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1、公元1651年法国著名数学家帕斯卡1623-1662收到法国大贵族德.美黑的一封信，信中请教了关于赌徒分赌金的问题：“两个赌徒规定谁先赢3局就算赢了，如果一个人赢了2局另一个人赢了1局，此时赌博终止，应该怎样分配赌本才算公平合理？”帕斯卡将该问题和解答寄给法国数学家费马1601-1665，费马也给出了新的解法，他们不断探讨这类问题，擦出概率论最早的火花。概率论起源之后荷兰数学家惠更斯1629-1695也加入并在1657年出版OnCalculationsingamesofchance，该书是概率论的第一部著作，由此概率论诞生了。后来雅可比.伯努利1654-1705，棣莫弗1667-1754贝叶斯
2、1702-1761拉普拉斯1749-1827高斯1777-1855泊松1781-1840对概率论的发展做出了重大贡献俄罗斯学院的切比雪夫1821-1894和他的学生马尔科夫1856-1922、李雅普诺夫1857-1918对概率论发展做出了重大贡献，提出了重要的大数定律。在18-19世纪概率论得到了实际应用和重大发展。而现今流行的基于公理化定义的概率论主要归功于俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，柯尔莫哥洛夫发表了著名的概率论的基本概念，用公理化结构明确定义了概率论，这是概率论发展史上的一个重大里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。在19世纪初，比利时的学者A.凯特勒率先将概率应用到统计
3、中，并将统计方法从自然科学领域扩展到社会科学领域。他统计了欧洲大部分国家的死亡、犯罪、结婚、自杀等社会现象，得出一份调查报告，宣称他可以预知每年的死亡、犯罪、结婚、自杀数量，此举轰动了整个欧洲，为此他被冠以“近代统计学之父”的称号。从此概率和统计在社会、经济、科学等领域得到重大应用和发展。统计学起源第一章随机事件及其概率第一章随机事件及其概率1.11.1样本空间与随机事件样本空间与随机事件1.21.2概率的直观定义概率的直观定义1.31.3概率的公理化定义概率的公理化定义1.41.4条件概率与乘法公式条件概率与乘法公式1.51.5事件的独立性事件的独立性第一章随机事件及其概率为了研究随机现象，
4、就要对研究对象进行观察试验，即随机试验，简称试验。1.试验可以在相同条件下重复进行2.每次试验的可能结果不只一个，且试验之前不能肯定会出现哪一个结果3.试验可能出现的结果可以预知试验的特点随机试验1.11.1样本空间与随机事件样本空间与随机事件第一章随机事件及其概率寿命试验测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命.统计一天中进入某商店的顾客人数.第一章随机事件及其概率在随机试验中可能发生也可能不发生的事情称为随机事件，简称事件.随机事件事件基本事件复合事件（试验中不可再分解的事件）（两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合事件）第一章随机事件及其概率在掷骰子试验中，“点数小于7”和“点数为8”
5、是随机事件吗？两个特殊的事件：必件然事即在试验中必定发生的事件，记为不件可事能即在试验中必定不发生的事件，记为。第一章随机事件及其概率用集合表示事件样本空间，样本点.A样本点.事件就是由样本点组成的某个集合.第一章随机事件及其概率例1.抛两颗骰子，观察点数。样本空间=(xy)|xy=126A=“两颗点数相同”B=“两颗点数之和大于10”C=“两颗点数之和小于20”D=“两颗点数之和为10，点数之差为4”第一章随机事件及其概率事件间的关系和运算1.事件的包含2.事件的相等3.事件的积（交）4.互不相容事件(互斥)第一章随机事件及其概率5.事件的和（并）7.逆事件（对立事件）6.差事件A-B第一章
6、随机事件及其概率事件的运算法则1.交换律2.结合律3.分配律4.对偶原则第一章随机事件及其概率例2：某人连续买了3期彩票，设表示事件“第i期中奖”(i=123）试用及对立事件表示下列事件：1.3期中至少有1期中奖；2.3期都中奖；3.3期中恰好有1期中奖；4.3期都不中奖；5.3期中最多有1期中奖。第一章随机事件及其概率例3：化简第一章随机事件及其概率研究随机现象，不仅要关心试验中会出现哪些事件，更重要的是要知道事件出现的可能性大小。事率件概的第一章随机事件及其概率23479108615例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，其中六个红球，四个黑球，把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球，
7、求取到红球的概率。古典概率1.21.2概率的直观定义概率的直观定义第一章随机事件及其概率1.试验有有限个基本事件e1e2，eN古典概型试验2.每次试验中各基本事件出现的可能性均相同第一章随机事件及其概率概率的古典定义若试验中只有n个等可能的基本事件，而某个事件A包含m个基本事件则mn为事件A的概率，即P(A)=事件A包含的基本事件数所有可能的基本事件数=mnn个基本事件m个第一章随机事件及其概率古典概率P(A)的性质？0P(A)1P()=1P()=0非负性规范性有限可加性若事件A1，A2An两两互不相容，则有P(A1+A2+An)=P(A1)+P(An)第一章随机事件及其概率古典概率计算举例例
8、1.袋中装有8只红球，2只黑球，从中任取两只。a.一红一黑的概率。b.至少有一只黑球的概率。第一章随机事件及其概率（超几何分布）一批产品共有N件，其中M件是次品。现在从全部N件产品中随机的抽取n件（nN)求恰好取到k（kM)件次品的概率。第一章随机事件及其概率例2.有n(n365)个人，设每个人的生日是任一天的概率为1365.求这n个人中至少有两个人的生日相同的概率.n2223243040505760P0.4760.5070.5380.7060.8910.9700.9900.994第一章随机事件及其概率例3.从0，1，2，9共10个数字中任取1个，假定每个数字都以110的概率被取中，取后放回，
