《2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程 新人教a版选修1-1（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2 双 曲 线 2.2.1 双曲线及其标准方程 主题题1 双曲线线的定义义 1.取一条拉链链,拉开一部分,然后固定拉后的两边边,让让一 边长边长 另一边边短,用笔尖放在拉链处链处 ,随着拉链链拉开的过过 程,笔尖画出的是什么曲线线? 提示:是两支曲线,若左边短右边长,画出的是左支,若 右边短左边长,画出的是右支. 2.在画出双支曲线线(双曲线线)的过过程中有哪些不变变的量 ? 提示:两边的长度差不变,即动点到两定点的距离差不 变. 结论结论 :双曲线线的定义义: 平面内与两个定点F1,F2的_等于 _(小于|F1F2|)的点的轨轨迹叫做双曲线线, _叫做双曲线线的焦点,_叫做 双曲线线的焦
2、距. 距离的差的绝对值绝对值 非零常数 两个定点两焦点间间的距离 【微思考】 双曲线线的定义义中规规定“距离的差的绝对值绝对值 等于非零常 数(小于|F1F2|)”,若括号中条件不满满足,会是什么结结 果? 提示:若常数等于|F1F2|,则轨迹为以F1,F2为端点的两 条射线;若常数大于|F1F2|,则轨迹不存在. 主题题2 双曲线线的标标准方程 1.根据双曲线线的几何特征,如何建立坐标标系求双曲线线 的方程? 提示:选择x轴(或y轴)经过两个定点F1,F2,并且使坐标 原点为线段F1F2的中点,然后按求轨迹方程的直接法的 步骤,求出双曲线的方程. 2.若以两焦点F1,F2所在直线为线为 x轴
3、轴,以线线段F1F2的垂直 平分线线所在直线为线为 y轴轴建立坐标标系,则则此时时双曲线线上 任一点M满满足的条件是什么? 提示:根据双曲线的定义知满足条件|MF1|-|MF2| =2a(a为定长). 结论结论 :双曲线线的标标准方程 焦点在x轴轴上:_ (a0,b0) 焦点在y轴轴上: _ (a0,b0) a,b,c的关系:c2=_a2+b2 【微思考】 1.利用待定系数法求双曲线标线标 准方程的关键键是什么? 提示:确定参数a,b的值. 2.求双曲线线的标标准方程时时,设设双曲线线方程的关键键是什 么? 提示:关键是先确定焦点的位置,若双曲线的焦点位置 不能确定,要分别写出焦点在x轴、y轴
4、上的双曲线的标 准方程,不能遗漏. 【预习预习 自测测】 1.动动点P到点M(1,0),N(-1,0)的距离之差的绝对值为绝对值为 2,则则点P的轨轨迹是 ( ) A.双曲线线B.双曲线线的一支 C.两条射线线D.一条射线线 【解析】选C.因为|PM|-|PN|=2=|MN|, 所以点P的轨迹是两条射线. 2.若方程 表示焦点在y轴轴上的双曲线线, 则则m的取值值范围围是 ( ) A.10), 由题意得, 解得a2=5,b2=1,故所求双曲线方程为 类类型一 求双曲线线的标标准方程 【典例1】(1)(2017嘉兴兴高二检测检测 )已知双曲线线两个 焦点的坐标标分别为别为 F1(0,-5),F2
5、(0,5),双曲线线上一点P 到F1,F2的距离之差的绝对值绝对值 等于6.则则双曲线线的标标准方 程为为_. (2)动圆动圆 M与C:(x+2)2+y2=2内切,且过过点A(2,0),求圆圆 心M的轨轨迹方程. 【解题指南】(1)由题意知焦点在y轴上,设出标准方程 利用待定系数法求解. (2)利用两圆内切和圆过定点,可以得到点M满足的条件 ,进而判断符合双曲线的定义. 【解析】(1)因为双曲线的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为 =1(a0,b0). 因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5. 所以b2=52-32=16. 所以所求双曲线的标准方程为 答案: (2)设动圆M的半径为r,
6、因为C与M内切,点A在C外, 所以|MC|=r- ,|MA|=r,因此有|MA|-|MC|= ,所以 点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹 方程是 【延伸探究】本例(2)中条件改为动圆为动圆 M与 C1:(x+3)2+y2=9外切,且与C2:(x-3)2+y2=1内切,求 圆圆心M的轨轨迹方程. 【解析】设M的半径为r.因为M与C1外切,且M 与C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,因此|MC1|- |MC2|=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的 右支,所以M的轨迹方程是 =1(x2). 【方法总结总结 】 1.待定系数法求方程的步骤骤 (1)定型
7、:即确定双曲线线的焦点所在的坐标轴标轴 是x轴还轴还 是y轴轴. (2)设设方程:根据焦点位置设设出相应应的标标准方程的形式, 若不知道焦点的位置,则进则进 行讨论讨论 ,或设设双曲线线的方 程为为Ax2+By2=1(AB0,b0)共焦点的双曲线线的 标标准方程可设为设为 =1(-b20), 又双曲线经过点(0,2)与( ), 所以双曲线方程为 (2)因为焦点在x轴上,c= 所以设所求双曲线方程为 =1(其中00,所以-m20,t2-10,曲线C为椭圆; 当0t2-1,因而c2= a2-b2=t2-(t2-1)=1,所以焦点为F1(-1,0),F2(1,0). 当0|t|0.所以(k+1)(k-1)0.所以-1k1. 答案:-1k1 【课课堂小结结】 1.知识总结识总结 2.方法总结总结 双曲线线方程的求法 (1)待定系数法:即通过设过设 出标标准方程,然后依条件确定 待定的系数a,b的方法. (2)定义义法:即若动动点的几何特征适合双曲线线的定义义,求 出a,b代入标标准方程的方法.
