现代信号处理-现代谱.

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1、第七章 现代谱估计 n 7.2 ARMA模型 n 7.3 功率谱估计的AR模型法 n 7.1 引言 n 7.4 AR模型谱估计的性质 n 7.5 ARMA模型谱估计 n 7.6 特征分解法谱估计 7.1 引言 n1. 经典谱估计方法的缺点： n根据观察到的N个样本值来估计功率谱， 认为在这N个数据以外的数据为零，与实 际不符，因而导致了各种缺点。 n2. 现代谱估计方法的基本思想： 7.1 引言 n2. 现代谱估计方法的基本思想： n对平稳和遍历的随机过程采样得到的数据 不仅仅是一个样本，其中包含了数据之间 的相关性质 n通过提取这种相关性质，也就是先利用采 样数据建立随机过程的模型，对数据进

2、行 外推，进而提高功率谱估计的分辨率。 n通常称为参数模型法。 7.1 引言 n3. 平稳随机信号通过线性系统 h(n) 7.1 引言 n 平稳白噪声通过线性系统 将y(n)看成是白噪声通过一个线性系统的输 出，则只要得到系统的频率响应，就能够计 算出y(n)的频谱。 7.1 引言 n4. 线性系统 H(z) 7.1 引言 nMA（Moving Average） 系统： x(n-q- 1) x(n-q)x(n- q+1) x(n- 1) x(n)x(n+1 ) bqb1b0 bqb1b0 bqb1b0 7.1 引言 nAR （Auto Regressive）系统: nARMA系统: 7.2 A

3、RMA模型 n1. ARMA模型 n很多随机过程可以由或近似由均值为零、 方差为 的白噪声序列u(n)经过具有有 理传输函数H(z)的ARMA线性系统来得到 。称该随机过程为ARMA过程。 A(z)-1 B(z) 7.2 ARMA模型 n只要根据采样样本估计出ARMA模型的 参数 （ai与bi），即可求出 n2. ARMA模型的分类： np阶AR模型： ，记作AR(p)。 nq阶MA模型： ，记作MA(q)。 n普通的ARMA模型： ，记作ARMA(p,q)。 7.2 ARMA模型 n3. ARMA过程与有理式谱密度的关系 n任意平稳ARMA过程，其功率谱密度有 如下形式： n若一平稳过程x(

4、n)的功率谱密度形如： 则x(n)可用ARMA(p,q)模型描述，即 7.2 ARMA模型 n4. ARMA模型的系统特性 n稳定系统：有限输入有限输出。 冲击响应绝对值可和： 收敛域包含单位圆： n因果系统：0时刻以前的冲激响应为0，系 统是物理可实现的。 H(z)的收敛域在某个半径的圆外。 7.2 ARMA模型 n4. ARMA模型的系统特性 n可逆系统：系统的逆系统1/H(z)是因果稳 定的，即其零点均在单位圆内。 7.2 ARMA模型 n5. ARMA模型的Wold分解定理 n任何一个具有有限方差的ARMA或MA过 程都可用某一AR()过程唯一地描述。 n任何一个ARMA或AR过程都可

5、用某一 MA()过程唯一地描述。 7.2 ARMA模型 n5. ARMA模型的Wold分解定理 n说明： 实际应用中，若模型选择有误，仍可通 过使阶数足够大来进行合理近似； AR模型求解简单，可多选择AR模型进 行估计。 7.2 ARMA模型 n6. ARMA参数与自相关函数之间的关系 n自相关函数与系统冲激响应的关系 设系统为因果和最小相位系统，则 7.2 ARMA模型 n自相关函数与ARMA参数的关系 7.2 ARMA模型 当 时， ，因此 7.2 ARMA模型 n自相关函数与AR参数的关系 在ARMA模型中，令q=0可得 7.3 功率谱估计的AR模型法 n1. 基本概念 n问题：已知随机

