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1、大题专项突破四中的立体几何从近五年的高考试题来看立体几何解答题是高考的重点内容之一每年必考一般处在试卷第18题或者第19题上主要考查空间线线、线面、面面的平行与垂直及空间几何体的体积或侧面积试题以中档难度为主.着重考查推理论证能力和空间想象能力以及转化与化归思想几何体以四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等为主.1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理即证两直线同时和第三条直线平行利用平行四边形进行平行转换利用三角形的中位线定理证线线平行利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质勾股定理线面
2、垂直的性质:即要证两线垂直只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可即lala.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直需转化为证明线面垂直进而转化为证明线线垂直.3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体可直接利用公式计算.对于某些三棱锥有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时注意圆柱的轴截面是矩形圆锥的轴截面是等腰三角形圆台的轴截面是等腰梯形的应用.4.解决平面图形的翻折问题关
3、键是抓住平面图形翻折前后的不变性即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.题型一题型二题型三题型四题型五题型一平行关系的证明及求体积例1如图四棱锥P-ABCD中PA底面ABCDADBCAB=AD=AC=3PA=BC=4M为线段AD上一点AM=2MDN为PC的中点.(1)证明MN平面PAB(2)求四面体N-BCM的体积.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五解题心得1.证明平行关系首先考虑的方法是转化法.证明线面平行、面面平行可以转化为证明线线平行证明线线平行可以转化为证明线面平行或面面平行.若题目中已出现了中点可考虑在图形
4、中再取中点构成中位线进行证明.2.求几何体的体积也常用转化法如本例中求几何体的高和求几何体底面三角形的高.点N到底面的距离转化为点P到底面距离的一半点M到BC的距离转化为点A到BC的距离.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型二等积法求高或距离例2(2017河南洛阳一模文19)如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是菱形且DAB=60PA=PDM为CD的中点平面PAD平面ABCD.(1)求证:BDPM(2)若APD=90求点A到平面PBM的距离.题型一题型二题型三题型四题型五(1)证明取AD中点E连接PEEM
5、AC底面ABCD是菱形BDACEM分别是ADDC的中点EMACEMBD.PA=ADPEAD平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=ADPE平面ABCDPEBDEMPE=EBD平面PEMPM平面PEMBDPM.题型一题型二题型三题型四题型五解题心得求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置其体积相等的方法求解.题型一题型二题型三题型四题型五对点训练2(2017陕西渭南二模文19)已知在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形且AD=2AB=1PA平面ABCDEF分别是线段ABBC的中点.(1)证明:PFFD(2)若PA=1求点E到平面PFD的距离.题型一题型二题型三题
6、型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型三定义法求高或距离例3(2017全国文18改编)如图在四棱锥P-ABCD中ABCD且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD(2)若PA=PD=AB=DCAPD=90且四棱锥P-ABCD的体积为求该四棱锥的高及四棱锥的侧面积.题型一题型二题型三题型四题型五解(1)由已知BAP=CDP=90得ABAPCDPD.由于ABCD故ABPD从而AB平面PAD.又AB平面PAB所以平面PAB平面PAD.(2)在平面PAD内作PEAD垂足为E.题型一题型二题型三题型四题型五解题心得求几何体的高或点到面的距离经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或要求
7、的距离.其步骤为:一作、二证、三求.如何作出点到面的距离是关键一般的方法是利用辅助面法所作的辅助面一是要经过该点二是要与所求点到面的距离的面垂直这样在辅助面内过该点作交线的垂线点到垂足的距离即为点到面的距离.题型一题型二题型三题型四题型五对点训练3如图四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形PA平面ABCDE为PD的中点.(1)证明:PB平面AEC题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五题型四垂直关系的证明及求体积例4(2017北京文18)如图在三棱锥P-ABC中PAABPABCABBCPA=AB=BC=2D为线段AC的中点E为线段PC上一点.(1)求证:PABD(2)求证:
8、平面BDE平面PAC(3)当PA平面BDE时求三棱锥E-BCD的体积.题型一题型二题型三题型四题型五(1)证明因为PAABPABC所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC所以PABD.(2)证明因为AB=BCD为AC中点所以BDAC.由(1)知PABD所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.题型一题型二题型三题型四题型五解题心得从解题方法上讲由于线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化因此整个解题过程始终沿着线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化途径进行.题型一题型二题型三题型四题型五对点训练4(2017全国文19)如图四面体ABCD中ABC是正三角形AD=CD.(1)证明:ACBD(2
9、)已知ACD是直角三角形AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点且AEEC求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.题型一题型二题型三题型四题型五(1)证明取AC的中点O连接DOBO.因为AD=CD所以ACDO.又由于ABC是正三角形所以ACBO.从而AC平面DOB故ACBD.题型一题型二题型三题型四题型五(2)解连接EO.由(1)及题设知ADC=90所以DO=AO.在RtAOB中BO2+AO2=AB2.又AB=BD所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2故DOB=90.题型一题型二题型三题型四题型五题型五图形折叠后的垂直关系及求体积例5(2016全国文19)如图菱形ABCD的对角线A
10、C与BD交于点O点EF分别在ADCD上AE=CFEF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五解题心得平面图形经过翻折成为空间图形后原有的性质有的发生变化、有的没变.一般地在翻折后还在一个平面上的性质一般不发生变化不在同一个平面上的性质可能发生变化解决这类问题就是要根据这些变与不变去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值这是化解翻折问题的主要方法.题型一题型二题型三题型四题型五对点训练5(2017宁夏银川二模文19)如图1菱形ABCD的边长为12BAD=60AC交BD于点O.将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥B-ACD点MN分别是棱BCAD的中点且DM=.(1)求证:OD平面ABC(2)求三棱锥M-ABN的体积.题型一题型二题型三题型四题型五题型一题型二题型三题型四题型五
