气体分子热运动的统计规律.

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1、气体分子动理论 本章内容 Contents chapter 7 气体压强与温度的统计意义 平衡态 概率 统计平均值 equilibrium state , probability, statical mean quantity statical meanning of gas pressure and temperature 玻耳兹曼分布律 Boltzmann distribution 麦克斯韦速率分布律 maxwell speed distribution 气体分子的平均自由程 mean free path of gas molecular 平衡态 现在人类可以用仪器观察和操纵原子 平衡态

2、经典力学一般方法处理质点系的困难 体系庞大，解太多的牛顿方程 分子间的相互作用 平衡态 一气体系统若不受外界影响（无物质 和能量交换）或只受恒定的外力场作用 的条件下，气体系统的宏观特性（如温 度、压强等）长时间不随时间改变的状 态称为平衡态。 处于平衡态中的气体，其分子仍不停 作热运动，但其总体平均效果不随时间 改变，是一种动态平衡。 平衡态 概率 统计平均值 物态参量 不受（或忽略）恒定外力场作用时， 平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的 ；只受恒定外力场作用时，平衡态气体 的密度并不均匀。但这两种情况下气体 的宏观性质都不随时间变化。 本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用 外，均忽略恒

3、定外力场的作用。 描述平衡态的参量称为物态参量或态 参量。如体积、压强、温度等。 微观与宏观量 描述单个分子特征的量（大小、质量和速度等） 。 气体的微观量 单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。 气体的宏观量 表征大量分子宏观特征的量（体积、压强和温度等） 。 大量分子运动的集体表现具有统计规律性。 气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现 热现象与物质的分子运动密切相关。大量 分子的无规则运动称为分子的热运动。 物态方程 物态参量之间所满足的关系式称为物态方程 理想气体的物态方程 ： 1标准大气压（1atm)=1.103 10 Pa 热力学温度=（摄氏温度t +273.15) 注 8.31

4、 气体的压强 单位： 帕 气体的体积单位： 立方米 气体的热力学温度单位： 开 气体的质量单位： 千克 气体的摩尔质量单位 ： J mol K 气体常数 摩尔mol千克 续上 理想气体的物态方程 ： 对一定量(mol)的气体 三者只要给定 两个就确定了一个平衡态 图中的一点 代表一个平衡态 若气体受外界影响，某平衡态被 破坏，变为非平衡态。物态随时间 而变化称为过程。 图不能表示非平衡态，也不能表示这种非 平衡情况下的动态变化过程。 准静态过程准 静 态 过 程 若经历非平衡过程后可以 过渡到一个新的平衡态，此 过程称为弛豫，所需时间称 为弛豫时间。 若过程进行得充分缓慢， 使过程中的某一状态

5、到相邻 状态的时间比弛豫时间大得 多，则每一中间态都可近似 地看作平衡态。这样的过程 称为准静态过程。 准静态过程 平衡态 平衡态 图中的过程曲线， 都是准静态过程曲线。 概率概率 统计平均值 概率 在所有可能发生的事件中，某种事件发生可能性 （或相对机会）的大小。 某事件X 出现的概率 事件X出现的次数 试验总次数 在很多次的试验中 概率定义式 若可能事件有 种 则 种可能事件发生的总次数 试验总次数 各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。 归一化条件 概率密度函数 等概率假设 在气体动理论中经常用到一些等概率假设，如假设处于 平衡态的气体，每个分子出现在容器内任何一点处的概率

6、 相等；每个分子朝各个方向运动的概率相等（如在直角坐 标中，分子速度的三个分量的各种统计平均值相等）等。 事件出现在 内的概率 与 的位置和 的大小有关 称概率密度或概率密度函数 在 附近单位间 隔内出现的概率 若表示事X的量 可连续变化（例如在某些随机因素影响 下，多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化）。 概率密度函数 若函数的形式已知 则 概率的基本运算 互斥事件和独立事件 概率相加 概率相乘 统计平均值 对某量 进行 次测量， 测量值出现次数 测量值乘以出现次数 的统计平均值 若 值可连续变化 则 连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。 气体微观模型气体的压强与温度的统计

7、意义 一、理想气体的微观模型 气体分子的大小与分子间的平均距离相 比可以忽略。 分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。 碰撞视为完全弹性碰撞。 这是由气体的共性抽象出来的一个理想 模型。在压力不太大、温度不太低时，与 实际情况符合得很好。 理想气体压强二、理想气体的压强公式 宏观：器壁单位面积所受的压力 微观：大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力 标准状态下 气体的分子数密度 的数量级为 个 亦即个 其数量之多已 能很好满足微 观统计的要求 要考虑分子速度 （大小及方向） 不同的因素 对各种不同速 度间隔的分子 碰壁冲量求和 考虑单位时间作 用在单位面积上 的冲量就是压强 运用统计平均

8、 值及平衡态概 念得到压强与 微观量的关系 推导思路 压强公式推导容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态 射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射 （不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化） 速度为 的某分子弹碰中的动量变化为 反X向 在 时间内，入射分子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 的 分子，都能碰撞器壁一次。 其 光 滑 器 壁 若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 续上 容器盛同种气体，分子质量 ，居平衡态 射向器壁面元 的某分子束碰壁后反射 （不与法向平行的速度分量，其相应的动量无变化） 速度为 的某分子弹碰中的动量变化为 反X向 在 时间内，入射分