6、序列x(n)符合AR(p)模型 ，即： 其中p为未知整数。现有x(0) x(1) x(N-1) 共N个样本，要求估计x(n)的功率谱密度 。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n1. 基本概念 n问题： 估计x(n)的功率谱密度。 n思路： 求模型阶数p； 求 求u(n)的方差 。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n2. Yule-Walker方程 n当阶数p已知时，利用x(n)的自相关函数 与AR模型参数的关系，可建立Y-W方程 ，解该方程，即可得到AR参数。 AR模型的Yule- Walker方程组 7.3 功率谱估计的AR模型法 令 n解Y-W方程的Levinson-Durbin递推法 请

7、参考“自适应格形滤波器”的有关内容 。 7.3 功率谱估计的AR模型法 nAR模型参数的可辨识性: 矩阵R的秩为p,因此Y-W方程有唯一解。 即AR模型的参数可由p个Yule-Walker方 程唯一确定。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n3. AR模型的阶数p n阶数p的影响 阶数太低：功率谱受到的平滑太厉害， 降低分辨率。 阶数太高：会产生许多虚假的谱峰或谱 的细节。 7.3 功率谱估计的AR模型法 nAR模型的拟合特性: AR模型相当于用一个p 阶预测器对信号 进行拟合,而白噪声u(n)相当于拟合误差。 阶数太低：不能体现信号之间的内在联 系； 阶数太高：会增加拟合误差，使模型表 现出数

8、据随机误差的性质。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n4. AR模型谱估计的性能 n均值： n方差： 7.3 功率谱估计的AR模型法 n5. 确定AR模型阶数的几种方法 n实验方法：观察拟合误差法 算出取各种模型阶数时的白噪声方差2， 以能使2值显著减小的模型阶数的最大值 作为选定的结果。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n信息量准则法：（利用拟合噪声方差随阶 数增加而减小以及谱估计方差随阶数增加 而增大的特点） 定义拟合噪声方差： i) 最终预测误差（FPE）准则： 7.3 功率谱估计的AR模型法 ii) Akaike信息准则（AIC）： ，其中N为数据 长度。 iii) BIC准则： 7.

9、3 功率谱估计的AR模型法 iv)最小长度准则（MDL） v) 自回归传递函数准则（CAT） 7.3 功率谱估计的AR模型法 说明： 当数据长度N较小时，方法iv均不理想 ； 在处理实际数据时，各种方法的效果差 别不大； 试验表明，对于短数据，模型阶数选在 N/2到N/3之间效果较好。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n线性代数法： 奇异值分解法 行列式检验法 Gram-Schmidt正交法 7.3 功率谱估计的AR模型法 n6. AR模型定阶的奇异值分解法 n奇异值分解： 对于一个MN矩阵A，存在一个MM酉 阵U和NN酉阵V，使得A可分解为 其中 为MN对角矩阵，其主对角线上 元素非 负，且

10、 称 为矩阵A的奇异值。 不为0的奇异值的个数等于A的秩。 7.3 功率谱估计的AR模型法 n奇异值分解确定 AR阶数 利用R(m)构造 矩阵： Re为R的扩展，它的秩为p。因此Re有p个 主要的奇异值，其余的都十分接近于零。 可以用Re的主要奇异值的个数来确定 AR阶数p。 7.4 AR模型谱估计的性质 n1. 性质1:AR模型谱估计等效于最大熵谱估 计 n最大熵谱估计问题的提出 经典谱估计方法具有分辨率低和旁瓣“ 泄漏”的问题，其根本原因是自相关函 数加窗。为克服这些问题必须对自相关 函数进行外推。 7.4 AR模型谱估计的性质 n最大熵谱估计问题的提出 Burg于1967年提出以最大熵作

11、为自相 关函数外推的准则，其合理性在于这样 对自相关函数的约束最少，因而时间序 列的随机性最大，功率谱最光滑（相当 于光滑性约束）。 7.4 AR模型谱估计的性质 n最大熵谱估计原理 熵率的定义： N维随机向量x的概率密度为p(x)，则其 熵率定义为： 功率谱密度 的熵定义(高斯信号)： x 越随机、概率 分布越均匀，其 熵率越大。 7.4 AR模型谱估计的性质 最大熵谱估计问题的定义： 在约束 的条件下，即在 时自相关 函数与观测值一致的条件下，外推自相关 函数，使 最大。 7.4 AR模型谱估计的性质 n最大熵谱估计的求解方法 令 7.4 AR模型谱估计的性质 7.4 AR模型谱估计的性质

