《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率讲解（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的 导数 相关变化率 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 由表示的函数 , 称为显函数 . 又如,显函数 不能显化, 但可确定 y 是 x 的函数. 隐函数求导方法: 两边对 x 求导,记住 (含导数 的方程) 若由方程可确定 y 是 x 的函数 , 函数为隐函数.则称此 定义. 一、隐函数的导数 例1. 解: 方程两边对 x 求导 得 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 例2 求由方程 在点处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为
2、 即 例3 求椭圆 所确定的隐函数的二阶 导数 解:在方程两边对 x 求导,得 上式两边再对 x 求导,得 y = y (x) 例4 求由方程 的导数 . 解: 方法I. 对数求导法. 两边对 x 求导 方法II. 指数求导法. 函数化为 则 两边取对数,化为隐式得 y 是隐函数 例5 求 1. 对幂指函数求导. 2. 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 1) 可用对数求导法求导: 2) 可用指数求导法求导 : 说明： 对 x 求导 两边取对数得 解: 先考虑当 x 4 时的情形. 当x 1和2 x 3时,用同样的方法可得相同的结果. 例6 例如消去参数 问题: 如果消参困难或无法消参如何求
3、导? 二、由参数方程所确定的函数的导数 由复合函数及反函数的求导法则得 例5 解: 故所求切线方程: 例6 解: 抛射体的速度大小: 速度的方向即为轨迹的切线方向. 这时运动方向是水平的, 抛物体达到最高点. 二阶可导, 且 则由它确定的函数可求二阶导数 利用新的参数方程 ,可得 若在参数方程中 例7 解: 方法I: 公式法 . 方法II:复合函数求导法. 确定函数求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 隐函数: y = y ( t ) 例8 设由方程 为两可导函数 之间有联系之间也有联系 称为相关变化率 问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 找出相关变量的关系式 对 t
4、求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 方法: 三、相关变化率 其速率为当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则 两边对 t 求导 已知 h = 500m 时, 仰角与气球高度有关 例9. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升 , 100 mmin 的速率向气球出发点走来,当距离为500 m 时, 仰角的增加率是多少 ? 提示: 对 t 求导 已知求 设在 t 时刻气球出发点与观察者的距离为x, 则 仰角与观察者到气球出发点 的距离有关. 思考题: 当气球升至500m 时停住 , 有一观测者以 试求当容器内水今以 自顶部向容器内注水 , 位等于锥高的一半时水面上升的速度. 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 两边对 t 求导 而 故 体积为 V , 则 水面高度与水的体积有关 例10. 有一底半径为 R cm, 高为 h cm的圆锥容器 , 作 业 P111 1(1) , (4) ; 2 ; 3 (3) , (4) ; 4 (2) , (4); 5 (2) ; 6 ; 7 (2) ; 8 (2) ,(4) ; 9 (2) ; 10 ; 12
