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1、欢迎光临欢迎光临 理论力学理论力学 动量矩定理 定轴转动微分方程 应用举例应用举例 1. 半径为r,质量为m1的均质圆柱在转矩Mo的作 用下绕水平轴O转动,拖动质量为m2的重物C,已 知C与地面的摩擦系数为f,求C的加速度。 C O r MO C O r MO m1g m2 g FN F 解: 以整个系统为研 究对象,受力如图。v 系统对O轴的动 量矩为 式中 JO = m1r2/2 由对O轴的动量矩定理 JO + m2 ra = MO Fr dLO/dt =MO(Fie) 而 MO(Fie ) = MO Fr C O r MO m1g m2 g FN F v JO + m2 ra = MO
2、Fr 注意到 F = FN f = m2 g f 解出 a = 2(MO m2 g fr) / (m1+2m2)r 运动学关系:a = r 2. 如图所示, 质量为 m1的均质鼓轮靠在樯 角, 与地面接触处的 摩擦系数为f, 墙面光 滑,相对中心轴的回转 半径为, 连接重物的 质量为m2, 已知R和r, 求重物的加速度 , 以 及地面和墙面的法向 反力。 FN1 FN r R m1g m2 g O F m2 g FT a r R m1g FT FN F FN1 O 解: 以重物为研究对象, 受力如图。 m2 g FT = m2a 以圆柱为研究对象, 受 力如图。 FNFT m1 g = 0 F
3、FN1= 0 FT rFR= m12 注意到 a = r , F = FN f , 即可由以上方程解出 3. 如图所示, 已知杆 和小球的重量均为G, OA=l,杆与铅垂方向的 夹角为 。试求将 AD绳突然剪断的瞬间 ,铰O的约束力。 O G B A G D O G B A G 解: 以OA为研究对象,受 力如图。 (1) 该瞬时 = 0,由定轴 转动微分方程有 JO =MO(Fi) 式中 FOx FOy O G B A G FOx FOy (2) 应用质心运动定理求 铰O的约束力。 C aCn aCt OA 杆质心C 的法向和切 向加速度分别为 aCn = l2/2 = 0 aCt = l/
4、2 =9g(sin )/16 aAn aAt 小球质心的法向和切向 加速度分别为 aAn = l2= 0 aAt = l=9g(sin )/8 再由质心运动定理 GaC /g+ GaA /g =Fie GaCn /g + GaAn /g =FOy2Gcos GaCt /g + GaAt /g =FOx2Gsin O G B A G FOx FOy C aCn aCt aAn aAt aCt = l/2 =9g(sin )/16 aAt = l =9g(sin )/8 由此解出 FOy=2Gcos FOx= 5G(sin )/16 GaCn /g + GaAn /g =FOy2Gcos GaCt
5、 /g + GaAt /g =FOx2Gsin 4. 图示水平圆板可绕轴z转动,转动惯量为J。质 量为m的质点在板上作圆周运动, 圆半径为r, OC=l,其速度大小v0为常数。设当质点M位于离 轴最远的M0点时,圆板的角速度为零,试求当M转 过 角时,圆板的角速度。 z O M M0 C 解: 圆板和质点所组成的系统在运动过程中对z 轴 的动量矩守恒。初始时刻质点位于M0点时有 M0 v0 O l+r + Lz1=mv0(l+r) 时刻t : vM= vr+ ve O l + vr ve M C 式中: vr= v0 ve= OM O l + vr ve M C Lz2= Mz(mvM) J
6、= Mz(mvr) + Mz(mve) J =mv0OMcos m(OM)2 J 因为: Lz1= Lz2 即可解出: 5. 均质杆OA可绕水平轴O转动,初始时刻与水平 成一不大的倾角0,无初速自由释放。当OA倒在 水平软垫上时,发现原在外杯里的小球竟在里面 一个杯子里。试解释这一现象。 0 O A 解: 设OA=l, 杆的质量为m。时刻t, 杆与水平的夹 角为 , 由定轴转动 微分方程有 O A mg ( JO = ml2/3 ) O A mg t时刻A端的速度 式中 为A端下降的高度,而小球作自由落体运动,下降h时 的速度为 vA u 当0不大时, vA近似在垂直方向,因为 vA u ,故 杆端A比小球下降得更快,小球将脱离外侧的杯子 铅直下落,最终落入内侧的杯子里。 0 O A
