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1、1 DSP期终复习 一、离散时间线性非时变（LSI）系统 1-1 LSI的特点 1-2 稳定性和因果性 1-3 差分方程、运算结构 1-4 系统的特征量 二、各种变换 2-1 各种变换的特点 2-2 各种变换相互间关系 三、信号的频谱分析 3-1 傅立叶变换求频谱 3-2 利用Z变换（及有关定理）求序列的频谱 3-3 DFT和FFT 3-4 时域频域间对称关系 四、序列信号的线性滤波 4-1 用循环卷积计算线性卷积 4-2 用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器 4-3 线性相位FIR数字滤波器的设计 4-4 选择合适的运算结构 1 一、离散时间线性非时变系统 1-1、 LSI的特
2、点 线性 （可叠加） 非时变 （线性）卷积和求法必须熟练掌握 0 2 m 1 0 3 m 1 -3 0 m 1 h(0-m) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n 1-2、 因果性和稳定性 基本含义LSI的因果性、稳定性条件（在时域或频域中的表示） 基本 含义 稳定性 对任何一个有界输入， 产生一个有界输出。 因果性 输出 ,只决定 于 LSI 右序列 h(n)=0, n0 绝对可和 单位圆在 收敛域内 收敛域为包括 的圆外部 0 e j 因果又稳定 0 e j 非因果、稳定 1 一、离散时间线性非时变系统 1-3、描述方法-差分方程、运算结构（流图）等 例1、级联型网络 1 一、离散时间
3、线性非时变系统 1-4、 系统的特征量 LSI的进一步描述 1、 和 的含义及求法 例： 2、由 的零极点图来求系统的频域特性（以至运算结构、差分方程和 等） 极点：z=0, 零点：z=1 由作图知： Z平面 A B 3、以上（1-3，-4）描述中，应注意不同类型（如IIR或FIR；LP/HP/BP/BS；） 系统的区别以及因果性、稳定性问题。 本例为因果性、稳定性的FIR系统，属HP型 1 二、各种变换 2-1、各种变换的特点 变换名 被变换信号 变换公式 变换域 应用 F级数 展开 F变换 L变换 周期函数 (能量无限) 孤立波形 (能量有限) 时域半无限区间 (能量有限) 离散频谱 连续
4、频谱 频谱分析 频谱分析 微分方程 代数化 连 续 时 间 DFT FFT F变换 (DTFT) Z变换序列 有限长序列 序列 (能量有限) 有限长序列 连续、周期 离散、有限 频谱分析 频谱 数值解析 差分方程 代数化 离散、有限 DFT的 快速计算 离 散 时 间 DFS 周期序列 (能量无限) 频谱分析 离散、周期 1 二、各种变换 2-2、各种变换相互间关系 t 领域 领域 连续时间域 F 变换 S 领域 L 变换 t 领域 时 域 采 样 （离散化） nT 领域 插 值S 领域 L 变换 领域 离散时间域 F 变换 Z 领域 Z 变换 DFT k 领域频域采样 插值(3.3.5)插值
5、(3.3.8) 标准 Z变换 1 三、信号的频谱分析 3-1 傅立叶变换求频谱 1、典型连续信号的频谱 频域 t 0 0 1 t 0 1 0 t 0 1 0 0 t 0 0 t 0 0 1 t 0 0 t 0 1 0 1 三，信号的频谱分析 3-1 傅立叶变换求频谱(续1) 1、典型连续信号的频谱(续) 注1，门函数频谱的证明： 0 A t 0 注2，严格的讲，常数A并不存在傅立叶变换； 在引入奇异函数后才有广义的傅立叶变换定义 由此可得：同时，通过反证法： 也可以确认 这一傅立叶变换对的成立 1 三，信号的频谱分析 3-1 傅立叶变换求频谱(续2) 2 、 基本序列信号的频谱 时域 x(n)
6、频域 0 n 1 0 n a 0 n 1 N-1 0 n 0 n 1 0 n A n 0 0 n 1 三，信号的频谱分析 3-1 傅立叶变换求频谱(续3) 2 、 典型序列信号的频谱(续) 注1，狄拉克（Dirac）函数 0 注2，引入奇异函数后，才使周期序列具有（广义的）傅立叶变换 在前面表中的及（式中 须为有理数）各序列，它们的频谱 表达式都利用了狄拉克函数 0 （与教材P.40图2.2.4一致） 1 三、信号的频谱分析 3-2 利用Z变换（及有关定理）求序列的频谱 例1、求 的频谱 0 1 N-1 n 1 N 解： 令 即得频谱 例2、求 的频谱 n 0 1 2 3 4 解：对 x(n)
7、直接做z变换： 也可以从 ，应用X(z)微分定理： 同样结果 例3、求 的频谱 解： 时，存在 1 三、信号的频谱分析 3-3 DFT和FFT DFT不仅理论上而且实践上，在数字信号处理学科中有着举足轻重的地位 1, X(k) 是有限长序列x(n)的 频谱的“代表” 有限长序列x(n)的频谱 ，是的连续函数， 而且是具有2周期的无限长函数 X(k)是对 进行频域采样后在主值区间内的样本值 （在一个周期内）频域采样的点数N应原序列x(n)的长度M，才不致丢失信息 2, DFT 限于 有限长度空间内 一般序列的傅立叶变换：DTFT 有限长序列的傅立叶变换DFT 时域（n域）频域 长度不限的序列周期