9、先后取出4个数字，试求下列各事件的概率。1“4个数字各不相同”2“4个数字全相同”3.“4个数字组成4位各不相同的4位数”4“4个数字组成一个3位数”5“4个数字组成一个4位偶数”6.“4个数字恰好有2个0”第一章随机事件及其概率在n次重复试验中，事件A出现m次，则n次试验中，事件A出现的频率fn(A)=mn统计概率第一章随机事件及其概率实验实验者抛掷掷次数n正面出现现次数m正面出现现频频率mn德摩尔根204810610.518蒲丰404020480.5069弗勒1000049790.4979皮尔逊24000120120.5005维尼30000149940.4998抛硬币试验第一章随机事件及其
10、概率当各轮试验次数n1n2ns充分大时，在各轮试验中事件A出现的频率总总在一个定值值附近摆摆动动.而且，试验试验次数越多，一般来说说摆动摆动越小.频率稳定在某个值附近频率稳定性第一章随机事件及其概率在相同条件下对试验E重复进行n次，其中事件A出现m次。当试验次数n充分大时，事件A出现的频率fn(A)=mn的稳定值称为事件A的概率，记为P(A).P=P(A)fn(A)=mn概率的统计定义第一章随机事件及其概率2.对于较大的n，n次试验中事件A的频率，一般与事件A的概率P相差不大，试验次数n越大，频率与概率有较大偏差的情形就越少见.因此人们常取试验次数很大时事件的频率或一系列频率的平均值作为概率的
11、估计值。频率和概率有什么区别和联系？1.频率取决于试验，而概率是先于试验而客观存在的。第一章随机事件及其概率例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发，中靶m发，当n很大时，可用频率mn作为他中靶概率的估计.第一章随机事件及其概率医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病.”第一章随机事件及其概率几何概率A向该正方形随机投针，求针落在红色区域A的概率1.样本空间是直线、平面或空间上的某个有限区域
12、，含有无限多个样本点；2.各个样本点对应的基本事件的发生是等可能的。几何概型试验第一章随机事件及其概率设随机试验E的每一个可能结果是等可能地落在区域上的一点M（称为随机点），且则点M落在区域D（事件A)上的概率为几何概率定义P(A)=D的几何度量的几何度量其中“测度”即长度、面积或体积等。D第一章随机事件及其概率几何概率应用1.设公共汽车每5分钟一班，求乘客在车站等车不超过1分钟的概率。3.在圆周上任取三个点ABC求三角形ABC为锐角三角形的概率。2.甲、乙两人相约在8时到9时在某地会面.先到的人等候另一个人15分后即可离去.设每人在这1小时内各时刻到达该地是等可能的且两人到达的时刻互不影响.
13、求甲、乙两人能会面的概率.第一章随机事件及其概率补：蒲丰投针试验1777年法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直线现向此平面任意投掷一根长为b(0则称为已知事件A发生条件下，事件B发生的条件概率。条件概率第一章随机事件及其概率例1：一个家庭中有两个小孩，已知其中有男孩，问两个都是男孩的概率是多少（假设生男生女是等可能的）？例2：设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.4，求现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率。第一章随机事件及其概率推广到n个事件的情况乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)设A，B为任意事件，若P
14、(A)0P(AB)=P(B)P(A|B)若P(B)0第一章随机事件及其概率例3：箱中有5个红球和3个白球，现不放回地取出3球，假设每次抽取时，箱中各球被取出是等可能的，求：a.已知第一次取出红球，则第二次仍取出红球的概率。b.直到第三次才取到红球的概率。c.第二次取到的是红球的概率。第一章随机事件及其概率完备事件组与全概率公式第一章随机事件及其概率设A1A2An是完备事件组，P(Ak)0(k=12n)，且则对于事件B有定理第一章随机事件及其概率例1:某保险公司把被保险人分为三类：“安全的”、“一般的”与“危险的”。统计资料表明，对于上述3种人而言，在一年期间内发生事故的概率依次为0.05、0.
15、15与0.30。如果在被保险人中“安全的”占15%，“一般的”占55%，“危险的”占30%，试问任一被保险人在一年中发生事故的概率是多少？第一章随机事件及其概率由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.A1A2A3A4A5A6A7A8B诸Ai是原因B是结果第一章随机事件及其概率实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”如果某被保险人在一年中发生了事故，则他属于“危险的”一类人的概率是多少？第一章随机事件及其概率贝叶斯公式设A1A2An是完备事件组P(Ak)0(k=12
16、n)且，则B已发生的条件下，Ak发生的概率为第一章随机事件及其概率例2.甲胎蛋白试验法是早期发现肝癌的一种有效手段。据统计，肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为95%，非肝癌患者甲胎蛋白试验呈阳性反应的概率为4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，现在此地有一人用甲胎蛋白试验法进行检查，结果显示阳性，问这人确定是肝癌患者的概率是多少？第一章随机事件及其概率例3.10个考签中有4个难签，甲乙两人依次抽签。求：a.已知甲抽到难签，求乙抽到难签的概率。b.已知乙抽到难签，求甲抽到难签的概率。第一章随机事件及其概率全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0第一章随机事件及其概率作业习题一：15、16、18、192.12个乒乓球中有9个新的，3个旧的，第一次比赛取出了3个，用完后放
