理解数学本质丰盈教学智慧1507河大.

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1、1 理解数学本质，丰盈教学智慧理解数学本质，丰盈教学智慧 焦作市教研室 曹松峰 csf369 2 数学是计量的科学. 数学是间接计量的科学. 数学是引出必要的结论的科学. Mathematics is the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true. 3 数学源远流长，与人类文明共生共长. 数学不仅是一种重要的工具或方法，也是一 种思维模式，即“数学方式的理性思维”； 数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“ 数学素质”； 数学不仅是一门科学，也

2、是 一种文化，即“数学文化”. 4 数学是一门具有创造性和相互高度关 联的学科.高质量的数学教育能为学生奠 定理解世界的基础，发展数学推理能力， 欣赏数学美和数学力量，享受数学的乐趣 和好奇心.数学课程的三大目标发展 熟练性、数学推理和解决问题. 5 数学对人有什么影响呢？第一，数 学有强大的思想力；第二，数学使人周 密；第三，数学使人独立；第四，数学 使人不器 6 任何发现在形 式上都是数学，因 为离开了数学我们 没有其他的向导， 我们没有其他的导 引，只有数学才是 这种新发现的导引 7 双基 四基 两能 四能 基础知识、基本技能 + 基本思想、 基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问

3、题、 提出问题 义务教育数义务教育数 学课程标准学课程标准 8 课标（实验稿）课标（实验稿）在课程总目标的在课程总目标的 第一条中曾提出：第一条中曾提出：“ “通过义务教育阶段的数通过义务教育阶段的数 学学习，学生能够获得适应未来社会和进学学习，学生能够获得适应未来社会和进 一步发展必需的重要数学知识（包括数学一步发展必需的重要数学知识（包括数学 事实、数学活动经验）以及基本的数学思事实、数学活动经验）以及基本的数学思 想方法和必要的应用技能。想方法和必要的应用技能。” ” 9 对于数学应用的要求，对于数学应用的要求，课标（实验课标（实验 稿）稿）是这样描述的：是这样描述的：“ “初步学会运用

4、数学初步学会运用数学 的思维方式去观察、分析现代社会，去解的思维方式去观察、分析现代社会，去解 决日常生活和其他学科学习中的问题，增决日常生活和其他学科学习中的问题，增 强应用数学的意识强应用数学的意识. .” ” 10 现代认知心理学从信息加工的角度将知 识看作是个体与其环境相互作用后获得的信 息及其组织.为此，安德森（Anderson， 1990）和梅耶（Mayer，1987）等人把知识 划分为三类，即陈述性知识、程序性知识和 策略性知识.其中，程序性知识是关于“如 何做”的知识，主要由“如果那么 ”形式的产生式所组成，在问题解决中 起关键的作用；而策略性知识是关于如何学 习、如何感知、如

5、何记忆、如何思维等方面 的知识。因此，知识是人类认知活动的基础 . 11 现代学习理论研究表明，知识在不同学 习领域中的作用是不同的.与动作技能性学习 领域不同，数学属于知识丰富的认知领域， 在数学中，大多数的知识（包括概念、原理 、法则、性质、定理、命题等）不仅仅是一 些事实，而且是推出其他知识或者解决问题 的工具，是整个逻辑体系的一个组成部分， 每个数学知识都蕴含着数学思考的条件、方 法与规则. 12 虽然在心理学的界定上，能力与技能 是有明确差别的，但在具体的学科学习中 ，两者的界限并不清晰.与能力相比，技能 的优势是可以按部就班进行训练，甚至达 到自动化，因此，许多国家课程标准的数 学

6、能力模型中涉及的主要是技能（skill） 。事实上，传统的三大数学能力也都是可 以按照一定的程序去教学的. 13 “基本思想”主要是指数学抽象、推理 、建模,其核心在于数学归纳和演绎,这应 当是整个数学教学的主线. 人们通过数学抽象,从客观世界中得到 数学的概念和法则建立了数学学科；通过 数学推理,进一步得到大量的结论,使数学 学科得以发展；再通过数学模型把数学应 用到客观世界中去,就产生了巨大的效益, 反过来又推进了数学学科的发展. 14 数学教育家波利亚（Plya.G）曾精 辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它 是欧几里得式的严谨科学，从这个方面看 ，数学是一门系统的演绎科学另一方面 ，创

