高等固体力学讲解

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1、有限单元法应用中的若干实际考虑 第 5 章 要点 ： （1）节点应力的计算与修正； （2）结构特点的考虑； （3）非协调单元简介 1 主主 要要 内内 容容 5.1 引 言 5.2 应力计算结果的性质与处理 5.3 子结构法 5.4 结构对称性与周期性的利用 5.6 小 结 5.5 非协调元与分片试验 2 5. 1 引 言 1. 有限单元法的求解过程 （1）划分单元，输入节点和单元信息 前处理器 （2）单元分析：N、Ke、Pe （3）整体分析： 引入位移边界条件，得到 （4）求解方程 得解a （5）计算单元或节点的应力、应变。 求解器 后处理器 的可视化表示 。 3 2. 目前存在的问题 （1

2、 ） 的精度较低。 如何由应力、应变结果的特点改善其精度？ （2 ） 如何利用结构的几何特点、受力特点简化计算， 减少工作量，提高计算效率？ （3 ） 如：结构与受力的对称性、周期性结构等； 子结构法； 非协调元概念与应用（Wilson非协调元）。 4 5.2 应力计算结果的性质与处理 应力、应变的计算 ： 精度较低 。 误差的原因 ： （1 ） 单元内平衡方程不能精确满足； （2 ） 单元交界面上应力不连续； （3 ） 边界上边界条件不能得到精确满足等； 5.2.1 应力近似解的性质 1. 位移解 a的性质 a有限元近似解，a 真实解 由最小位能原理，可知，a具有下限的性质： 原因：单元离散

3、等相当于加大了原结构的刚度 。 5 2. 应力、应变解 、 的性质 设u 、 、 近似解，u、 、 真实解，有 近似解对应的位能 ： P(u)实际的总位能 P(u)=0 2P(u) 6 在线弹性下，有 对于一具体问题， P(u)应为一定值， 则 P(u*)的极值问题归结为 ： 2P(u)的极小值问题。 将2P(u)表示成单元位能泛函的形式，有 7 上式表明 ： 2P(u)的极小值问题求解 的加权 二乘最小值问题。即 、 为、 在加权（D、C）最小二乘意义下的近似解。 、 的特点 ：（1）、 在真正解、 上下振荡； （2）在某些点上有： = 、 =，即存在最佳应力点 。 利用、 的上述特点，作适

4、当处理，可提高应力、应变结果的精度 。 8 5.2.2 等参元的最佳应力点 如前所说，用位移法进行有限元应力分析归结为求泛函 (,)的 极小值问题，即 利用弹性力学的几何方程和物理方程，有 可见 ： 若近似解 u*是 p 次多项式，L为 m 阶微分算子，则, 为n= pm 次多项式。当Jacobi行列式为常数时， 中被积函数为 2n 次 多项式，因而要使它们能够精确积分，至少应采用 n+1 次Gauss积 分。也就是说，真实应力为 n+1 次多项式时，数值积分仍为精确的 。即有下式精确成立： 9 假设每一单元中的高斯积分点上 i(i =1,2, , ng)的每一分量 的变分是独立的，则上式成立

5、等价于 或 也就是说，即使真实应力 为 n+1 次多项式，仍有近似应力 等于真实应力。可见，若取n+1阶积分，则在积分点上具有 比其本身高一阶的精度。对，也有同样的性质。 结论 ： 在等参单元中，单元中 n+1阶（n =pm）Gauss积分点 上的近似应力比其它部位的应力具有较高的精度。 称 n+1阶Gauss积分点为等参元中的最佳应力点。 10 5.2.3 单元平均与节点平均 1. 问题的提出 有限元求得位移解（节点位移）a*后，其单元应力为 （1） 通常为单元局部坐标的函数； （2） 相邻单元边界上应力不连续，存在突跳现象； （3） 结构边界上应力与边界条件不符，等； 工程实际问题，通常对

