带电粒子在磁场中的运动经典题目综述

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1、两类典型问题 1.带电粒子在有界匀强磁场中（只受洛 伦兹力）做圆弧运动； 2.带电粒子在磁场中运动时的临界问题 （或多解问题）的讨论 概述概述 1、本类问题对知识考查全面，涉及到力学 、电学、磁学等高中物理的主干知识，对学 生的空间想象能力、分析综合能力、应用数 学知识解决物理问题能力有较高的要求，是 考查学生多项能力的极好的载体，因此成为 历年高考的热点。 2、从试题的难度上看，多属于中等难度或 较难的计算题。原因有二：一是题目较长， 常以科学技术的具体问题为背景，从实际问 题中获取、处理信息，把实际问题转化成物 理问题。二是涉及数学知识较多（特别是几 何知识）。 3、常见的五种有界磁场：单

2、边界磁场、双 边界磁场、矩形磁场、圆形磁场、三角形 磁场 4、解题关键有三点： 粒子圆轨迹的圆心O的确定 运动半径R的确定 运动周期T的确定 uu 带电粒子在匀强磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中的运动 由洛伦兹力提供向心力由洛伦兹力提供向心力 r mv2 qvBqvB = = 轨道半径：轨道半径： qB mv r = 运动周期：运动周期： v T = 2 r qB 2 m = = 周期T与R和v无关 仅由粒子种类（m、q） 决定，和磁感应强度B 决定。 角速度：角速度： 频率：频率： 动能：动能： uu 解题的基本过程与方法解题的基本过程与方法 1 1 找圆心：找圆心： l 已知任意两点速度方

3、向：作垂线 可找到两条半径，其交点是圆心 。 l 已知一点速度方向和另外一点的 位置：作速度的垂线得半径，连 接两点并作中垂线，交点是圆心 。 v v O v O 3 3 定半径：定半径： l l 几何法求半径几何法求半径 l l 公式求半径公式求半径 4 4 算时间：先算周期，再用圆心角算时间：先算周期，再用圆心角 算时间算时间 = 2 = 2 注意： 应以弧度制表示 2 2 画圆弧：画圆弧： 例、一正离子,电量为q ,质量为m， 垂直射入磁感应强度为B、宽度为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向 与其原来入射方向的夹角是30， （1）离子的运动半径是多少？ （2）离子射入磁场时速度是多少？

4、 （3）穿越磁场的时间又是多少？ v 30 O B d v 答案: uu双边界磁场（一定宽度的无限长磁场）双边界磁场（一定宽度的无限长磁场） uu附：电偏转与磁偏转的区别附：电偏转与磁偏转的区别 B L v y R R O 注意：注意： （1 1）电偏转是类平抛运动）电偏转是类平抛运动 磁偏转是匀速圆周运动磁偏转是匀速圆周运动 （2）这里射出速度的反向延长线与 初速度延长线的交点不再是宽度 线段的中点。这点与带电粒子在 匀强电场中的偏转结论不同！ y y x x O O v v v v a a B 60 练练 一个质量为m电荷量为q的带电粒子（不计重力） 从x轴上的P(a，0)点以速度v，沿与

5、x正方向成60 的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂 直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B和射出点的坐标。 BqBq mvmv a a r r 3 3 2 2 = = = = aqaq mvmv B B 2 2 3 3 = = 得得 射出点坐标为（0， ） a a3 3 O O 解析解析 ： 练、如图，虚线上方存在磁感应强度为B的磁场， 一带正电的粒子质量m、电量q，若它以速度v沿与 虚线成300、900、1500、1800角分别射入， 1.请作出上述几种情况下粒子的轨迹 2.观察入射速度、出射速度与虚线夹角间的关系 3.求其在磁场中运动的时间。 uu单边界磁场单边界磁场 入

6、射角300时 入射角900时 入射角1500时 入射角1800时 uu 对称性对称性 有用规律一：（记下书本P96，以备高三复习时查阅） 过入射点和出射点作一直线，入射速度与直线的夹角 等于出射速度与直线的夹角，并且如果把两个速度移到 共点时，关于直线轴对称。 强调： 本规律是在单边界磁场中总结出的，但是适用于任何类型的磁场 例如图所示，在y l R。 P P1 1 N N P P2 2 故P1P2=20cm 解析： 粒子带正电，沿逆时针方向 做匀速圆周运动，轨道半径R为 解题经验 1、临界问题，经常是运动轨迹圆与磁场边界相切 时为临界状态。 2.仔细审题，当电荷的正负不确定、或磁场的方 向不

7、确定时，会有两个解。 3.注意磁偏转与电偏转的不同。电偏转是抛物线 ，一去不复返，但是磁偏转是圆，可以向前，也 可以回头。特别是在矩形磁场中，既可以从左边 飞出，也可以从右边飞出，也就是有两个临界状 态。 4.对于有多个粒子，或者相当于有多个粒子（如 速度大小确定，方向不确定的题型），射入同一 磁场时，有界磁场要先假设成无界磁场来研究， 这样会得到更多灵感。也就是说，在画运动轨迹 圆草图时，必须画完整的圆。 O 2 2r r 模型1：速度方向确定，大小不确定 模型2：速度大小确定，方向不确定 三种重要的模型 V v0 模型3：速度大小、方向确定，入射点不确定 极值问题 d mm -q-q A

