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1、 2011-2012 学年第一学期线性代数期终考试试卷（A 卷）-1 同济大学课程考核试卷（A 卷） 20112012 学年第一学期 命题教师签名： 审核教师签名： 课号：122010 课名：线性代数 B 考试考查：考试 此卷选为：期中考试( )、期终考试( )、重考( )试卷 年级 专业 学号 姓名 任课教师 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 （注意：本试卷共八大题，三大张，满分 100 分考试时间为 120 分钟。除第一大题直接填写结果外，其余各大题均要求写出解题 过程，否则不予计分） （注意：本试卷共八大题，三大张，满分 100 分考试时间为 120 分钟。除第一大题直接
2、填写结果外，其余各大题均要求写出解题 过程，否则不予计分） 一、填空选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1、 设三阶矩阵(),A =，(),34 ,916B =+. 若| 3A =，则 |B = . 2、 全体 3 阶实对称阵在矩阵的加法和数乘下构成的线性空间的维数为 . 3、 已知三阶矩阵A满足| |2| |3| 0AEAEAE=，则|AE+= 4、 二次型 222 fxyzaxy= +是负定二次型,则a的取值范围是 . 5、 设,A B均为 2 阶矩阵， * ,A B分别为,A B的伴随矩阵. 若2,3AB=，则分块矩阵 AO OB 的伴随矩 阵为 ( ) （A） * * 2 3 AO
3、 OB . （B） * * 3 2 AO OB . （C） * * 3 2 OA BO 6、 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵. 若 2 2AAO+=，则下列说法正确的是（ ） （A）矩阵EA必可逆 （B）矩阵2AE+必可逆 （C）矩阵A必可逆 7、 已知非零矩阵,A B满足ABO=，则下列说法正确的是（ ） （A） 矩阵A的行向量组一定线性无关 （B） 矩阵B的行向量组一定线性无关 （C） 矩阵B的行向量组一定线性相关 8、 已知向量组 123 , 线性无关,则向量组( ) （A） 122331 , +线性无关 （B） 122331 , 线性无关 （C） 122331 , +线性无关 9
4、、 设n阶矩阵A的伴随矩阵, 0 * A 若 12 , 是非齐次线性方程组bAx =的互不相等的解， 则对应的齐次线 性方程组0=Ax的解空间的维数为（ ） （A） 1 （B）2 （C） 3 10、 设T是线性空间V中的线性变换， 12 , s ?是V中的元素，则下列说法正确的是（ ） （A）若 12 , s ?线性无关，则 12 (), (), () s TTT?也线性无关 （B）若 12 , s ?线性相关，则 12 (), (), () s TTT?也线性相关 （C）若 12 (), (), () s TTT?线性相关，则 12 , s ?也线性相关 二、（10 分）设ABABO+=,其
5、中 220 420 001 A = ,求矩阵B. 解： 2011-2012 学年第一学期线性代数期终考试试卷（A 卷）-2 三、（10 分）设 3 阶对称阵 A 的 3 个特征值为 1，2，2. 求： 102101100 32AAA+. 解： 四、（10 分）设A为 2 阶矩阵， 12 , 为线性无关的 2 维列向量， 1212 0,2AA=+，求A的全部特征 值. 解： 五、（12 分）设二次型 121323 222fx xx xx x= + （1） 写出二次型f的矩阵； （2） 求一个正交变换,xPy=把f化为标准形. 解： 2011-2012 学年第一学期线性代数期终考试试卷（A 卷）-
6、3 六、（12 分）设 3 P x是次数不超过 3 的全体多项式构成的线性空间. 对于任意 3 ( ) f xP x,变换T定义为: ( ( )(1)( )T f xf xf x=+. (1) 证明变换T是 3 P x中的线性变换； （2）求线性变换T在 3 P x的下述基下的矩阵： 23 0123 ( )1,( ),( ),( )fxf xx fxxfxx=. 七、（8 分） 设 2 阶方阵 A= 12 0a . 试证：A 可相似于对角阵的充分必要条件是1a . 八、（8 分）设mn矩阵C为行满秩，即( )R Cm=，试证： （1） 对任意m维列向量d，线性方程组Cyd=总有解; （2） 设(1)mn+矩阵 C A = ，1m+维列向量(0,0,.,0,1)Tb=，则线性方程组 Axb=有解的充分必要条件是 ( )1R Am=+.
