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1、Nanjing University of Technology 材料力学 (3) 材料力学 第3章 扭转 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 3.2 扭矩与扭矩图 3.7 连接件的工程假定计算 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 第3章 扭转 3.5 圆轴扭转时的强度条件 第3章 扭转 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 一、工程实例 攻丝 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 汽车转向轴 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 当两只手用力相等时，当两只手用力相等时， 拧紧螺母的工具杆将产生扭拧紧螺母的工具杆将产生扭 转。
2、转。 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 传动轴传动轴 传动轴传动轴 将产生扭转将产生扭转 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 火力发电机转轴 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 水力发电机转轴 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 风力发电机转轴 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 连接汽轮机和发 电机的传动轴将产生 扭转。 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 扭转（torsion）：杆的两端承受大小相等、方向相反、 作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截 面将绕轴线相对转动的受力与变形形式。 二、扭转的概念 轴
3、（shaft）：工程中以扭转为主要变形的杆件。 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 1、直接计算 三、外力偶矩 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 作用于构件的外力偶矩与机器的转速、功率有关。在 传动轴计算中，通常给出传动功率P和转速n，则传动轴所 受的外力偶矩Me可用下式计算： 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 Nm/s），则 2、按输入功率和转速计算 3.1 扭转的实例和外力偶矩等概念 第3章 扭转 3.2 扭矩与扭矩图 1、扭矩（twist moment）：受扭构件在外力偶矩作用下， 横截面上将产生分布的切应力，这些切应力将组成横截面中 心的合力偶矩即为扭矩，用Mx表示。 n
4、Me Me Mx Me Mx + 2、截面法求扭矩； 3、扭矩符号规定： 3.2 扭矩与扭矩图 为了保证同一处两侧横截面上的扭矩具有相同的正 负号，约定按右手定则确定横截面上扭矩方向，当其与截 面外法线方向一致为正，反之为负。 4、扭矩图：表示沿杆件 轴线各横截面上扭矩变 化规律的图形。绘制扭 矩图四步骤。 例题例题 1 1 圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩 的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单 位为mm。 试试 ：画出圆轴的扭矩图。 3.2 扭矩与扭矩图 2 2确定分段点 外加力偶处截面A、 B、C、D均为分段点。 3 3应用截面法，由平衡方 程 确定各段
5、圆轴内的扭矩 。 解：解：1 1分析受力 3.2 扭矩与扭矩图 4 4建立Mxx坐标系 ，画出扭矩图 BC段为危险截面。 3.2 扭矩与扭矩图 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 第3章 扭转 一、切应力互等定理 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 x y z dx dy dz 微元能不能平衡？哪些力互相平衡？ 怎样才能平衡？ 根据力偶平衡理论 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 切应力成对定理 （切应力互等定理） 在两个互相垂直的平面 上，切应力必然成对存在， 且数值相等，两者都垂直于 两个平面的交线，方向则共 同指向或共同背离这一交线 ，这就是切应力成对定理（ pairing pri
6、nciple of shear stresses）。 x y z dx dy dz 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 O 当在弹性范围内加载时： 二、剪切胡克定律 直线段切应力的最高值称为剪切比例极限，用p表示。 这种线性关系称为剪切胡克定 律。G是材料的一个弹性常数，称 为剪切模量，因 无量纲，故G的 量纲与 相同。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三 个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系： 3.3 切应力互等定理 剪切胡克定律 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 第3章 扭转 应力分布应力分布 应力公式应力公式 变变 形形应变分布应变分布 变形几何关
7、系 物理关系 静力学关系 确定横截面上切应 力的方法与过程 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 一、等直圆杆扭转实验观察： 1. 横截面变形后 仍为平面； 2. 轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后 仍为平行。 平面假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，并 刚性地绕轴线转过一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论， 在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d。 半径不等的圆柱上产生的切应变各不相同，半径越小者切应变越小。 二、等直圆杆扭转时横截面上的应力： 1. 变形几何关系 设到轴线任
8、意远处的切应变为（），则从图中可得到如下几何关 系： 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 剪切胡克定律 2. 物理关系 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 3. 静力学关系： 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 截面对形心的极惯性矩 横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式 。 4. 公式讨论： （2）式中：Mx横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求 得。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 （1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。 单位：mm4，m4。 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 （3）尽管由实心圆截面杆
