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1、引 言 数学建模竞赛，就是一项数学应用题比 赛。大家都做过数学应用题吧，比如说“ 树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只 ”，这样的问题就是一道数学应用题(应该 是小学生的吧)，正确答案应该是9只，是 吧？这样的题照样是数学建模题，不过答 案就不重要了，重要的是过程。真正的数 学建模高手应该这样回答这道题： “树上有十只鸟，开枪打死一只，还剩几只？ ” “是无声手枪或别的无声的枪吗？”“不是。” “枪声有多大？”“80100分贝。” “那就是说会震的耳朵疼？” “是。” “在这个城市里打鸟犯不犯法？” “不犯。” “您确定那只鸟真的被打死啦？” “确定。” “OK，树上的鸟里有没有聋子？” “没
2、有。” “有没有关在笼子里的？” “没有。” “边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？”“没有。” “有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“没有。” “算不算怀孕肚子里的小鸟？”“不算。” “打鸟的人眼有没有花？保证是十只？”“没有花，就十只。” “有没有傻的不怕死的？”“都怕死。” “会不会一枪打死两只？”“不会。” “所有的鸟都可以自由活动吗？”“完全可以。” “如果您的回答没有骗人， 打死的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只， 如果掉下来，就一只不剩。” 不是开玩笑，这就是数学建模。从不 同的角度思考一个问题，想尽所有的可能 ，正所谓的智者千虑，绝无一失，这，才 是数学建模的高手。 第
3、一讲 建立数学模型 1.1 从现实对象到数学模型 1.2 数学建模的重要意义 1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤 1.5 数学模型的特点和分类 1.6 怎样学习数学建模 玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型 水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型 地图、电路图、分子结构图 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 1.1 从现实对象到数学模型 我们常见的模型 你碰到过的数学模型“航行问题” 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，
4、船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 数学模型 和 数学建模 数学模型(Mathematical Model) 对于现实中的原型(现实对象)，为了某个特定目的， 根据其内在规律，作出一些必要的简化和假设，运用适当 的数学工具得到的一个数学结构。也可以说，
5、数学建模是 利用数学语言（符号、式子与图象）模拟现实的模型。把 现实模型抽象、简化为某种数学结构是数学模型的基本特 征。它或者能解释特定现象的现实状态，或者能预测到对 象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。 数学建模（Mathematical Modeling) 数学模型 和 数学建模 把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学 模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数 学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知 识的这一应用过程称为数学建模。数学模型的全过程 包括表述、求解、解释、检验等。 数学竞赛给人的印象是高深莫测的数学难题，和 一个人、一支笔、一张纸，关在屋子里的
6、冥思苦想， 它训练严密的逻辑推理和准确的计算能力，而数学建 模竞赛从内容到形式与此都有明显的不同。 数学建模竞赛的题目由日常生活、工程技术和管理 科学中的实际问题简化加工而成，大家可以从网上找 到历年的赛题，它们对数学知识要求不深，一般没有 事先设定的标准答案，但留有充分余地供参赛者发挥 其聪明才智和创造精神。 数学建模竞赛 什么是数学建模竞赛 大学生数学模型竞赛是全球范围内数学界最重要的竞赛之 一， 1994年以来全国大学生数学建模竞赛已为少数几项大学 生课外活动和竞赛活动之一。 大学生数学建模竞赛培养学生什么样的能力?经过10多年 来广大参赛同学,和指导教师的总结，至少有以下几方面是值 得
7、提出的： 一、应用数学进行分析、推理、计算能力，特别是双向翻译 的能力大大提高。 二、应用计算机、数学软件以及因特网的能力大大提高。 三、获得应变能力的培养。 四、培养和发展同学们的创造力、想象力、联想力和洞察力 。五、培养学生组织、管理、协调合作以及仪式妥协的能力 。六、培养了交流、表达和写作能力。 数学建模竞赛 数学建模竞赛的意义 数学建模竞赛以通讯形式进行，三名大学生组成一队， 可以自由地收集资料、调查研究，使用计算机和任何软件 ，甚至上网查询，但不得与队外任何人讨论。在三天时间 内，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的 设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方 面的
8、论文。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结 果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。 可以看出，这项竞赛与学生毕业以后工作时的条件非 常相近，是对学生业务、能力和素质的全面培养，特别是 开放性思维和创新意识。 数学建模竞赛 数学建模竞赛的形式 竞赛是由教育部高教司和中国工业与应用数学学会 共同主办的，每年9月下旬举行，今年是9月9日至11日 。竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。今年我 院组成十五队参加竞赛。 数学建模竞赛 怎样参加数学建模竞赛 2006年全国一等奖获得者： 谭于超：城建学部05级土木 曾晓波：城建学部04级土木 胡德丽：信息工程学部04级信计 2007年省三等奖获得者
9、： 邓星星：城建学部06级土木 彭振庭：信息工程学部05级计科 严新林：信息工程学部05级信科 2008年省三等奖获得者： 王 锐：信息工程学部06级信计 余鲁鑫：城建学部08级土木 周峥嵘：城建学部08级土木 2008年省二等奖获得者： 邱 丰：经管学部06级国贸 汪燕霞：信息工程学部06级信计 罗 强：机电工程学部07级机电 2009年省二等奖获得者： 邓星星：城建学部06级土木 陶小娟：经管学部08级工管 董丽娜：经管学部08级工管 2009年省二等奖获得者： 罗 强：机电工程学部07级机电 江 媛：机电工程学部08级机电 王 冬：机电工程学部08级机电 2010年省三等奖获得者： 张杰
10、俊：08建筑工程1班 汪佳亮：08建筑工程2班 袁宽：08建筑工程2班 历年两院取得的成绩 1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展； 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模计算机技术 知识经济 如虎添翼 1.3 数学建模示例 1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗 问题分析 模 型 假 设 通
11、常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚 连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三 只脚同时着地。 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性 x B A D C O D C B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 距离是的函数 四个距离( 四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 f() B,D 两脚与地面距离之和 g() 两个距离 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形 对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出
12、来 f() , g()是连续函数 对任意, f(), g() 至少一个为0 数学 问题 已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0. 模型构成 地面为连续曲面 椅子在任意位置 至少三只脚着地 模型求解 给出一种简单、粗糙的证明方法 将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)0. 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性 质, 必存在0 ,
13、使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0. 评注和思考建模的关键 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 和 f(), g()的确定 1.3.2 商人们怎样安全过河 问题(智力游戏) 3名商人 3名随从 随从们密约, 在河的任一 岸, 一旦随从的人数比商 人多, 就杀人越货. 但是乘船渡河的方案由商人决定 .商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程 决策 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有 限步使全体人员过河. 河 小船(至多2人) 模型构成 xk第k
14、次渡河前此岸的商人数 yk第k次渡河前此岸的随从数 xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的状态 S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 S 允许状态集合 uk第k次渡船上的商人数 vk第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk)决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合 uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k状态转移律 求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按 转移律由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0). 多步决策 问题 模型求
15、解 x y 3 32 2 1 1 0 穷举法 编程上机 图解法 状态s=(x,y) 16个格点 10个 点 允许决策 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. s1 sn+1 d1, ，d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况 d1 d11 允许状态 S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律控制人口过快增长 1.3.3 如何预报人口的增长 指数增长模型马尔萨斯提出 (1798) 常用的计算公式 x(t) 时刻t的人口 基本假设 : 人口增长率 r (单位时间内人口的增长量 与当时的人口呈正比)是常数 今年人口 x0, 年增长率 r k年后人口 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪
