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1、主讲：刘倩 4 时间序列分解法和趋势外推法 4.1 时间序列分解法 4.2 趋势外推法概述 4.3 多项式曲线趋势外推法 4.4 指数曲线趋势外推法 4.5 生长曲线趋势外推法 4.6 曲线拟合优度分析 4.1 时间序列分解法 一、时间序列的分解 回本章目录 总变动（Y） 长期趋势（T） 反映了经济现象在一个较长时间 内的发展方向，它可以在一个相 当长的时间内表现为一种近似直 线的持续向上或持续向下或平稳 的趋势。季节变动（S） 同期变动（T）循环变动 不规则变动（I）随机变动 长期、方向单一 是经济现象受季节变动影响所形成 的一种长度和幅度固定的周期波动 。 周期长度、幅度固定 周期变动因素
2、也称 循环变动因素，它 是受各种经济因素 影响形成的上下起 伏不定的波动。 起伏不定的波动 不规则变动又称 随机变动，它是 受各种偶然因素 影响所形成的不 规则变动 随机 二、时间序列分解模型 时间序列y可以表示为以上四个因素的函数 ，即： 时间序列分解的方法有很多，较常用的模 型有加法模型和乘法模型。 回本章目录 加法模型 乘法模型 绝对数表示相对数表示 三、时间序列的分解方法 （1）运用移动平均法求得长期趋势和周期变化，得 到序列TC。然后，再用按月（季）平均法求出 季节指数S。 （2）作散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长 期趋势，得到长期趋势T。 回本章目录 注意：各月（季）的季节比
3、率之和应该等于1200%（ 400%），若同月（季）平均之和不等于1200%（ 400%），则需按如下公式修正： （3）计算周期因素C。用序列TC除以T，即可 得到周期变动因素C。 （4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余 的 即为不规则变动，即： 回本章目录 四、时间序列分解法的应用 由于不规则变动难以测定，因此时间序 列分解法的预测模型为： 模型预测 季节比率 主观判断 例：某商品销售额12年的季度数据（课本P62 ） 4.2 趋 势 外 推 法 概 述 一、趋势外推法的概念和假定条件 趋势外推法的概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下 降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个
4、合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以 用趋势外推法进行预测。 回本章目录 趋势外推法的两个假定： （1）假设事物的发展过程没有跳跃式变化； （2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展 ， 其条件是不变或变化不大。 回本章目录 二 、趋势模型的种类 （一）多项式曲线外推模型： 一次（线性）预测模型： 二次（二次抛物线）预测模型： 三次（三次抛物线）预测模型： 一般形式： 回本章目录 （二）指数曲线预测模型： 一般形式 ： 修正的指数曲线预测模型 ： 回本章目录 （三）对数曲线预测模型 （四）生长曲线趋势外推法 皮尔曲线预测模型 ： 龚珀兹曲线预测模型 ： 回本章目录 三、趋势模型的选择 （
5、一）图形识别法： 这种方法是通过绘制散点图进行的，即将 时间序列的数据绘制成以时间t为横轴、时序观 察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各 类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较 为合适的模型。 回本章目录 （二）差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到 平稳序列。 一阶向后差分可以表示为： 二阶向后差分可以表示为： 回本章目录 差分法识别标准： 差分特性使用模型 一阶阶差分相等或大致相等一次线线性模型 二阶阶差分相等或大致相等二次线线性模型 三阶阶差分相等或大致相等三次线线性模型 一阶阶差分比率相等或大致相等指数曲线线模型 一阶阶差分的一阶阶比率相等或大致相等修正指数曲线线模型
6、回本章目录 4.3 多 项 式 曲 线 趋 势 外 推 法 一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为： 回本章目录 设有一组统计数据 ， ， ，令 即： 解这个三元一次方程，就可求得参数 回本章目录 注：具体计算时，为简化计算过程，设置t时，可令 例 题 例 ：某商店某种产品的销售量资料 回本章目录 年份199920002001200220032004200520062007 销售量（万件 ） 10182530.535384039.538 （一）确定预测模型 销售量10182530.535384039.538 一阶差分875.54.532-0.5-1.5 二阶差分-1-1.5-
7、1-1.5-1-2.5-1 （二）估计参数 年份t销售量tyt2yt2t4 1999-410-4016016256 2000-318-54162981 2001-225-50100416 2002-130.5-30.530.511 20030350000 2004138383811 200524080160416 2006339.5118.5355.5981 200743815260816256 合计0274214161460708 （三）预测 2008 年的销售量 二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为： 回本章目录 设有一组统计数据 ， ， ，令 即： 解这个四元一次
8、方程，就可求得参数。 回本章目录 年份2001200220032004200520062007 棉布产量252340374379375385430 例：某市棉布产量历年数据 年份 200 1 200 2 200 3 200 4 200 5 200 6 200 7 棉布 产量252340374379375385430 一阶 差分88345-41045 二阶 差分-54-29-91435 三阶 差分25202321 （一）确定预测模型 年份t棉布产量tyt2yt3yt2t4t6 2001-3252-7562268-6804981729 2002-2340-6801360-272041664 200
9、3-1374-374374-374111 20040379000000 20051375375375375111 200623857701540308041664 200734301290387011610981729 合计0253562597875167281961588 （二）估计参数 （三）预测 2009年的棉布产量 4.4 指 数 曲 线 趋 势 外 推 法 一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为： 回本章目录 对函数模型 做线性变换，得： 令 ，则 这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。 回本章目录 例：某商品19992007年投入市场以来，社会总需求量统 计资料如下：试预测
10、2008年的社会需求量。 年份199920002001200220032004200520062007 总需求量16527045074012202010312054609000 （一）确定预测模型 年份199920002001200220032004200520062007 总需求量16527045074012202010312054609000 一阶差比率1.641.671.641.651.651.551.751.65 （二）估计参数 年份199920002001200220032004200520062007 t123456789 总需求 量165270450740122020103120
11、54609000 lny5.115.606.116.617.117.618.058.619.10 （三）预测 二、修正指数曲线模型及其应用 修正指数曲线预测模型为： 回本章目录 求解方法：将整个时间序列等分成三组，以三个组的变量总数联系起 来求导。 设各组序列项数为n项，第一组变量总和为 ，第二组变量总和为 ，第三组变量总和为 。 例：某商品1999-2007年的销售资料如下： 年份199920002001200220032004200520062007 销售量50606869.671.171.772.372.873.2 1.选择模型 年份199920002001200220032004200
12、520062007 销售 量50606869.671.171.772.372.873.2 一阶 差分1081.61.50.60.60.50.4 一阶差的 一阶比率0.80 0.20 0.94 0.40 1.00 0.83 0.80 2.求解模型参数 年份t销售量 1999050 2000160 2001268 y-178 2002369.6 2003471.1 2004571.7 y-212.4 2005672.3 2006772.8 2007873.2 y-218.3 3.预测 预测2008年的销售量 例 题 案例 下表是我国19521983年社会商品 零售总额（按当年价格计算），分析预测
13、我国社会商品零售总额 。 回本章目录 年份 时序 （t） 总额 （ yt ） 年份 时序 （t） 总额 （ yt ） 年份 时序 （t） 总额 （ yt ） 19521276.8196312604.51974231163.6 19532348.0196413638.21975241271.1 19543381.1196514670.31976251339.4 19554392.2196615732.81977261432.8 19565461.0196716770.51978271558.6 19576474.2196817737.31979281800.0 19587548.01969188
14、01.51980292140.0 19598638.0197019858.01981302350.0 19609696.9197120929.21982312570.0 196110607.71972211023.31983322849.4 196211604.01973221106.7 回本章目录 （1）对数据画折线图分析，以社会商品零售总额 为 y轴，年份为x轴。 回本章目录 （2）从图形中可以看出大致的曲线增长模式，较符 合 的模型有二次曲线和指数曲线模型。但无法确 定哪一个模型能更好地拟合该曲线，则我们将 分别对该两种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为： 适用的指数曲线模型为：
15、回本章目录 （3）进行二次曲线拟合。首先产生序列t2 ，然后 运用普通最小二乘法对模型各参数进行估计。得到 估计模型为： 其中调整的 ， ， 则方 程 通过显著性检验，拟合效果很好。标准误差为151.7 。 回本章目录 (4) 进行指数曲线模型拟合。对模型 ： 两边取对数： 产生序列 ，之后进行普通最小二乘估计该模型 。 最终得到估计模型为： 回本章目录 其中调整的 ， ,则方程通过显著性检验，拟合效果很好。标准 误差为：175.37。 （5）通过以上两次模型的拟合分析，我们发现采 用 二次曲线模型拟合的效果更好。因此，运用 方程： 进行预测，将会取得较好的效果。 回本章目录 4.5 生 长
16、曲 线 趋 势 外 推 法 一、龚珀兹曲线模型及其应用 龚珀兹曲线是美国统计学家和数学家龚珀兹首先 提出用于控制人口增长率的一种数学模型，后被广泛 用于耐用消费品的产品周期预测，特别适用于对处在 成熟期的商品进行预测，以掌握市场需求和销售的饱 和量。 龚珀兹曲线预测模型为： （k0） 其中，k、a、b为参数，t为时间。 回本章目录 参数估计：对函数模型 做线性变换，得： 可知，龚珀兹曲线的对数形式即为修正指 数曲线，根据修正指数曲线预测模型的特点， 可知龚珀兹曲线预测模型的特征：对数的一阶 差分的环比为一个常数。（适用条件） 因此，其参数求解方法同修正指数曲线参 数求解方法，即三段法。 回本章目录 回本章目录 模型的图形分析，对 求一、二阶导数有： 令 ，可求的拐点的位置为： 曲线过此点由向上凹
