数模之Eviews教程+时间序列+ARIMA模型讲解

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1、统 计 建 模 (4) -时间序列的经济学模型 随机时间序列的计量经济学模型 时间序列的平稳性及其检验 随机时间序列分析模型 协整分析与误差修正模型 9.1 时间序列的平稳性及其检验 一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的图示判断 四、平稳性的单位根检验 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程 一、问题的引出：非平稳变量与经典 回归模型 常见的数据类型 到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： 时间序列数据（time-series data) 截面数据(cross-sectional data) 平行/面板数据（panel data/time-ser

2、ies cross-section data) 时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据 经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是 平稳的。 数据非平稳，大样本下的统计推断基础“ 一致性”要求被破怀。 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非 随机变量 依概率收敛： (2) 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求 ： (1)X与随机扰动项 不相关Cov(X,)=0 第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一 致性”特性： 第（1）条是OLS估计的需要 如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势） ，则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”， 基于大样本的统计推断也就遇

3、到麻烦。 因此： 注意：在双变量模型中： 表现在:两个本来没有任何因果关系的变量 ，却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如 果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（ 非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系， 但进行回归也可表现出较高的可决系数。 数据非平稳，往往导致出现“虚假回 归”问题 在现实经济生活中，实际的时间序列数据 往往是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、 收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样 ，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般 不会得到有意义的结果。 时间序列分析模型方法就是在这样的情况 下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主 线而发展起来的全新的计量经济

4、学方法论。 时间序列分析已组成现代计量经济学的重 要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。 二、时间序列数据的平稳性 定义： 假定某个时间序列是由某一随机过程（ stochastic process）生成的，即假定时间序列Xt （t=1, 2, ）的每一个数值都是从一个概率分布 中随机得到，如果满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有 关，与时间t 无关的常数； 则称该随机时间序列是平稳的（stationary) ，而该随机过程是一平稳随机过程（stationar

5、y stochastic process）。 例9.1.1一个最简单的随机时间序列是一具 有零均值同方差的独立分布序列： E(Xt)=t ， tN(0,2) 该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。 由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差 为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的。 例9.1.2另一个简单的随机时间列序被称为 随机游走（random walk），该序列由如下随机 过程生成： X t=Xt-1+t 这里， t是一个白噪声。 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设 Xt的初值为X0，则易知: X1=X0+1 X2=

6、X1+2=X0+1+2 Xt=X0+1+2+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此: Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳 序列。 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t 由于t是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。 后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳 的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序 列。 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶 自回归AR(1)过程的特例: Xt=Xt-1+t 不难验证: 1)|1时，该随机过程生成的时间序列是发散的 ，表现为持续上升(1)或持续下降(0，自相关系数都为0的联 合假设，

7、这可通过如下QLB统计量进行： 该统计量近似地服从自由度为m的2分布 （m为滞后长度）。 因此:如果计算的Q值大于显著性水平为 的临界值，则有1-的把握拒绝所有k(k0)同 时为0的假设。 例9.1.3: 表9.1.1序列Random1是通过一 随机过程（随机函数）生成的有19个样本的随 机时间序列。 容易验证：该样本序列的均值为0，方差为 0.0789。 从图形看：它在其样本均值0附近上下波动， 且样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近 波动且逐渐收敛于0。 由于该序列由一随机过程生成，可以认为不 存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。 根据Bartlett的理论：kN(0,1/19)，因

8、 此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是: 可以看出:k0时，rk的值确实落在了该区间内 ，因此可以接受 k(k0)为0的假设。 同样地，从QLB统计量的计算值看，滞后17期 的计算值为26.38，未超过5%显著性水平的临界 值27.58，因此,可以接受所有的自相关系数 k(k0)都为0的假设。 因此，该随机过程是一个平稳过程。 序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。其中，第0项 取值为0， t是由Random1表示的白噪声。 图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样 本自相关图看，虽然自相关系数缓慢下降到0， 但随着时间的推移，则在0附近

9、波动且呈发散趋 势。 样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间- 0.4497, 0.4497之外，因此在5%的显著性水平 上拒绝1的真值为0的假设。 该随机游走序列是非平稳的。 例9.1.4 检验中国支出法GDP时间序列的平稳性。 表9.1.2 19782000年中国支出法GDP（单位：亿元） 图形：表现出了一个持续上升的过程，可初 步判断是非平稳的。 样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它的 非平稳性。 从滞后18期的QLB统计量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后 的值全部为0的假设。 结论: 19782000年间中国GD