6、单元的边缘和节点的应力分布较关注，所 以，需要对应力结果作处理。 应力结果的处理方法： 相邻单元平均；绕节点平均；应力磨平；利用边界条件修正等 2. 取相邻单元应力的平均值 适用于3节点三角形单元（常应力单元） 。 i （1）算术平均： 11 i （2）面积加权平均： 设单元 j 的面积为 Aj ，节点 i 的应力为 ： 3. 取围绕节点各单元应力的平均值 i 对6节点三角形单元、四边形单元等，单元内各点 的应力各不相同，设各单元在节点 i 处的应力为 则，节点 i 处的平均应力为 m 围绕节点 i 周围的全部单元数 12 5.2.4 总体应力磨平 (1) 基本思想 有限单元解得到的 单元应力

7、分布特征 构造一改进的应力解 , 此改进解满足: a) 在全域上连 续；b) 与有限元求得的应力解符合加权最小二乘原 则。 式中 ： M 单元总数； 待求的应力改进值，它在单元内的分布可 插值形式得到，如 式中 ： i 为待求的改进后节点应力值； ne 单元的节点数； 插值函数矩阵；可与位移插值函数相同，也可不同。 (2) 总体应力磨平法 建立如下泛函，并取最小值 13 有限单元解得到的 单元应力分布特征 将 代入泛函作变分运算，并考虑到 i 的任意性， 得 即： 式中：M 应力磨平所用的单元数。 由此可求出，改进后各节点的应力值。 磨平后的单元应力状况 总体应力磨平的缺点 ： 计算工作量十分

8、庞大。相当于求解两个有限元问题 。 14 5.2.5 单元应力磨平 （1）基本思想 当单元尺寸不断缩小时，单元的加权最小二乘和单元未加权的最 小二乘是相当的；另一方面，由于泛函 (, )的正定性，全域 的加权最小二乘是单元的加权最小二乘的和。 当单元尺寸足够小时，应力磨平可在单元上进行。 （2）单元应力磨平的方法 在单元内建立如下泛函（并令权函数 C = I） 并使该泛函取最小，以此求得改进后的节点应 力值 。其中改进的应力值仍用节点应力i 的 插值表示，即 将上式代入单元泛函, 并使其一阶变分等于零，有 也称局部应力磨平 15 或： 由此可求得单元改进后的单元节点应力i ，再 由单元平均或绕

9、节点平均等方法求得精度较高节 点 i 的平均应力。 说明：(a) 由单元应力磨平采用权函 C = I ，使得上述方程变为解 耦方程，因而求解工作量大大减少。 (b) 对等参元，上述方程中的有限元应力解 采用 Gauss 积 分点上的应力，则改进后节点应力值精度更高。 Gauss 积分点 16 5.2.6 子域局部应力磨平及外推 基本思想：仅对工程实际问题中感兴趣的区域，如应力集中 区域、需专门校核应力的区域进行应力磨平、修正处理。 5.2.7 引入力的边界条件修正边界应力 p 设有限元法求得单元或节点的应力、应变分量为 它们在边界局部坐标方向的分量为 局部坐标 对此局部坐标有应力、应变关系 ：

10、 17 令 ： 由第三式可求得： 代回第一、二式，得修正后应力： 上述结果可对边界应力得到很大改进 。 p 18 5.3 子结构法（简介） 1. 基本思想 四层三跨框架结构 单跨横梁结构 123 456 78 9 101112 对于一工程实际的复杂结构，分成若 干个部分，每一部分称为一个 “子结 构”。 然后，在子结构上划分单元, 计算各单 元的刚度矩阵、节点载荷列阵, 并组集 子结构的刚度矩阵、节点载荷列阵。 其次，将得到的子结构刚度矩阵、节 点载荷列阵，作自由度凝聚，得到紧 缩的子结构刚度矩阵、节点载荷列阵 。 最后，将各个子结构紧缩的子结构刚 度矩阵、节点载荷列阵，组集成总的 结构刚度矩

