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1、因式分解的应用与探究【温馨提示】分解因式一章中，我们主要学习了分解因式的概念、会用两种方法分解因式，即提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。具体要求有：1、经历探索分解因式方法的过程，体会数学知识之间的整体（整式乘法与因式分解）联系。2、了解因式分解的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）。3、通过乘法公式：（ab）（ab）a2b2，（ab）2a22abb2的逆向变形，进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理思考及语言表达能力。在中考中，除了考查对一个整式进行分解因式等常规
2、题型外，因式分解作为一种重要的解题方法和工具，经常出现于各种题型中，以下几种就值得引起注意。 范例精讲例1【构造求值型】【山西04】已知xy1，那么的值为 ；分析：通过已知条件，不能分别求出x、y的值，所以要考虑把所求式进行变形，构造出xy的整体形式，即（x22xyy2）（xy）2.在此过程中，我们先提取公因式，再用完全平方公式对原式进行因式分解，产生xy的整体形式，最后将xy1代入求出最终结果.例2【构造求值型】已知x22xy26y100，求xy的值答：xy3例3【构造求值型】已知：a10000，b9999，求a2b22ab6a6b9的值。解：a2b22ab6a6b9（ab）22（ab）33
3、2（ab3）24例4【构造求值型】【广西桂林04】计算： ；分析：为了便于观察，我们将原式“倒过来”，即原式222426此题的解题过程中，巧妙地用到了提公因式法进行分解因式，使结构特点明朗化，规律凸现出来。此题解法很多，比如，我们还可以采用整体思想，把原式看作一个整体，利用方程与提公因式法分解因式相结合的方法解答此题。设M，则M，即，解得M6.例5【探索规律型】观察下列各式：12（12）222932，22（23）2324972，32（34）242169132，你发现了什么规律？请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理。例6【探索规律型】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题
4、：1xx（1x）x（1x）2（1x）1xx（1x）（1x）2（1x）（1x）3上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；若分解1xx（1x）x（1x）2x（1x）2004，则需应用上述方法 次，结果是 ；分解因式：1xx（1x）x（1x）2x（1x）n（n为正整数）.例7【开放创新型】【四川03】多项式9x21加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 （填上一个你认为正确的即可）；分析：根据完全平方公式a22abb2（ab）2的特点，若9x21表示了a2b2的话，则有a3x，b1，所以，缺少的一项为2ab23x16x，此时，9x216x（3x1）2；如果认为9x21表
5、示了2abb2的话，则有a4.5x2，b1，所以，缺少的一项为a2（4.5x）220.25x4，此时，20.25x49x21（4.5x21）2.从另外一个角度考虑，“一个整式的完全平方”中所指的“整式”既可以是上面所提到的多项式，也可以是单项式.注意到9x2（3x）2，112，所以，保留二项式9x21中的任何一项，都是“一个整式的完全平方”，故所加单项式还可以是1或者9x2，此时有9x2119x2（3x）2，或者9x219x212.综上分析，可知所加上的单项式可以是6x、20.25x4、1或者9x2.例8【开放创新型】【福建南平03】请你写出一个三项式，使它能先提公因式，再运用公式来分解.分析
6、：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，可以先利用乘法公式中的完全平方公式，写出一个等式，在它的两边都乘一个因式，比如：2m（mn）22m（m22mnn2）2m34m2n2mn2；3a（2x5y）23a（4x220xy25y2）12ax260axy75ay2，等等.于是编写的三项式可以是2m34m2n2mn2，分解因式的结果是2m（mn）2；或者编写的三项式可以是12ax260axy75ay2，分解因式的结果是3a（2x5y）2，等等.abab例9【数形结合型】【陕西02，桥西0203】如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影
