《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义2 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义2 新人教a版选修1-1（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.1.3导数的几何意义 1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为: 2.平均变化率的几何意义： 割线的斜率 O A B x y y=f(x) x1x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 3.导数的概念 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 或 , 即 4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤 1.根据导数的几何意义描述实际问题. 2.求曲线上某点处的切线方程.（重点） 3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解. （ 难点） 平面几何中我们们是怎样
2、样判断直线线是否是 圆圆的割线或切线线的呢？ 探究点1 切线 提示：按照交点的个数。 观察：如图，当Pn(xn,f(xn)(n=1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋 近于点P(x0,f(x0)时，割线PPn的变化趋势是什么？ 探究1:观观察图图形,思考下列问题问题 ,明确切线线与割线线的 关系. (1)当P1,P2,P3,Pn的位置逐渐靠近点P时,割线 PPn的位置与PT的位置有什么关系? 提示:割线线PPn逐渐渐接近PT. 【探究总结】 对对切线线的两点说说明 (1)切线线是否存在的判断:曲线线上一点是否有切线线 ,要根据割线线是否有极限位置来判断.如有极限, 则则在此点有切线线,且切线线是唯
3、一的;如不存在,则则 在此点处处无切线线. (2)切线线与曲线线交点:曲线线的切线线,并不一定与 曲线线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷穷 多. 与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线 的切线. 如图,直线l1是曲线C的切线吗? l2呢? l2 l1 A B O x y 【即时训练】 解答：直线l1 不是曲线C的切线，l2是曲线C的切线。 在上面的研究过程中，某点的割线斜率和切线 斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率 有何联系？ 平均变化率 割线的斜率 瞬时变化率（导数） 切线的斜率 探究点2 导数的几何意义 提示： 提示:据两点间间的斜率公式知 kPT的值值不知道,但当Pn接
4、近于点P时时,割线线PPn接近于 PT,可以 用 近似地表示kPT. (2)设设点P(x0,y0),Pn(xn,yn),则则 是多少? 你能知道kPT是多少吗吗? 函数 在 处的导数就是曲线 在点(x0,f(x0)处的切线的斜率 ， 即： 曲线在点(x0,f(x0)处的切线的方程为： 导数的几何意义 （2016齐齐哈尔高二检测）曲线f(x)= 在 点（1，5）处的切线斜率为 ( ) Ak=3 Bk=3 Ck=4 Dk=4 C 【即时训练】 例1 求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M Dy Dx 因此,切线方程为y
5、-2=2(x-1), 即y=2x. 解： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: 求出切点的坐标； 求切线的斜率，即函数y=f(x)在x=x0处的导数； 利用点斜式求切线方程. 【总结提升】 2.已知曲线线C:y=x3-x+2,求曲线过线过 点P(1,2)的切线线 方程. 【互动探究】 【解题题关键键】 注意题题中信息为过为过 点P(1,2)的切线线方程,故 需要注意验证验证 其是否为为切点. 解：设切点为(x0,x03-x0+2)， 则得y|x=x0 = (x)2+3x0x+3x02-1)=3x02-1. 所以切线方程为y-(x03-x0+2)=(3x02-1)(x-x0). 将点P(1,2)
6、代入得:2-(x03-x0+2)=(3x02-1)(1-x0) 即(x0-1)2(2x0+1)=0,所以x0=1或x0= 若曲线线C:y=x3-x+2上一点P处处的切线线恰好平行于 直线线y=11x-1,则则P点坐标为标为 ,切线线 方程为为 . 【即时训练】 【解析】设设点P坐标为标为 (x0,x03-x0+2),则则曲线线C在点P 处处的切线线的斜率为为f(x0)=3x02-1,又因为为切线线平 行于直线线y=11x-1,所以3x02-1=11,即x02=4,即 x0=2,所以P点坐标为标为 (2,8)或(-2,-4),则则切线线方 程为为y-8=11(x-2)或y+4=11(x+2),即
7、y=11x-14或 y=11x+18. 答案:(2,8)或(-2,-4) y=11x-14或y=11x+18 例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象. 根据图象, 请描述、 比较曲线 在 附近的变化情况. t o h t0t1t2 l0 l1 l2 t4t3 解:可用曲线h(t)在t0 ,t1 ,t2处 的切线刻画曲线 h(t)在上述三 个时刻附近的变化情况. (1)当t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线l0平行于 t 轴. 故在 t = t0 附近曲线比较平 坦, 几乎没有升降. (2)当t = t1时, 曲线 h(t)在t1处的切线l1的斜率 h(t1)
8、k3k2. 答案:k1k3k2 例3 如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位 ：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图象， 根据图象，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中 药 物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出.( 精确到0.1) 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率. f(t)在此时刻的导数, （数形结合，以直代曲） 以简单对象刻画复杂的对象. t0.20.40.60.8 药物浓度的 瞬时变化率 B 即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y- 16=0. y x -2 -1 12 -2 -1 1 2 3 4 O P y2x1 直 2.函数 在 处的导数 的几何意义， 就是函数 的图象在点 处的切线的斜 率（数形结合） 切线的斜率k. 1.曲线的切线定义. 4.导函数(简称导数) 3.利用导数的几何意义解决实际生活问题，体会 “数形结合”和“以直代曲”的数学思想方法.