11、阵、总的节点载荷列阵， 引入边界条件后求解。 19 2. 内部自由度凝聚 （1）子结构内部节点的位移分量 （2）子结构边界节点的位移分量 交界面节点交界面节点交界面节点 需要凝聚掉的位移自由度 自由度凝聚过程 ： 对图示子结构已建立有限元方程： 子结构的刚度矩阵 分别为子结构的位移列阵 、等效节点载荷列阵 交界面上的节点位移 内部及边界节点位移 交界面上的节点等效载荷 内部及边界节点等效载荷 将子结构的方程写成分块形式： 20 交界面节点交界面节点交界面节点 由第二个方程求出： 将其代入第一个方程，消去 ai 有 令 ： 方程简化为： 21 5.4 结构对称性与周期性的利用 5.4.1 具有对

12、称面的结构 对称面上边界条件的确定 ： （1）将对称面上位移分量分为 对称分量和反对称分量， 如：垂直对称面为对称位 移分量；与对称面相切为 反对称位移分量； （2）将载荷分为对称和反对称 （3）对称面上边界条件的确定 ： （a）对同一对称面，在对 称载荷时，对称的位 移分量为零。 （b）对同一对称面，在反 对称载荷时，反对称 的位移分量为零。 22 5.4.2 轴对称体受非轴对称载荷的情况 5.4.3 旋转周期结构 单元划分时注意事项 ： 在结构形状变化剧烈处，单元设置稠密一些 在载荷变化剧烈处，单元设置稠密一些 23 5.5 非协调元与分片试验(patch test) 也称分片检验或小片检

13、验 （1）对边界有良好的适应性 引 言 1. 等参元的优点 （2）如同其母单元一样，表达格式简明 （3）具有与母单元同样的收敛性 2. 等参元的局限性 其计算精度和效率不够高，具有提高的潜力。 原因 ： Ni 中存在不完全的高次多项式，它们对单元精度提高不起 作用。如： 1 2 3 4 （1） 4结点四边形单元： 双线性（完全的多项式仅为一次） 就线性的完全多项式而言，仅需3个节点6个自由度即可描述 。 24 6 7 8 1 2 3 4 5 （2） 8节点四边形单元： 二次单元（完全的多项式为二次的） 就完全二次多项式而言，仅需6个节点12个自由 度即可描述。多余2个节点。 上述情况，在空间问

14、题中更为严重 。 不完全的高次多项式不但不能提高精度，有时可起负面作用。 例如：用二维双线性单元描述纯弯曲应力状态 该问题的精确解为： 由平面问题的几何方程和物理方程，得 ： 为纯弯曲的应力状态。E、 为弹性常数。 25 若用双线性矩形单元模拟该应力状态： 对照精确解，有： 由几何方程，得 由物理方程 近似位移 近似剪应力 近似的 y 误差原因 ： 位移中缺完全的二次多项式 。 26 5.5.1 Wilson 非协调元 1. 基本思想 在不增加单元自由度情况下，位移插值函数中，增加一些 附加项，使其构成完全多项式，以弥补原位移插函数中非完全 多项式的不足。 Wilson称这些附加项为：内部无节

15、点位移项。 以4节点四边形等参元为例，采用自然坐标，其附加项为 附加项特点 在4节点处，附加项的值为零，不影响节点位移 附加项的二次项使位移成为完全二次多项式 2. 二维4节点Wilson非协调元 1 2 3 4 位移模式 ： 27 其中 ： 称为内部自由度，无明确的物理意义 将单元位移插值用矩阵表示： 其中 ： 1 2 3 4 28 应变、单元位能泛函、单元有限元方程： 将假设单元位移代入几何方程得： 代入单元位能泛函 由得： 其中： 原4节点线性单元的刚度阵 29 单元的内部自由度凝聚 由上式中的第二式可解出： 将上式的第一式，有 整理，消去l , 有 令： 说明： （1）上述方程包括了附加 内节点位移项得到的单 元刚度阵和载荷列阵。 （2）单元刚度矩阵的阶数与 原线性单元相同。消去 附加自由度 14 的过程 ，称为内部自由度凝聚 。 30 （3）若不存在体积力（ f 0）, 则有 进一步略去中的第二项，则 与原线性协调单元相同 实践证明， 作以上处理后，计算量大大减少，且对精度影响不太大 。 31 j 结点的位移i 点的弯曲应力 载荷A载荷B载荷A载荷B 理论解100.0103.030004050 协调元网格168.170.121822945 协调元网格270