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1、1 第六节 曲面及其方程 一、曲面方程的概念 三、旋转曲面 二、柱面 四、二次曲面 2 水桶的表面、 曲面方程的定义 曲面的实例 (1)曲面S上任一点的坐标都满足方程; (2) 满足方程的三元数组(x,y,z)所对应的点都 如果曲面S 有下述关系: 那么, 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形. 一、曲面方程的概念 台灯的罩子面等. 与三元方程 在曲面S上; 3 解 所求方程为 球心在原点的球面方程 例1 特殊 是球面上任一点, 4 研究空间曲面有 (2)已知曲面, (1)已知方程, 两个基本问题 (讨论旋转曲面) (讨论柱面, 二次曲面) 求方程; 研究图形. 5 定义 二、柱面
2、空间中一直线L沿着一条定曲线C平行 这条定曲线C 称为柱面的 动直线L称为柱面的 准线, 母线. 所产生的轨迹称为移动时柱面. 准线 母线 6 因此,该方程的图形是以xOy面上以圆为准 线, 例2 讨论方程 在xOy面上, 解 现在空间直角坐标系中讨论问题. 母线平行于z轴的柱面. 表一个圆C. 过点 作平行z轴的直线L, 设点 在圆C上, 对任意z,点 的坐标也满足方程沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点 的坐标都满足此方程, 在空间,就是圆柱面方程. 此曲面称为圆柱面. 的图形. 7 平面 表示母线平行于z 表示母线平行于z轴 抛物柱面 柱面举例 其准线是xOy面 上的抛物线
3、 轴的柱面, 的柱面,其准线是xOy面上 的直线 8 从柱面方程看柱面的特征： （其他类推） 实 例 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面 直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面, 在空间 为xOy面上的曲线C. 其准线 母线平行于x轴 母线平行于z轴 母线平行于y轴 9 三、旋转曲面 定义 绕其平面上的一条直线 这条定直线叫旋转曲面的轴. 此曲线称 称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面, 母线. 为方便, 平面取作坐标面, 旋转轴取 作坐标轴. 常把曲线所在 以一条平面曲线 母线 轴 10 旋转过程中的特征： 如图 将 得方程 代入 11 旋转曲面方程.旋转一周的 即为 同理, 旋转曲面方程为旋转一周的
4、绕z轴 绕y轴 12 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 : 而用另两个变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可. 13 解 圆锥面方程 所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为 圆锥面的顶点, 例3 两直线的夹角 圆锥面的半顶角. 称为 试建立顶点在坐标原点O,旋 半顶角为 的圆锥面的方程.转轴为z轴, 面上直线方程为 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 14 圆锥面方程 即 圆锥面方程(用得较多) 绕y轴旋转所得曲面方程及图形. 即 面上直线方程为 15 将下列各曲线绕对应的
5、轴旋转一周,求生成 的旋转曲面的方程. 旋转双曲面 例4 双曲线(1) 分别绕x轴和z轴; 绕x轴旋转 绕z轴旋转 16 旋转椭球面 旋转抛物面 (2)绕y轴和z轴; (3)绕z轴. 17 选择题 B 方程 (A) xOz平面上曲线 绕y轴旋转所得曲面; (B) xOz平面上直线 绕z轴旋转所得曲面； (C) yOz平面上直线 绕y轴旋转所得曲面； (D) yOz平面上曲线 绕x轴旋转所得曲面. 表示( ). 18 四、二次曲面 1. 二次曲面的定义 相应地平面被称为 三元二次方程所表示的曲面称为 球面、 二次曲面. 如: 双曲柱面等) 某些柱面(圆柱面、抛物柱面、 一次曲面. 都是二次曲面.
6、 19 现只研究几种常见的二次曲面的标准方程. 或 称为二次曲面的标准方程. 20 研究的方法是采用截痕法. 以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面. 从而了解曲面 即用坐标面和 平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线 (即截痕)的形状,然后加以综合, 的全貌. 21 2. 椭球面 由方程可知 即 这说明椭球面包含在由平面 围成的长方体内. 22 先考虑椭球面与三个坐标面的截痕： 去截这个曲面,所得截痕的方程是 这些截痕都是椭圆. 再用平行于xOy面的平面 这些截痕也都是椭圆. 23 椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化. 与平面 椭圆. 同理, 的截痕也是 24 椭球面的几种特殊情况:
7、旋转椭球面 由椭圆 旋转椭球面与椭球面的区别： 方程可写为 与平面 绕z轴旋转而成. 的交线为圆. 25 球面 截面上圆的方程 方程可写为 26 3. 抛物面 （ 与 同号）椭圆抛物面 用截痕法讨论： 用平面 设 原点叫做椭圆抛物面的 去截这曲面, 顶点. (1) 截痕为原点. 用平面去截这曲面,截痕为椭圆. 截痕退缩为原点;截痕不存在. 27 用坐标面 截痕为抛物线. (2) 去截这曲面, 用平面 它的轴平行于 轴 顶点 去截这曲面, 截痕为抛物线. 28 用坐标面 同理当 (3) 时可类似讨论. 去截这曲面, 及平面 截痕为抛物线. 椭圆抛物面的图形如下 ： 29 旋转抛物面 (由 面上的
8、抛物线 用平面 当 变动时，这种圆 的中心都在 轴上. 特殊地方程变为 而成的 ) 去截这曲面,截痕为圆. 绕z轴旋转 30 （ 与 同号）双曲抛物面 用截痕法讨论：设图形如下： 有两个异号的平方项,另一变量 方程 z = xy表示 什么曲面？ 马鞍面 特点是: 是一次项, 无常数项. (马鞍面) 31 4. 双曲面 单叶双曲面 特点是: 平方项有一个取负号,另两个取正号. 炼油厂、炼焦厂的冷却塔就是单叶双曲面 的形状. 32 类似地, 亦表示 想一想 单叶双曲面 单叶双曲面. 方程 以上两方程的图形是与此图形 一样吗? 33 双叶双曲面 或 特点是:平方项有一个取 正号,另两个取负号. 它分
9、成上、下两个曲面.注 34 类似地, 或 亦表示 双叶双曲面 或 方程 双叶双曲面. 35 方程 表示( ) (A) 双曲柱面; (D) 锥面. (C)双叶双曲面; (B)旋转双曲面; B 椭圆抛物面 双曲抛物面(马鞍面 ） 填空 设有曲面方程 则方程表示的曲面为 方程表示的曲面为 选择 36 双叶双曲面, 它的对称轴在 轴上. y 椭圆锥 37 截痕法; (熟知这几个常见曲面的特性) 椭球面、抛物面、双曲面. 曲面方程的概念 旋转曲面的概念(轴、母线)及求法; 柱面的概念(母线、准线); 五、小结 38 思考题 分别绕y轴和z轴旋转一周, 写出所得旋转面的 方程. 将yOz轴坐标面上的曲线 解 绕y轴旋转. 或 绕z轴旋转. 或 39 曲面的参数方程为 凡三元方程都表示空间一曲面 是一个三元方程, 注 但不表示任何曲面. 错,如