10、P时间序列是非平稳序列 。 例9.1.5 检验2.10中关于人均居民消费与人均国 内生产总值这两时间序列的平稳性。 原图 样本自相关图 从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国 内生产总值（GDPPC）是非平稳的。 从滞后14期的QLB统计量看：CPC与GDPPC序列的 统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为 5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性 。 就此来说，运用传统的回归方法建立它们的 回归方程是无实际意义的。 不过，9.3中将看到，如果两个非平稳时 间序列是协整的，则传统的回归结果却是有意 义的，而这两时间序列恰是协整的。 四、平稳性的单位根检验 （unit roo

11、t test） 1、DF检验 随机游走序列: Xt=Xt-1+t 是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成 是随机模型: Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。 （*）式可变形成差分形式： Xt=(-1)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*) 检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（* ）式判断是否有 =0。 对式： Xt=Xt-1+t （*） 进行回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt 有一个单位根。 一般地: 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验 带有截距项的一阶自回归模型： Xt=+Xt-1+t （*） 中的参数是否小于1。 或者：检验其等价形式： Xt=+Xt-1+t （

12、*） 中的参数是否小于0 。 在第二节中将证明，（*）式中的参数1或 =1时，时间序列是非平稳的; 对应于（*）式，则是0或 =0。 因此，针对式： Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为：零假设 H0：=0。 备择假设 H1：1。由 2 - 1 p时， k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即k*在p以后是截尾的。 一随机时间序列的识别原则： 若Xt的偏自相关函数在p以后截尾，即kp时， k*=0，而它的自相关函数k是拖尾的，则此序列 是自回归AR(p)序列。 在实际识别时，由于样本偏自相关函数 rk*是总体偏自相关函数k*的一个估计，由于 样本的随机性，当kp时，rk*不会全为0，而 是在

13、0的上下波动。但可以证明，当kp时， rk*服从如下渐近正态分布: rk*N(0,1/n) 式中n表示样本容量。 需指出的是， 我们就有95.5%的把握判断原时间序列在p之后 截尾。 因此，如果计算的rk*满足： 对MA(1)过程： 2、MA(q)过程 可容易地写出它的自协方差系数： 于是，MA(1)过程的自相关函数为： 可见，当k1时，k0，即Xt与Xt-k不相关， MA(1)自相关函数是截尾的。 MA(1)过程可以等价地写成t关于无穷序列Xt ，Xt-1，的线性组合的形式： 或：（*） (*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数 非截尾但却趋于零，因此MA(1)的偏自相关函数 是非截尾但却

14、趋于零的。 注意: (*)式只有当|q时， k=0是MA(q) 的一个特征。 于是：可以根据自相关系数是否从某一点开 始一直为0来判断MA(q)模型的阶。 与MA(1)相仿，可以验证MA(q)过程的偏自相 关函数是非截尾但趋于零的。 MA(q)模型的识别规则：若随机序列的自相 关函数截尾，即自q以后，k=0（ kq）；而它 的偏自相关函数是拖尾的，则此序列是滑动平均 MA(q)序列。 同样需要注意的是：在实际识别时，由于样 本自相关函数rk是总体自相关函数k的一个估计 ，由于样本的随机性，当kq时，rk不会全为0， 而是在0的上下波动。但可以证明，当kq时，rk 服从如下渐近正态分布: rkN

15、(0,1/n) 式中n表示样本容量。 因此，如果计算的rk满足： 我们就有95.5%的把握判断原时间序列在q之后 截尾。 ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作 MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混 合物。 当p=0时，它具有截尾性质； 当q=0时，它具有拖尾性质； 当p、q都不为0时，它具有拖尾性质 3、ARMA(p, q)过程 从识别上看，通常： ARMA(p，q)过程的偏自相关函数（ PACF）可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱 （spikes），但从p阶滞后项开始逐渐趋向于 零； 而它的自相关函数（ACF）则是在q阶 滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开 始逐渐趋向于零。 四、随机时间序列模型的估计 AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的估计方法 较多，大体上分为3类： （1）最小二乘估计； （2）矩估计； （3）利用自相关函数的直接估计。 下面有选择地加以介绍。 结构 阶数 模型 识别 确定估计 参数 AR(p)模型的Yule Walker方程估计 在AR(p)模型的识别中，曾得到： 利用k=-k，得到如下方程组： 此方程组被称为Yule Walker方程组。该方 程组建立了AR(p)模型的模型参数1,2,p与