7、部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ A ）（A） （B）（C） （D）例10【数形结合型】baaabb【福建福州05】如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（ab），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 a2b2（ab）（ab） ；例11【数形结合型】xxyyxyxy【济南02】请你观察右下方图形，依据图形面积间的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是 （xy）（xy）x2y2或x2y2（xy）（xy）或（xy）2x22xyy2 ；例12【数形结合型】【山西03】有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，则aabb
8、ba表中所列四种方案能拼成边长为（ab）的正方形的是（ A ）卡 片数量（张）方案（A）112（B）111（C）121（D）211分析：此题的本意就是判断哪些卡片的面积之和是（ab）2.因为a22abb2（ab）2，对照如图所示的正方形和长方形卡片，可知三种卡片的面积分别为a2、b2和ab，它们分别需要1张、1张、2张，由此可选出正确答案为（A）.ababbaba例13【数形结合型】【山西太原03】如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的恒等式 （ab）24ab（ab）2 ；分析：外框围成的大正方形面积为（ab）2，4个矩形的面积之和为4
9、ab，中间的空白部分的面积为（ab）2.于是，可以列出等式（ab）24ab（ab）2.对于它的正确性，可以用因式分解的方法证明：（ab）24aba22abb24aba22abb2（ab）2.例14【数形结合型】abab给你若干个长方形和正方形的卡片，如图所示，请你运用拼图的方法，下载相应的种类和数量的卡片，拼成一个矩形，使它的面积等于a25ab4b2，并根据你拼成的图形分解多项式a25ab4b2解：由a25ab4b2知，可用1张大正方形，5张长方形，4张小正方形，ababbbb拼成的矩形如下图所示，根据图形的面积可得a25ab4b2（ab）（a4b）优化训练一、 选择题：1 计算结果为（ ）（
10、A）2100 （B）2 （C）0 （D）21002 已知是一个关于x的完全平方式，则m的值为（ ）（A）4 （B）4 （C） （D）163 已知是一个关于x的完全平方式，则m的值为（ ）（A）4 （B）4 （C）16 （D）44 设m200220012002200120022200120022000，n20022001，则正确的关系是（ ）（A）mn2001 （B）mn （C）mn2002 （D）mn2002二、 填空题：5 已知x、y为正整数，且x2y237，则x ；6 方程x2y229的整数解为 ；7 有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种
11、摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有 个；三、解答题： 图1 图28 计算：；9 求x24xy5y22y2004的最小值10 观察：1234152，23451112，34561192，请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；根据，计算20002001200220031的结果（用一个最简式子表示）11 一个自然数a恰等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如6482， 64就是一个完全平方数若a20022200222003220032，求证：a是一个完全平方数，并写出a的平方根12 公园长椅上坐着两位白发苍苍的老人，旁边站着两个年轻人，他们在交谈，
12、老人说：“我们俩的年龄的平方差是195”不等老人说完，青年人就说：“真巧，我们俩年龄的平方差也是195。”这时一对中年夫妇也凑过来说：“真是巧极了，我们俩年龄的平方差也是195。”现在请你想一想，这三对人的年龄各是多少？其实符合年龄平方差为195的应有4对，如果你有余兴，不妨把第4对人的年龄也找出来。答案:一、 选择题：1 【桥西0102】计算结果为（ D ）（A）2100 （B）2 （C）0 （D）21002 已知是一个关于x的完全平方式，则m的值为（ C ）（A）4 （B）4 （C） （D）163 已知是一个关于x的完全平方式，则m的值为（ D ）（A）4 （B）4 （C）16 （D）44 【重庆02竞赛】设m200220012002200120022200120022000，n 20022001，则正确的关系是（ B ）（A）mn2001 （B）mn （C）mn2002 （D）mn2002二、 填空题：5 【桥西0203】已知x、y为正整数，且x2y237，则x 19 ；6 方程x2y229的整数解为 ， ；7 有若干个大小相同的小球一个挨一个摆放，刚好摆成一个等边三角形（如图1）；将这些小球换一种摆法，仍一个挨一个摆放，又刚好摆成一个正方形（如图2），则这种小球最少有 36 个； 图1 图2三、解答