9、推出，但同样适用于空心圆截面杆 ，只是Ip值不同。 对于实心圆截面： 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 对于空心圆截面： 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 （4）应力分布 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻 ，结构轻便，应用广泛。 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 （5）确定最大切应力： Wp 扭转截面系数， 几何量，单位： mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 截面的极惯性矩与截面的极惯性矩与扭转截面模量扭转截面模量 = d / D 对于直径为 d 的实心圆截面 对于内、外直径分别为d 和 D
10、的圆环截面 3.4 圆轴扭转时横截面上的切应力 3.5 圆轴扭转时的强度条件 第3章 扭转 强度条件：（ 许用切应力 ） 强度计算三方面： （1）强度校核： （2） 截面尺寸设计： （3）计算许可载荷： （2）对于变截面圆轴：如阶梯轴，最大切应力需要根据扭 矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。 危险截面： （1）对于等截面圆轴：最大切应力发生在扭矩最大的横截 面上的边缘各点； 3.5 圆轴扭转时的强度条件 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌 式离合器相连，并传递功率。 已知轴的转速n=100r/min, 传 递的功率P7.5kW, 最大切应 力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之
11、比 = 0.5。二轴 长度相同，材料相同。 例例 题题 2 2 求：1、实心轴的直径d1和空心 轴的外直径D2；2、若实心圆 轴与空心圆轴的长度相等，确 定二轴的重量之比。 3.5 圆轴扭转时的强度条件 解：解：1 1、首先根据轴所传 递的功率计算作用在轴上 的扭矩 实心轴 3.5 圆轴扭转时的强度条件 对于空心轴，则有对于空心轴，则有 算得 d20.5D2=23 mm 3.5 圆轴扭转时的强度条件 2、确定实心轴与空心轴的重量之 比 空心轴 D246 mm d223 mm 实心轴 d1=45 mm 在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面 积之比： 工程上采用空心截面构件：提高强度，节
12、约材料，重量 轻，结构轻便，应用广泛。 3.5 圆轴扭转时的强度条件 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变 模量分别为G1和G2，且G12G2。圆轴尺寸如图所示。 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面 上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D） 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？ 例例 题题 3 3 3.5 圆轴扭转时的强度条件 解： 圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形 成一个整体，同时产生扭转变形。因此，在里、外层交界处 二者具有相同的切应变。 3.5 圆轴扭转时的强度条件 剪切弹性模量（G12G2） 3.6 圆轴扭转时的变形及刚度条件 第3章
13、 扭转 1、受扭圆轴的相对扭转角 扭转时的变形 将上式沿轴线方向积分，得到长为 l一段杆两截面间 相对扭转角 为 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆 轴，轴两端面的相对扭转角为： 2、单位长度的相对扭转角 单位长度扭转角：能反映圆轴扭转变形的程度，即 扭转角的变化率。表达式为： 或 GIp 截面的扭转刚度， 反映了截面抵抗扭转变形的能力。 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 3、刚度条件 为了机械运动的稳定和工作精度。 或 单位长度上的许用相对扭转角。 精密机械的轴 (0.250.5) ()m； 一般传动轴 (0.51.0) ()m； 刚度要求不高
14、的轴 2 （）m。 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 刚度计算的三方面： （1）校核刚度： （2）设计截面尺寸： （3）计算许可载荷： 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 钢制空心圆轴的外直径D100 mm，内直径d50 mm。若要求轴在2m长度内的最大相对扭转角不超过1.5 ，材料的剪切弹性模量G80.4 GPa。 例 题 4 解：1确定轴所能承受的最大扭矩 根据刚度条件，有 求：1. 求该轴所能承受的最大扭矩； 2.确定此时轴横截面上的最大切应力。 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 解：1确定轴所能承受的最大扭矩 许用的单位长度上相对扭转角为 空心圆轴截面的极惯性矩 轴所能承受的最大扭
15、矩为 9.688103 N.m9.688 kN.m 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 2. 确定此时轴横截面上的最大切应力 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 500400 P1 P3P2 A C B 例 题 5 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 某传动轴设计要求转速n=500r/min，输入功率P1=500马 力，输出功率分别P2=200马力及P3=300马力,已知： G=80GPa， =70M Pa， =1/m。 求：1.AB段直径d1和BC段直径d2？ 2.若全轴选同一直径，应为多少？ 3.主动轮与从动轮如何安排合理？ 解：1.外力偶矩为： 500400 P1 P3P2 A C B Mx x 7.024 4.21 (kN.m) 扭矩图为： 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 由刚度条件得： x Mx 7.024 4.21 (kNm) 由强度条件得： 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 2.AB段直径d1和BC段直径d2 500400 P1 P3P2 A C B 综上 ： 3.全轴选同一直径时 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件 Mx x 4.21 (kNm) 2.814 3.6 圆杆扭转时的变形及刚度条件
