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1、上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 11.4 函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找到这样一个幂级数 它在某区间内 收敛 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到 这样的幂级数 则称函数f(x)在该区间内能展开成幂 级数. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 v复习 根据泰勒中值定理 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数 则在该邻域内 等式右端的多项式当其项数
2、趋于无穷时 将成为幂级数 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 v泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. v麦克劳林级数 在泰勒级数中取x00 得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 显然 当xx0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0). 需回答的问题是: 除了xx0外 f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它
3、是否一定收敛于f(x)? v泰勒级数 v麦克劳林级数 . . 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、泰勒级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn(x)当n0时的极限为零 即 v定理 v泰勒级数 v麦克劳林级数 . . 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一
4、致. 这是因为 如果f(x)在点x00的某邻域(R, R)内能展开成x 的幂级数 即 f(x)a0a1xa2x2 anxn a0f(0) a1f (0) . 提示: f (x)2!a232a3x43a4x254a5x3 f (0)2!a2. f (n)(x)n!an(n1)n(n1)2an1x f (n)(0) n!an. 那么有 f (x)a12a2x3a3x24a4x35a5x4 f (0)a1 . 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这个幂级数就是f(x)的 麦克劳林级数. 但是 如果f(
5、x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛 它却不一定收敛于f(x). 因此 如果f(x)在点x00处具有各阶导数 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来 但这个级数是否在某个区间内收敛 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 应注意的问题: v展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数 那么这种展式是唯一的 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 二、函数展开成幂级数 v函数展开成幂级数的步骤 第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x) f (x) f (n)(x) ; 第二步 求
6、函数及其各阶导数在x0 处的值: f(0) f (0) f (0) f (n)( 0) ; 第三步 写出幂级数 第四步 考察在区间(R R)内时是否Rn(x)0(n). 如果Rn(x)0(n) 则f(x)在(R R)内有展开式 并求出收敛半径R; 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例1 将函数f(x)ex展开成x的幂级数. 解 显然 f (n)(x)ex(n1, 2, ) 于是得级数 f (n)(0)1(n1, 2, ). 它的收敛半径R. 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间) 有 上页 下页 返回 退出 Jlin In
7、stitute of Chemical Technology 例2 将函数f(x)sin x展开成x的幂级数. 解 所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0, 1, (n0, 1, 2, 3, ) 于是得级数 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间) 有 它的收敛半径为R. 因此得展开式 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 所以 f(0)1 f (0)m f (0)m(m1) f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1) 于是得幂级数 解 f(x)的各
8、阶导数为 f (x)m(1x)m1 f (x)m(m1)(1x)m2 f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn 可以证明 (1x1). 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v求幂级数展开式的间接展开法 例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 已知 解 对上式两边求导得 注: 逐项求导所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径. 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 解 已知 把x换成x2 得 提示: 收敛半径的确定: 由1x21得1x1. 例5 上
9、页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 例6 将函数f(x)ln(1x)展开成x的幂级数. f(x)ln(1x) 解 上述展开式对x1也成立 这是因为上式右端的幂级数当 x1时收敛 而ln(1x)在x1处有定义且连续. 所以展开式成立 的范围是(1x1). 提示: 提示: . 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 将函数 f(x)sin x 展开成 ) 4 ( p x 的幂级数 . 例7 解 因为 ) 4 sin() 4 cos( 2 2 ) 4 ( 4 sinsin ppp
10、p xxxx 并且 提示: 提示: 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology ) 4 sin() 4 cos( 2 2 ) 4 ( 4 sinsin pppp xxxx 并且 所以 将函数 f(x)sin x 展开成 ) 4 ( p x 的幂级数 . 例7 解 因为 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 将函数 34 1 )( 2 xx xf 展开成(x1)的幂级数 . 例8 提示: 解 ) 4 1 1 ( 8 1 ) 2 1 1 ( 4 1 )3 ( 2 1 )1 ( 2 1 )( xxxx xf 提示: 提示: 提示: 提示: 由 1 2 1 1 x 和 1 4 1 1 x 得31 x . 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology v幂级数展开式小结