9、子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 的分子，都能碰撞器壁一次。 其 光 滑 器 壁 若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子 求和，其总动量变化为 （负射向分量 ） 此式包含和 因平衡态中两者各占一半，故 的分子才能与 相碰。的分子。只有 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 续上 光 滑 器 壁 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子

10、 求和，其总动量变化为 （负射向分量 ） 此式包含和 因平衡态中两者各占一半，故 的分子才能与 相碰 。 的分子。只有 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 容器中气 体总体的分 子数密度 的统计平均值 得 应用动量定理，分子受器壁 作用的平均冲力为 壁对气 器壁 受气体分子作用的平均冲力 壁对气气对壁 续上 光 滑 器 壁 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 容器中气 体总体的分 子数密度 的统计平均值 得 应用动量定理 ， 分子受器壁 作用的平均冲力为 壁对气 器壁 受气体分子作用的平均冲力 壁对气气对壁 器壁 受气体分子作用的平均冲力 壁对气气对壁 由于

11、分子向 X、Y、Z方向运动概率相等 又因 则 可推知 得 气对壁 定义气体分子的平均平动动能为大量 气对壁 理想气体的压强公式 由此推得： 压强统计意义三、理想气体压强的统计意义 定义气体分子的平均平动动能为大量 气对壁 理想气体的压强公式 气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力，由微观量的统计平均值 和 决定。 理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律， 并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。 注 ： 推导过程中的 和在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小 和作用时间应当足够大，保证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞 。平衡态中同种气体的分子全同，其出现

12、位置和各向运动概率相等，这已 包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞 。 气体温度公式气体温度的统计意义 气体分子的平均平动动能 物态方程理想气体可用另一形式表达 其中 分子质量 总分子数 阿伏伽德罗常数 分子数密度 玻耳兹曼常数 即 压强公式理想气体 理想气体的 温度公式 1 玻耳兹曼常数 阿伏伽德罗常数 注 ： 6.02 1.38 10 23 10 23 mol J K 1 温度的统计意义 气体分子的平均平动动能 理想气体的 温度公式 气 体 温 度 的 统 计 意 义 气体的热力学温度 与 气体分子的平均平动动能 成正比。 气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧

13、烈程度的量度。 气体的温度是大量分子热运动的集体表现， 具有统计意义。 离开大量分子，温度失去意义 。 凡例 1标准大气压（ 1atm)=1.103 10 Pa 某氧器瓶内，氧气的压强1.00 atm 温度 27 C视为理想气体，平衡态 氧分子的平均平动动能 ；分子数密度 由 3 2 1.3810 23 27+273 3 2 J 6.21 10 21 由 3 2 3 2 3 2 1.103 10 5 6.21 10 21 25 2.6610个 分子平均动能 公式 理想气体 公式 压强 温度 气体分子的平均 平动动能 只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果 如果将原子看成质点，将

14、分子看成是原子的 刚性连接体（刚性分子），则分子的动能除平 动动能外，对于双原子分子和多原子分子还有 转动动能。 分子平均动能的计算，涉及自由度概念： 自由度 确定某物体空间位置所需的 独立坐标的数目（ ），称为该物体的自由度数 。 单原子分子 平动自由度 双原子分子 平动自由度 转动自由度 三及多原子分子 平动自由度 转动自由度 能量均分定理 理想气体，平衡态，分子平均平动动能 因 故 每个平动自由度的平均平动动能均为 将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的 转动能量相等，而且亦均等于 在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个 自由度，都平均地具有 的动能。 （能量按自由度均分定理） 分

15、子平均动能 理想气体，平衡态，分子平均平动动能 因 故 每个平动自由度的平均平动动能均为 将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的 转动能量相等，而且亦均等于 在温度为 的平衡态下，气体分子的每一 个自由度，都平均地具有 的动能。 （能量按自由度均分定理） 在温度为 的平衡态下，气体分子的每一个 自由度，都平均地具有 的动能。 （能量按自由度均分定理） 处于平衡态温度为 的理想气体，若将气体分子看作刚 性分子，如果分子有 个平动自由度， 个转动自由度，则 若将分子看作非刚性分子，还要考虑分子的振 动动能，按一定的原则确定振动自由度。（略） 分 子 简例 理想气体处于平衡态时，证明气 体分子

16、的平均动能 是平均平动 动能 的 倍。 气体温度的统计意义 气体分子平均动能的含义 本题是为了帮助理解 与 成正比的原因。 理想气体内能 某一定量理想气体的内能 组成气体的全部 分子的平均动能之和。 mol 气体有（阿伏伽德罗常数） 个分子 mol 理想气体的内能 分子的平均动能 mol 理想气体 mol 理想气体的内能 内能算例 理想气体 mol 理想气体的内能 虚设联想 由 K C 难以实现 太阳表面温度 5490 C 标准状态下（0 C，1atm）理想气体的 分子平均平动动能 分子数密度 3.5310 2 ev 2.921025m 3 个 一个电子经过1伏特电势差加速后所获的 动能为1电子伏特（