8、性连续函数（ 域） 有限长序列有限长序列（k域） DFT的性质和定理与DTFT十分相似， （线性）位移 循环位移 （线性）卷积 循环卷积 DTFTDFT 但是 1 三、信号的频谱分析 3-3 DFT和FFT（续） 3, DFT具有各种高效算法 FFT 主要介绍了DFT的、基2的 FFT算法： 按时间抽取按时间抽取(DIT)(DIT)的的FFTFFT算法算法 按频率抽取按频率抽取(DI(DIF) )的的FFTFFT算法算法 减少运算量的基本原理是充分利用旋转因子减少运算量的基本原理是充分利用旋转因子 的周期性、对称性和特殊值：的周期性、对称性和特殊值： 基2的 FFT算法是把较大长度N（=2的整
9、数倍）点的DFT, 变成各长N/2的两个新序列的DFT， 即将N点的DFT分解为：两个N/2点的DFT和一级N/2个碟形运算 点的变换 N点的DFT变换X(k) ，通过N/2点的DFT 变换： 和 得到 点的变换 N点的x(n) 化为N/2的f(n)和g(n)， 再作DFT变换 每次分解可使复数乘法次数减少近一半， N越大运算效率越高 1 三、信号的频谱分析 3-3 DFT和FFT（续） 点的变换 N点的变换 r r=0 r=0 r 0 1 2 N-1 n 0 2r 4r n 2r+1 4r+1 n DITDIT的的FFTFFT算法算法 点的变换 1 三、信号的频谱分析 3-3 DFT和FFT
10、（续） N点的变换 DIFDIF的的FFTFFT算法算法 k为偶数 k为奇数 0 1 2 N-1 n 0 1 n 0 1 n N-1 0 1 n 0 1 n 点的变换 相加得 f(n) 相减后 得g(n) 0 1 n 1 三、信号的频谱分析 3-4 时域频域间对称关系 1，四种傅立叶变换形式的归纳 时 间 函 数频 率 函 数 时 间 连 续 连续和非周期非周期和连续F 变换 连续和周期（ ）非周期和离散（ ）F 级数 时 间 离 散 离散（T）和非周期周期( )和连续F 变换 离散（T）和周期( )周期( )和离散( )F 级数 时域 离散 频域 周期性 总之： 时域采样导致频域周期延拓 周
11、期性 离散 频域采样导致时域周期延拓 截取时、频域各方 周期序列主值区间 的样本值 DFT 1 三，信号的频谱分析 3-4 时域频域间对称关系（续1） 2，时域频域间对称关系式 DFTF变换Z变换 对称性的入门从 时域实序列频域“共轭对称” 开始 因而搞清“共轭对称” 的概念很关键 共轭对称是针对复（数）函数而言的： 实部偶对称；虚部奇对称 （或幅度偶对称；相位奇对称） 这里所说的复函数，可以是连续函数，也可以是序列 （如序列是有限长的话，应理解成圆周对称性： ） 对实函数（实序列）而言，共轭对称退化为偶对称 在上述基础上，进一步理解：时域纯虚（数）序列频域“共轭反对称” 1 三、信号的频谱分
12、析 3-4 时域频域间对称关系(续2) （ 将上面结论中“序列”换成时间连续的“复函数” 也同样成立） 任何一个实序列总可以等于一个偶对称序列 + 一个奇对称序列 任何一个复序列总可以等于一个共轭对称序列 + 一个共轭反对称序列 时域频域之间具有可互易的对称性： 时域n 实数序列 虚数序列 共轭对称序列 共轭反对称序列 频域 共轭对称函数 共轭反对称函数 实函数 虚函数 时域n 实数序列 虚数序列 共轭对称序列 共轭反对称序列 频域k 共轭对称序列 共轭反对称序列 实数序列 虚数序列 （上述的虚数序列或虚函数，都含虚数单位j在内） 时域n 频域k 实偶序列实偶序列 可见： 1 四、序列信号的线
13、性滤波 4-1 用循环卷积计算线性卷积 DFT DFT IDFT L点 L点L点 N点 M点 L 循环卷积和线性卷积一致性的条件：L N+M-1 用DFT实现对连续信号谱分析可能会产生的误差 混叠现象 提高频率分辨力(F)与增加信号高频容量之间有矛盾，为提高分辨率可以增加采 样点数N，只有增加对信号的观察时间Tp， 才能增加N。 截断效应 选择适当形状的窗函数，可以减少频谱泄漏。 栅栏效应 可以在截断数据的末端添加一些零值点，即增加了DFT变换区间的长度(N)，使某 些原来漏掉的频谱分量能被检测出来。 时域采样，为了频谱不混叠： 频域采样，为了时域不混叠： 1 四、序列信号的线性滤波 4-2 用脉冲响应不变法和双线性变换法设计IIR数字滤波器 用 脉冲响应不变法 双线性变换法 （模拟域）频率变换法 设计IIR数字滤波器的基本做法 （由AFDF） IIR数字滤波器设计的总过程如下： AF指标 高通 带通 带阻 AF 低通 指标 充分利用 模拟域 成果 设计AF 选 型 Buterworth 型 Chebyshev 型 椭圆型 LP 频 变 率 换 HP BP BS 设计D