8、A v v O O R R d d u 对象模型：质点质点 u 过程模型：匀速圆周运动匀速圆周运动 u 规律：牛顿第二定律牛顿第二定律 + + 圆周运动公式圆周运动公式 u 条件：要求时间最短要求时间最短 w w = = = = v v s s t t 速度速度 v v 不变，欲使穿过磁场时间最短，须使不变，欲使穿过磁场时间最短，须使 s s 有最有最 小值，则要求小值，则要求弦最短弦最短。 例例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状 如图所示，磁场宽度为如图所示，磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直B B的平面内的平面内 的的A A点，有一个电量为点，有一个电量

9、为 q q 、质量为质量为 mm、速度、速度 为为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与 磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间穿过磁场的时间 最短最短？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d） d mm -q-q A A v v O O 中垂线中垂线 与边界的夹角为（与边界的夹角为（9090 ） Bq mv dBq m 2 arcsin R v t= 2q w 2q mv dBq R d 2 2/ sin=q 例例 一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状 如图所示，磁场宽度为如图所示，

10、磁场宽度为 d d。在垂直。在垂直B B的平面内的平面内 的的A A点，有一个电量为点，有一个电量为 q q 、质量为质量为 mm、速度、速度 为为 v v 的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与 磁场边界的夹角为多少时粒子磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间穿过磁场的时间 最短最短？（已知？（已知 mv/Bqmv/Bq d d） 例、如图，半径为 r=3102m 的圆形区域内有一匀强磁场 B=0.2T，一带正电粒子以速度 v0=106m/s的从a点处射入磁场 ，该粒子荷质比为 q/m=108C/kg，不计重力。若 要使粒子飞离磁场时有最大的 偏转角，其入

11、射时粒子的方向 应如何（以v0与ao的夹角表示 ）？最大偏转角多大？ R =mv/Bq=5102m r Oa B v v0 0 b R R r r 说明：说明：1. 1.本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同本题中，由于是两圆相交，两个交点的连线同 时是两个圆的弦。时是两个圆的弦。2. 2.轨道圆轨道圆半径确定时，弦线越长，通 过的弧越长，偏转角度也越大。 R =mv/Bq=5102m r 解析：解析： Oa B v v0 0 b R R r r 得 = 37，sin = r/R 最大偏转角为 2 = 74。 例、如图，半径为 r=3102m的圆形区域内有一匀强磁场 B=0.2T，一带正电粒

12、子以速度v0=106m/s的从a点处射入磁场 ，该粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力。若要使粒子飞 离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以 v0与ao的夹角表示）？ 最大偏转角多大？ 变式：变式：如图所示，一带负电荷的质点，质量为如图所示，一带负电荷的质点，质量为mm，带电量，带电量 为为q q，从，从MM板附近由静止开始被电场加速，又从板附近由静止开始被电场加速，又从N N板的小板的小 孔孔a a水平射出，垂直进入半径为水平射出，垂直进入半径为R R的圆形区域匀强磁场中的圆形区域匀强磁场中 ，磁感应强度为，磁感应强度为B B，入射速度方向与，入射速度方向与OPOP成成

13、4545角，要使角，要使 质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差质点在磁场中飞过的距离最大，则两板间的电势差U U为为 多少？多少？ 例、例、如图如图，带电质点质量为带电质点质量为mm，电量为电量为q q，以平行于以平行于OxOx 轴轴 的速度的速度v v 从从y y 轴上的轴上的a a 点射入图中第一象限所示的区域点射入图中第一象限所示的区域。 为了使该质点能从为了使该质点能从 x x 轴上的轴上的 b b 点以垂直于点以垂直于 OxOx 轴的速度轴的速度v v 射出射出，可在适当的地方加一个垂直于可在适当的地方加一个垂直于 xyxy平面、磁感应强平面、磁感应强 度为度为 B B的匀强

14、磁场的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内若此磁场仅分布在一个圆形区域内 ，试求这圆形磁场区域的最小半径试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计重力忽略不计。 y O a x b v0 2 2R R B B O O r r r r MM N N 解解 ：质点在磁场中圆周运动半径为 r=mv/Bq。质点在磁场区域中的轨道是 1/4 圆周，如图中MM、N N两点间的圆弧两点间的圆弧。 在通过在通过MM、N N两点的不同的圆中，最小两点的不同的圆中，最小 的一个是以的一个是以MNMN 连线为直径的圆周。连线为直径的圆周。 圆形磁场区域的最小半径圆形磁场区域的最小半径 qBqB mvmv MNM

15、N R R 2 2 2 2 1 1 = = = = 例、如图，质量为m、带电量为+q 的粒子以速度v 从O点沿y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁 场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从 b 处穿过 x轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为30，同时进入场强 为 E、方向沿与与 x 轴负方向成60角斜向下的匀强电场 中，通过了 b点正下方的 C点。不计重力，试求： （1）圆形匀强磁场区域的最小面积； （2）C点到 b点的距离 h。 v v y x E b O 30 60 v v h A O2 O1 v v y x E b O 30 60 v v h A O2 O1 解：解：( (1) 反向延长vb交y 轴于O2 点，作bO2 O的角平分线 交x 轴于O1 ， O1即为圆形轨道的圆心，半径为R = OO1 =mv/qB，画出圆形轨迹交b O2于A点，如图虚线所示。 最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图示： S S minmin = = r r2 2 3 3 m m 2 2v v2 2 4 4q q 2 2B B2 2 = = OA OA = 2= 2r r qBqB mvmv 3 3 = = hsin 30=vt h cos 30 = 2 1 qE m t2 (2) b到C 受电场力作用，做类平抛运动 得t=2mv/qEtan 30