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1、关键词：秩同调分解双角锥EckmannHilton对偶日丌对偶TheGroupsSX，AandTheirHomomophismsAbstractInthispaper，EckmannHiltondualitycanbeextremelyhelpfulasanorganizationalprinciple，andprovidingvaluablehintsonhowtoproceedinvarioussituationsWestudythedualitySX，Aof陋，Q捌1】1writtenbyMArkowitandCRCurjelWehaveanalogousexpressionsofthe
2、rankofthekernel，imageandfixedpointgroup，andgeneralizealittle，resultof2，3】-Keywords：rank，homologydecomposition，suspension，Eckmann-HiltondualityHrduality第二节第三节第四节第五节带系数的同伦群：8奇异同调伦10同调分解12有限秩群13第二章群SX，A及它们间的同态14参考文献19致谢212生秩凿子同及3与像jm广秩的计算表达式，和群【A，Qx秩的计算表达式p(N斛c(It，gt)=mp(N叫c(，卵)Xp(丌m(Qx)Eckmann84和Hilto
3、nPJ5首先引出C一复形上同调分解的概念及其理论其后，Brown和Copeland6，CurjelCRF，ToomerGH18等人在这方面做了进一步的研究，并将该方法用于同伦论的研究同调分解理论对偶于同伦论分解理论，即Postnikov体系史贻云2运用文献1】中使用的工具和同调分解这个空间分解工具，讨论了COH空间之间映射所构成的同伦群秩的问题，给出了群SX，Sy的子群SX，sY目的秩的表达式p(SX，sY日)=风(x)凤(y)在文献3中，史贻云对有限CO一日一复形上的同调分解(，)的继续讨论，着重考虑与若干球的一点触空间V：1S“t有关的同调分解问题，然后利用V：；。S”t上的同调分解，导出
4、群V：。S-ky的秩的一个表达式，即任取V：。S“t上的一个同伦结合的c0一H结构，都有p(V：。nky)=。o凤(V：，伊t)饥(y)本文主要工作是运用EckmannHilton对偶原理和日7r对偶原理9，讨论了A，gtX的对偶情况SX，A及其同态映射的秩的计算表达式。在对双角锥空间SX进行分解的时候，使用了Postnikov系统的对偶方法同调分解。在文献1，用到了Eilcnbcrg-Maclanc空间与上同调群的一个结论：3日“，G)竺X，K(G，n)】本文使用了关于Moore空间的Hr对偶的结论：(x，G)篁M(G，n)，X】有了这些准备，得到了同态映射fsx，A】_【SX，B】的核Ke
5、rr与像Imh秩的计算表达式，和群SX，A】秩的计算表达式下面是本文的主要结果定理设五，gi：A_B，iI，是一族连续映射其诱导两族同态映射厶，gi。：【SX，A】_SX，B和，9in：(A)_(B)用G(厶，9i。)表示SX，A】的一个子群，使得SX，A有厶(Q)=gi。(口)类似的定义(A)的一个子群C(，gin)则有P(Nt，c(五。，gi。)=mp(N斛C(五m，gim)XJD(Sx)推论p(sx，纠)=。p(rm(A)P(Hm(Sx)推论设由连续映射f：AJEi诱导同态映射fSX，州_SX，B】和厶：rn(A)_(B)则有p(Kerf)=。p(Kerfm)p(Hm(SX)；p(Imf
6、)=。p(Imfm)Xp(Hm(SX)4第一章预备知识第一节同伦群两个拓扑空间如果可以通过一系列连续的形变从一个变到另一个，那么就称这两个拓扑空间同伦具体定义如下：定义1设X和Y都是拓扑空间，和9是X到y的连续映射如果存在连续映射H：XI_y，使得对任何XX，有H(x，0)=，(z)，H(x，1)=夕(z)，则称，与9同伦，并称日是连接，和9的一个同伦这里I=0，1如果存在连续映射，：X_y和g：Y_X，使得g0，与恒同映射Id：X_X同伦，og与恒同映射Id：Y_y同伦，则称X与y同伦等价称，和g是同伦等价映射，夕是，的一个同伦逆对于点标拓扑空间(x，zo)，我们要求连续映射，：Xy保基点，
7、即，(zo)=Yo，和同伦映射H：XIy也保基点，既对tI，H(xo，t)=Yo我们用X，Xo；Yo表示保基点的同伦类集合定义2如果点标拓扑空间(K，)满足下面三个图表同伦交换，则称拓扑空间(K，)是日。群脚Kx心K卜K称映射肛：KXK_K为空间K的乘法，ko为同伦单位上图的交换性是指映射的同伦：p0(1，ko)竺1竺po(ko，1)如果映射p满足下面图表，则称映射“为同伦结合KxKKK皇丛KK囊上5其中表示对角线映射，(z)=(X，z)常值映射的同伦类是群的单位，群中元素门的逆为门-1=po门每个连续映射，：(X，X0)一(yYo)都诱导同态映射f+：KYo；K，ko_x，zo；K，】定义4
