研究作用 于物体的力与物体运动之间的关系，建立物体机械 运动的普遍规律。 动力学中物体的抽象模型有质点和质点系。质 点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略 不计的物体。所谓质点系是由几个或无限个相互有 联系的质点所组成的系统。 刚体是质点系的一种特殊情形。 动力学可分为质点动力学和质点系动力学，而 前者是后者的基础。 实际上的问题是： 1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非 常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的运 动情况。 动力学普遍定理概述 对质点动力学
2、问题： 建立质点运动微分方程求解。 对质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方 程， 联立求解它们即可。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先要 讨论的是动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定 理及由此推导出来的其它一些定理)。 本章主要内容 81 动量与冲量 82 动量定理 83 质心运动定理 8-1 动量与冲量 质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬 时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。 物体之间往往有机械运动的相互传递，在传递机械运动 时产生的相互作用力不仅与物体的速度变化有关，而且与它 们的质量有关。例如枪弹质量小，但速度大
3、，击中目标时， 产生很大的冲击力； 轮船靠岸时，速度虽小，质量却很大 ，操作稍有疏忽，足以将船撞坏。据此，可以用质点的质量 与速度的乘积 表征质点的这种作用量。 一、动量 (momentum ) 1.质点的动量： 质点系中所有各质点的动量的矢量和称为质点系的动量。 质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。 设第i个刚体 ，则整个系统： 2.质点系的动量： 设质点系中，任一质点的矢径为ri，质点系的总质量为m, 质心C的矢径为rC。则 投影形式： 3.刚体系统的动量： 解: 曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： （ P为速度瞬心， ） 例曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转 动，设OA=AB=l
4、 ,曲柄OA及连杆AB都是匀 质杆, 质量各为m , 滑块B的质量也为m。求 当 = 45时系统的动量。 2力 是变矢量：（包括大小和方向的变化） 元冲量： 冲量： 1力 是常矢量： 力在其作用时间内对物体作用的累积效应用力的冲量度量 ，力与其作用时间的乘积称为力的冲量。 二冲量 (impulse of a force) 物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小有关 ，而且与力作用时间的长短有关。例如，推动车子时，较大的 力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样 的总效应。 3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和 冲量的单位： 与动量单位同 6 8-2 动量定理 一质点的动量
5、定理（theorem of momentum） 即在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点上的力在该时间内的冲量 1. 质点的动量定理的微分形式： 即质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量） 2. 质点的动量定理的积分形式： 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。 质点系动量的增量等于作用在质点系的外力元冲量的矢量和。 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点 系上的所有外力冲量的矢量和 二质点系的动量定理 对整个质点系： 对质点系内任一质点 i ： 1. 质点系的动量定理微分形式 2.质点系的动量定理积分形式 若作用于质点系的外力的主矢恒等于零，则质
6、点系的动 量保持不变， 3.投影形式： 三质点系的动量守恒定理 (conservation law of momentum of a system) 若作用于质点系的外力的主矢在某一坐标轴上的投影恒 等于零，则质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变； 即 ： 即： 以上结论称为质点系的动量守恒定理 例2 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另 放一质量为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角 形柱体的位移。 解： 选两物体组成的系统为研究对象。 受力分析： 由水平方向动量守恒及初始静止；则 设大三角块速度 ， 小三角块相对大三角块速度为 ， 则小三角块 运动分析： 运
7、动分析，设经过时间后，流体AB 运动到位置ab， 例3 流体流过弯管时，在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体 不可压缩，流量Q(m3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。 解： 取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。 由质点系动量定理得 静反力 ， 动反力 计算 时，常采用投影形式 与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力 即 6 8-3 质心运动定理 质点系的质量中心简称质心。是表征质点系质量分布情 况的一个重要概念。 质心 C 点的位置： 一.质量中心(center of mass) 将 代入到质点系动量定理，得 若质点系
8、质量不变， 质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上 所有外力的矢量和（即外力系的主矢）。 这种规律称为质心运 动定理（或质心运动微分方程）。 二.质心运动定理(theorem of motion of center of mass) 可见：质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质 点动力学基本方程 形式相似。因此，质心运动定 理也可叙述如下：质点系质心的运动可以看成为一个质点的运 动，设想这个质点集中了整个质点系的质量及其所受的外力。 则 或 若 ，则 ，质心作匀速直线运动；若开始 时系统静止，即 ， 则质心位置始终保持不变。 若 则 ，质心沿x方向速度不变；若开始 ，则质心在
9、x 轴的位置坐标保持不变。 只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心 的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 三. 质心运动守恒定律 质心运动定理投影形式： 解: 取整个电动机作为质点系研究， 分析受力， 受力图如图示 运动分析：定子质心加速度a1=0， 转子质心O2的加速度a2=e2， 方向指向O1。 例4 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子 质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的 质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础 作用在电动机底座上的约束反力。 根据质心运动定理，有 可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。 a1=0，a2=e2 解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。 例5 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为 P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊 时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移 。 受力分析如图示， ，且初始 时系统静止，所以系统质心的位置坐标 XC保持不变。 船的位移x，杆的位移 重物的位移 计算结果为负值，表明 船的位移水平向左。 Thanks
