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1、范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场 (1)一均匀带电球面，半径为R，带电量为Q，求电荷产生的电场强 度和电势。如果电荷均匀分布在同样大小的球体内，求球体的电 场强度和电势。(2)一均匀带电球壳，内部是空腔，球壳内外半径 分别为R0和R，带电量为Q，求空间各点的电场强度和电势，对于 不同的球壳厚度，电场强度和电势随距离变化的规律是什么？ 解析(1)如图所示，不论球面还是球体，由 于电荷分布具有球对称性，所激发的电场 也是球对称的，用高斯定理求解比较简单 。 设Q 0，不论场点在球内还是 在球外，由于对称的缘故，电场 线都沿着球心到场点的连线。 对于球外的点P1，以O为球心，过 P1点作一
2、个半径r的高斯球面S1。 在P1点取一个面积元dS，其法线方向与场强方 向一致，通过该面积元的电通量为dE = EdS 。 S1 rE P1 r O R Q 范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场 通过高斯面的电通量为 = E4r2 高斯面所包围的电量为Q， 根据高斯定理E = Q/0， 可得场 强大小 当Q 0时，场强的方向沿着径向向外； 当Q R) E S2 P2 r S1 E P1 r O R Q dE = EdS 。 对于球面内的点P2，同样作高斯面，高斯 面内Q = 0，根据高斯定理得E = 0 (r R) 可见：均匀带电球面外各点的电势与电荷全 部集中在球心处的点电荷所产生的电
3、势相同 。 E = 0 (r R) (r R) 球面所有电荷到 球心的距离都是 R，球面的电势 就是所有电荷在 球心产生的电势 。 E S2 P2 r S1 E P1 r O R Q 对于均匀带电球体，球体外 的电场强度和电势与均匀带 电球面的公式是相同的。 在球体内取一个高斯面， 高斯面内有电荷，并且电 荷的体密度处处相等。 球体的全部体积为VR=4R3/3， 电荷的体密度为 = Q/VR， 高斯面内的体积为Vr = 4r3/3， 高斯面内的电量为q = Vr = QVr/VR = Qr3/R3， 根据高斯定理得方程E = E4r2 = q/0， 球体内 场强为 (r R) 球体内部的电势用
4、电荷密度表示为 (r R) 在球壳的空腔中同时填充两个半径为R0，电荷体密度为 和-的球体，空间各点的电势就是半径分别为R和R0， 电荷体密度分别为和-的均匀带电体球产生的。 (r R)(r R)(r R) C点的 电势为 (R r) C点的场强大小为 可见：C点的电势和场强等效于全部电荷集中在球心产生的。 A O R0B R rA rB C rC 范例9.6 均匀带电球面、球体和球壳的电场 (R r) 当R0 = 0时，空腔缩为一点，球壳就变成球体。 A点(球心) 的电势为 EA = 0 (r R0) (R0 r R) 讨论 (r = 0) B点的 电势为 B点的场强 大小为 (0 r R) 当r = 0时，UB = UA，EB = EA = 0 。 当R0R时，球 壳就变成球面。 A点的 电势为 B点的电势UBUA。 不妨取球壳内半径与外半径之比为0.5 。 空腔内的场强为零，球壳内的 场强随距离增加而增强，球壳 外的场强随距离的增加而减小 。 在球壳的内 外表面，电 场强度是连 续的。 空腔内的电势是常数，球壳中的电 势随距离的增加而加速减小，球壳 外电势随距离的增加而减速减小。