7、造过程中的数学，却像是一门试验性 的归纳科学”美国数学家冯诺依曼（ Von NeumannJ）认为，数学的本质具有 两个侧面，就是数学理论的抽象性、严谨 性和形式化与数学发现过程中的直观性、 经验性和归纳性 15 从学习理论的角度看，数学是一种以 形式符号为主要载体的思维活动，数学思 维是在从事数学活动的过程中体现出来的. 在前苏联的数学教学理论中，数学教学被 看作数学活动的教学，并把数学活动划分 为三个环节：经验材料的数学组织、数学 材料的逻辑组织和数学理论的应用.因此， 数学思维涉及三类基本的思维活动：抽象 与形式表示、符号变换与推理、数学建模. 16 上述三类数学思维活动中，抽象与形 式

8、表示是基础.没有抽象也就不可能形成后 来的演绎体系.比如说，三个人站在不同的 位置，我们要证明其中两个人的距离最短. 如果对距离概念没有抽象，这件事情就没 法做，因此首先要把人抽象为一个点，点 是没有大小的，这样才能定义距离的概念. 这也是数学思维的优势，形式化以后就可 以在抽象的、一般的层面上思考问题，这 样才能找到通性通法，以不变应万变. 17 数学抽象的另外一个特点是逐级抽象 ， 也就是说，数学抽象是相对的，高级的抽 象是在低级的抽象基础上进行的，因此， 低级的抽象对于高级的抽象来说就是具体 的，甚至是直观的.例如，数系的发展，整 数概念是在自然数概念的基础上抽象出来 的，有理数的概念是

9、在整数的概念基础上 抽象出来的.因此，在学习整数概念的时候 ，可以借助自然数的概念，不必回到“数 数”这样的具体操作上去. 18 有了抽象和形式化的数学对象之后， 我们就可以在逻辑的基础上进行推理和符 号变换.数学推理包括演绎推理和归纳推理 .数学推理是在一个演绎体系下进行的，最 基本的推理方式是化归，也就是把未知的 问题化归为已知的问题.因此，在数学学习 中，相对完整的数学理论体系的掌握非常 重要.数学推理在本质上应该是严谨的，不 能有任何含混的地方. 19 推理是从一个是非判断到另一个是非判 断的思维过程,这个是非判断针对的对象是 命题.命题是关于研究对象、肯定或否定的 陈述.什么叫做具有

10、逻辑的推理? 推理的逻 辑性集中表现在命题之间的传递性:“若A是 B, B是C, 则A是C.”演绎推理与归纳推理都 是具有逻辑的推理. 我们通常认为的演绎推理是一般到特殊 的推理, 只是描述了演绎推理的性质, 并非 是定义.演绎推理应界定为: 从假设和被定 义的概念出发, 按照某些规定了的法则所进 行的、前提与结论之间有必然联系的推理. 20 推理是数学思维的主要形式,推理包括 合情推理和演绎推理.前者是从已有的事实 出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比推断 出某些结果.后者是从已有的事实（包括定 义、公理、定理等）和确定的规则（包括运 算的定义、法则、顺序等）,按照逻辑推理 的法则证明和计算

11、. 在解决问题的过程中,合情推理多用于 探索思路,发现结论；而演绎推理用于证明 结论. 21 推理是数学思维的主要形式,推理包括 合情推理和演绎推理.前者是从已有的事实 出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比推断 出某些结果.后者是从已有的事实（包括定 义、公理、定理等）和确定的规则（包括运 算的定义、法则、顺序等）,按照逻辑推理 的法则证明和计算. 在解决问题的过程中,合情推理多用于 探索思路,发现结论；而演绎推理用于证明 结论. 22 第一个阶段是对观察到的事实进行描第一个阶段是对观察到的事实进行描 述述, ,描述的目的是为了使得归纳推理所依据描述的目的是为了使得归纳推理所依据 的的事实事实