8、如果点标拓扑空间(K，)满足下面三个图表同伦交换，则称拓扑空间(K，)是coH一群脚KvK坠垃K称映射肛7：KKVK为空间K的上乘法，为同伦单位上图的交换性是指映射的同伦：(1，ko)0p7竺11(ko，1)op7如果映射p7满足下面图表，则称映射弘7为同伦结合。6lK映射：上图的交换性是指映射的同伦：(，1)op7型竺(1，)op7命题5115如果(K，)是有乘法肛7和同伦逆的coH一群，那么对任意点标拓扑空间(X，xo)，我们有集合【K，；x，zo具有群结构其群乘法I】M表示下列复合映射的同伦类KJLKVK錾XVXx其中7表示折叠映射，7(z，X0)=z=7(zo，z)常值映射的同伦类ko
9、是群的单位，门的逆为，_1=厂。川每个连续映射I：(X，Xo)_(珈)都诱导同态映射：K，ko；X，X0_K，；K珈】7K第二节带系数的同伦群在这一节里，我们对点标拓扑空间X和交换群G定义了带系数的同伦群仉(X；G)首先，当G是有限生成交换群时，我们定义了带系数同伦群以(X；G)基于事实，交换群G是它的有限生成子群的极限，这个定义适合任意交换群正如带系数同调群鼠(x；G)与一般同调群风(x；Z)的关系一样，带系数同伦群仉(x；G)与一般同伦群以(X)也有很强的联系定义1设F是有挠的有限生成自由交换群，令F=Horn(Ez)；设T是有限换群，令T=Hom(T，z)这样我们有Z+竺Z，其中z由恒等
10、映射lz：Z_z生成；(ZkZ)+型ZkZ，其中(zkZ)+由映射：Z_Z，v(1)=1k生成显然在F+髦F和r+竺T之间有一种不自然的同构映射引理2111设F是有限生成的自由交换群，T是有限交换群，则存在自然的同构映射F一(P)和F一(T。)推论31111F1和足是有限生成的自由交换群，乃和正是有限交换群，则有自然的同构映射和Hom(F1，易)_Hom(F；，矸)Horn(T1，T2)一Hom(T；，对)将，映射其对偶映射，+引理4111对于有限交换群T，存在自然的同构映射T+竺Ext(T，z)设G是有限生成交换群，P“(G)是满足下列性质的有限复形，豆2cP“cG，；z，=鼍i竺i：由万有
11、系数定理0一Ext(H(x；z)，G)一H“(x；G)_Horn(风(x；z)，Z)_0M(F+，礼)VM(T，佗一1)三P“(丁oF)限生成自由交换空间，则有下面定义6设X是点标拓扑空间，其第n个带群系数G的同伦群为从空间P”(G)到空间X的映射的点标同伦类(x；G)=P”(G)，矧事实上，如果G=Z整数加群时，我们有Pn(Z)=S”和丌竹；Z)=)(礼1)为一般同论群如果G=zkz，模k整数群，那么P(ZkZ)=尸n(七)=SnU七e”，通过度为k的映射把n维胞腔粘贴到n一1维球面而得的贴空间则当n2时，(x；ZkZ)都有定义由于P”(GoH)竺Pn(G)VP”(日)，我们有(x；GoH)
12、=(x；G)o(X；日)命题7111】当礼3时，集合(x；G)是群；当n4时，集合(x；G)是交换群命题811】如果y是co-H空间，x是日-空间，则y，珈；X，zo的两种运算相同，且是交换的和结合的命题9111】设x是结合的日空间，则当n2时，集合7r。(x；G)是群；当n3时，集合(X；G)足交换群9以ei记到X的一个映射口：A。_X定义3以x中全体g维奇异单形为基，生成一个自由交换群，记作岛(x)，称为x的g维奇异链群，其中的元素成为X的g维奇异链于是，奇异链是其一单形的整数线性组合：岛=七1“1+辟盯乒，kiZ，毋：A口一x定义4X中g维奇异单形盯：A口_X的边缘，定义为X中的如下g一
13、1维奇异链：a盯=a(盯o(e0e口)=塾o(-1)盯o(e0色eg)其中戴了“隐身帽”的色表示把ei略去作线性扩张，得到一个边缘算子岛：&(x)_岛一z)，岛(h以+辟)：=后1a畦+b嵋0维奇异链的边缘规定为0命题5114两次边缘为零，即&(x)=岛(x)，岛是链复形定义6链复形&(x)=_岛(x)，岛)称为x的奇异链复形链复形&(x)的同调群称为X的奇异同调群，记作风(x)：=风(&(x)空间x的奇异闭链、奇异边缘链、奇异同调类等等，就是指链复形&(x)的闭链、边缘链、同调类等等。定义7设厂：X_y是连续映射。它把X的每个奇异单形盯：A。_X映成y的一个奇异单形(盯)：=，。盯。通过线性
14、扩张，我们得到同态10写f岛，k0驴1E扣o、其中：岛(x)_z，对Co=klaI+o，(ot是X中的点)有E(c0)=h+定义11拓扑空间x的简约奇异同调群皿(x)=(x)定义为增广链复形的同调群，风(x)=风(&(x)定理12114】设f竺g：X_y是同伦的映射则!夕4：(x)_&(y)是链同伦的链映射因而诱导相同的同调同态=吼：风(X)_风(y)推论13114(同伦型不变性)设拓扑空间x和y有相同的同伦型X竺Y，则它们的同调群同构，即凰(X)垒皿(y)定理14114对于空间x的双角锥EX，有同构映射A。：Hq+1(rX)兰凰(x)定理1514(切除定理)设(x，A)是空间偶，子集WcA使
15、WCIntA则含入映射i：(X一彬Aw)_(x，A)诱导相对同调群的同构i。：风(X一彬AW)j风(墨A)升子复形序列1=0这样我是平凡的由此映射得到映射锥空间+1=UkCM(G。+l，n)(3)令X=U。设M=M(G。+1，n)，CM=MxIM0考虑偶对(K+1，)和(CM，M)的长正合序列：0一风+1(+1)一风+1(+l)JL风()巩(K+1)一0I竺，、卜风+l(CM，M)Hn(M)竺G1由同调论切除定理知风+l(+1，K)兰凰+1(CM，M)由CM是可缩的，我们有三k+1(CM，M)垒上k(M)由图表交换性和假设h他。是平凡的，我们有第一条正合序列的边界映射a为零，这样上乙+1(K+1)兰Gn+1定
