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1、2010年福建省高考理科数学试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)开始s=0i=1a=i2is=s+ai=i+1s11?输出i结束是否1计算的结果等于：ABCD2以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为：ABCD3设等差数列前项和为 .若，,则当取最小值时，等于：A6B7C8D94函数的零点个数为：A0B1C2D35阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的值等于：A2B3C4D56如图，若是长方体被平面截去几何体后得到的几何体，其中为线段上异于的点，为线段上异于的点，且，则下列结论中不正确的是：AB四边形是矩
2、形C是棱柱D是棱台7若点和点分别为双曲线()的中心和左焦点，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为：A, )B, )C, )D, )8设不等式组所表示的平面区域是，平面区域与关于直线对称.对于中的任意点与中的任意点，的最小值等于：AB4CD29对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于：A1B-1C0D10对于具有相同定义域的函数和，若存在函数(为常数)，对任给的正数，存在相应的，使得当且时，总有则称直线为曲线与的“分渐近线”.给出定义域均为D=的四组函数如下：，； ，;,; ，其中，曲线与存在“分渐近线”的是：ABCD111二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，共20分.
3、把答案填在答题卡的相应位置.)11在等比数列中，若公比，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式_.12若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其表面积等于_.13某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_.14已知函数 ()和的图像的对称轴完全相同.若，则的取值范围是_.15已知定义域为(0，+)的函数满足：(1)对任意(0, +),恒有成立；(2)当(1,2时，.给出结论如下：对任意,有；函数的值域
4、为0，+);存在,使得;“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在,使得”其中所有正确结论的序号是_.三、解答题：(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)16(本小题满分13分)设是不等式的解集，整数.()记“使得成立的有序数组”为事件A，试列举A包含的基本事件；()设,求的分布列及其数学期望.17(本小题满分13分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点.()求椭圆C的方程；()是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.18(本小题满分13分)如图
5、，圆柱内有一个三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是的直径.()证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；()设AB=AA1.在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A1B1C1内的概率为P.(i) 当点C在圆周上运动时，求P的最大值；(ii)记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为.当P取最大值时，求的值.19(本小题满分13分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经
6、过小时与轮船相遇.()若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？()假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.20(本小题满分14分)()已知函数,其图像记为曲线C(i) 求函数的单调区间；(ii)证明：若对于任意非零实数,曲线C与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段，与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值；()对于一般的三次函数,请给出类似于()(ii)的正确命题，并予以证明.21(本小题满分14分)(1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵
7、与变换已知矩阵，.()求实数的值；()求直线在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程.(2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)，在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为.()求圆C的直角坐标方程；()设圆C与直线交于点A,B.若点P的坐标为，求PA+PB.(3)(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲已知函数()若不等式的解集为，求实数的值；()在()的条件下，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围.2010年福建省高考理科数学试题参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题5
8、分，满分50分.1A 2D 3A 4C 5C 6D 7B 8B 9B 10C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分20分.11 12 13 14 15三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16解：(I)由得，即 由于，且，所以A包含的基本事件为： ，(II)由于的所有不同取值为-2，-1,0,1,2,3，所以的所有不同取值为0,1,4,9，且有，故的分布列为：0149P所以17(I)依题意，可设椭圆C的方程为(ab0)，且有：， 解得或(舍去).从而椭圆C的方程为 (II)假设存在符合题意的直线，其方程为由直线OA与的距离可得，从而.
9、由 与得，这说明直线与椭圆C无公共点所以符合题意的直线不存在.18(I)平面，平面， 是圆O的直径， 又， 平面而平面，所以平面平面.(II)(i)设圆柱的底面半径为r，则 故三棱柱的体积 又 当且仅当时等号成立.从而，而圆柱的体积，故，当且仅当，即时等号成立.所以，的最大值等于(ii)由(i)可知，取最大值时，于是，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图)，则，平面，是平面的一个法向量设平面的法向量，由得故取，得平面的一个法向量为， 19(I)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向. 设小艇与轮船在C处相遇. 在中， 又， 此时，轮船航行时间， 即，
10、小艇以海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. (II)设小艇与轮船在B处相遇，则 故 ， 即，解得 又时， 故时，取最小值，且最小值等于 此时，在中，有，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.20()(i)有得当(,)和(，)时，;当(，)时，.因此，的单调递增区间为(,)和(，)，单调递减区间为(，).()曲线C在点P1处的切线方程为即由得即,解得或,故进而有用代替,重复上述计算过程，可得和.又，所以,因此有. () 记函数的图像为曲线C，类似于()(ii)的正确命题为：若对于任意不等于的实数,曲线C与其在点处的切线交于另一
11、点,曲线C与其在点P2处的切线交于另一点，线段、与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为、，则为定值.证明如下：由得，所以曲线C在点处的切线方程为由得解得或,故故用代替，重复上述计算过程，可得和.又所以故21(1)选修4-2：矩阵与变换 ()由题设得：，则 ()设直线y=3x上的任意点在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点，由得，即点必在直线上.由的任意性可知，直线在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为.(2)选修4-4：坐标系与参数方程 ()由，得即. ()将的参数方程供稿圆C的直角坐标方程，得，即.由于，故可设是上述方程的两实根，且，又直线过点故由上式及的几何意义得 (3)选修4-5：不等式选讲 ()由得解得. 又已知不等式的解集为，所以解得 ()当时，设 由 (当且仅当时等号成立)得， 的最小值为5从而，若即对一切实数恒成立，则的取值范围为(-，5- 8 -