12、更加清晰更加清晰, ,采取的方法通常是分类、采取的方法通常是分类、 画图、列表等；第二个阶段是依据对事实画图、列表等；第二个阶段是依据对事实 的描述进行的描述进行解释解释, ,就是寻求影响事实潜在的就是寻求影响事实潜在的 因素；第三个阶段是依据对事实的描述和因素；第三个阶段是依据对事实的描述和 解释形成结论解释形成结论, ,这里所说的结论通常是一种这里所说的结论通常是一种 具有普遍意义的具有普遍意义的判断判断, ,也可能是对未来发展也可能是对未来发展 趋势的预测趋势的预测. . 归纳推理归纳推理 23 某山区的一位牧羊人发现一个山洞某山区的一位牧羊人发现一个山洞. . 他带着猎狗走进山洞时他带

13、着猎狗走进山洞时, ,走不多远狗就瘫走不多远狗就瘫 倒在地倒在地, ,挣扎几下就死掉了挣扎几下就死掉了, ,而牧羊人却安而牧羊人却安 然无恙然无恙.“ .“怪洞之谜怪洞之谜” ”的消息传开的消息传开, ,引起了科引起了科 学家们研究的兴趣学家们研究的兴趣. .科学家们在实地考察科学家们在实地考察 时用更多种类的动物进行试验时用更多种类的动物进行试验, ,发现了这发现了这 样一些现象：类似于狗、猫、老鼠这样的样一些现象：类似于狗、猫、老鼠这样的 小动物小动物, ,进入洞内都会死亡；人在洞里不进入洞内都会死亡；人在洞里不 会死亡；像马、牛、骡、驴这样的大牲畜会死亡；像马、牛、骡、驴这样的大牲畜 ,

14、 ,在洞里不会死亡在洞里不会死亡. . “怪洞之谜” 24 美国学者鲁道夫阿恩海姆说：“一 种真正的精神文明，其聪明和智慧就应该 表现在能不断地从各种具体的事件中发掘 出它们的象征意义和不断地从特殊之中感 受到一般的能力上，只有这样，我们才能 赋予日常生活事件和普通的事物以尊严和 意义.”而实现这样“真正的精神文明”， 靠的就是“归纳推断”. 25 吉尔比说：“归纳有从结果出发到达 原因的味道，但是如果更准确地说，它从 事件出发，到达以一般规律的形式对他们 的表达.” 我们对所要归纳分析的事情要 探究事情之所以如此的原因，而且要把具 体事情之间的因果关系上升为普遍的道理. 26 l l 如何认

15、识演绎与归纳在教学中出现的矛 盾？第一,演绎与归纳方式在教学中应该是 并存的.从演绎与归纳自身的功能看,演绎是 从一般到特殊的推理,偏重证实,是严格的推 理,因而是训练学生逻辑思维能力的最佳方 式；归纳是从特殊到一般的推理,偏重发现, 是不严格的推理,因而是训练学生探究问题 能力的最佳方式.从二者对应的教学方法看, 一般来说,演绎方式对应接受学习,归纳方式 对应探究学习,而两种学习方式在学习中都 是不可缺少的. 27 l l 第二,教学应当是以演绎为主、归纳为 辅的结构系统.从学习者的心理过程看,学 习者在进行归纳推理时对信息的加工比较 复杂,而在进行演绎推理时要受到规则的限 制,思维相对收敛

16、,教学中教师以演绎的方 式展示知识,学习者容易实现知识的同化. 而对于同一教学内容,学生以演绎方式学习 知识的时间会大大少于以归纳方式学习的 时间.第三,二者在教学过程中应当是交替 出现、互为补充的.可以用归纳方式发现问 题,用演绎方式证实问题,也可以用演绎方 式发现问题,用演绎方式证实问题. 28 【课例片断】三角形边的关系 (1)设计挑战性的数学活动.教师让学生 将一条标有刻度的16厘米长的胶片剪成3段 后围三角形. (2)自主思考,讨论交流.学生在经历实 验和思考后,知道两边之和等于第三边时“鼓 ”不起来.在对话的过程中,学生从已有的事 实出发,凭借经验和直觉,通过归纳推断结果 . (3)通过练习运用推理的结果. 29 开普勒曾说:“我珍视类比胜过任何别的 东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界 的秘密.”拉普拉斯说:“甚至在数学里发现真 理的主要工具是归纳和类比.” 波利亚则说 的更为形象 ,“类比是一个伟大的引路人.” 学生的学习是在教师引领下的“再创造”过程 ,在这个过程中,学生经历观察、猜测、计算