12、 n说明： 最大熵谱估计是由功率谱的熵针对未知 自相关函数求导来得到，它恰好满足 AR模型。 对自相关函数依使谱熵最大的准则进行 外推后得到的谱实际上就是把信号看作 服从AR模型所得到的谱。反之，当把 信号看成服从AR模型，也相当于对自 相关函数依谱熵最大准则进行外推。 7.4 AR模型谱估计的性质 n说明： 已知的自相关函数值可用来求得AR模 型的参数。 7.4 AR模型谱估计的性质 n2. 性质2:AR谱估计隐含了对自相关函数的 外推 n已经知道自相关与AR模型参数的关系为 设R(0), R(1),R (p)已知，则 7.4 AR模型谱估计的性质 n说明： AR谱估计相当于将有限个自关函数

13、值 按照Y-W方程进行外推后进行付氏变换 得到的结果； 由该方法将自相关函数进行了外推，克 服了经典谱估计方法加窗导致分辨率低 和旁瓣泄露的问题。 7.4 AR模型谱估计的性质 AR模型谱估计与周期图比较示例 周期图估 计频谱 AR模型估 计频谱 7.4 AR模型谱估计的性质 n3. 性质3: AR谱估计与线性预测谱估计等效 n线性预测谱估计：求最小均方误差意义下 针对随机序列x(n)的p阶预测器 7.4 AR模型谱估计的性质 n3. 性质3: AR谱估计与线性预测谱估计等效 与Y-W方程 组相同 AR谱估计相当于:用随机序列前p个时刻的值在MMSE准 则下预测（外推）当前值，依次外推出未知序

14、列后再进行 谱估计。 7.4 AR模型谱估计的性质 n说明： 匹配问题 A(z)-1 A(z) 7.4 AR模型谱估计的性质 匹配问题 功率谱匹配 自相关匹配 7.4 AR模型谱估计的性质 匹配问题 能否时域匹配? 基于自相关函数的AR模型谱估计只 能做到 功率谱匹配 自相关匹配 7.4 AR模型谱估计的性质 n4. 影响AR谱估计性能的因素 n噪声 若存在观测白噪声v(n)，受干扰的AR过 程变为 y(n)符合 ARMA(p,p)模型 7.4 AR模型谱估计的性质 n噪声 不仅有极点，而且有零点。 当 时，零点与原来的极点抵消， 产生非常平滑的谱，导致分辨率下降。 7.4 AR模型谱估计的性

15、质 n自相关函数的计算误差 理想情况下，应有 事实上由于估计误差，可能造成 即估计的谱中多出N-p个额外的极点。 若其中有靠近单位圆的极点，则会形成 虚假的谱峰。 7.4 AR模型谱估计的性质 n克服噪声对AR谱估计的影响 i) 对数据滤波，减小噪声； ii) 采用高阶AR模型 ARMA(p,q)模型可由AR()描述。因 此，随着AR模型阶数的增加，估计 结果趋于y(n)的真实谱； 考虑到自相关计算的误差，AR模型 的阶数一般不超过数据长度的一半 。 iii) 采用ARMA(p,p)模型。 7.4 AR模型谱估计的性质 n5. 自相关法 n求使在观测数据范围内前向预测误差功率 最小的模型参数

16、7.4 AR模型谱估计的性质 n5. 自相关法 n设在n=N范围内，x(n)=0 7.4 AR模型谱估计的性质 n5. 自相关法 n自相关法的求解式与Y-W方程组形式一 致 7.4 AR模型谱估计的性质 n6. 协方差法 n避免假设在n=N范围内，x(n)=0 7.4 AR模型谱估计的性质 n6. 协方差法 7.4 AR模型谱估计的性质 n6. 协方差法 n该方程组不能用Levinson算法求解 7.4 AR模型谱估计的性质 n7. 修正协方差法 n联合前向预测和后向预测 7.4 AR模型谱估计的性质 n7.修正协方差法 7.4 AR模型谱估计的性质 n7. 修正协方差法 n该方法用于计算自相