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1、 1. 成比例的数（线段）： 叫做四个数成比例。那么或若,:cbaddcba d c b a = , , 若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. a c b d = 其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项， a、d 叫做比例外项， b、c 叫做比例内项， 比例的性质： bcad d c b a = = ; 若 a、b、c、d 为四条线段 ，如果 （或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、 c 、 d 叫做成比例的线段，简称比例线段. a c b d = 1.若a, b, c, d成比例,且a=2,
2、b=3, c=4,那么d= 6 2、下列各组线段的长度成比例的是（ ） A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 练习: D m n m = n 56 已知 ,求 的值. 解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得： m n 6 5 = 方法(2)因为 ,所以5m=6n m 6 n 5 = 6m n = 所以 5 3、 4、已知 1) x：(x+2)=(2x)：3，求x。 (2)若 ， 求 。 (3) 若 ， 求 ， = -2x3y + yx 1 2 y x a+b b = 6
3、 5 a b a-b b 1或-4 7/3 1/5,-4/5 5 6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个 数，写出一个比例式。 6或2/3或1.5 2.比例中项： 当两个比例内项相等时， 即 a b b c = ， (或 a：b=b：c)， 那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项. 2 ac b = 即： 3.黄金分割： ACB 定义 ：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 。 相似比： 相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比 。 ABC ABC,如果BC=3,BC=1.5,那么 ABC与 ABC的相似比为_. 三角形相似的判定方法有哪几种? 预备定理 A BC DE
4、 DE A B C DEBC, ADEABC 相似三角形判定定理1：两个角对应相等的两个三角 形相似 A A B B C C D D E E F F 相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等 的两个三角形相似. ABCDEF A A B B C C D D E EF F 相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两 个三角形相似. A A B B C C D D E E F F ABCDEF 相似三角形的判定 ： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角 形与原三角形相似； （2）有两个角对应相等的两个三角形相似； （3）两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似； （4）三
5、边对应成比例的两个三角形相似. A D E B A C B A B C D ADE绕点A 旋转 D C A D E BC A BC D E B C A D E 点E移到与C点 重合 ACB=Rt CDAB 相似三角形基本图形的回顾： 相似三角形的性质： 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比 等于相似比 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方 二.知识应用 : 1.找一找: (1) 如图1,已知:DEBC,EF AB,则图中共有 _对三角形相似. (2) 如图2,已知:ABC中, ACB=Rt ,CD AB于 D,DEBC于E,则图中共有_个三角
6、形和ABC 相似. A BC DE F 如图(1) 3 E A BC D 如图(2) 4 A D B E C 1 3 2 4 (4)已知:四边形ABCD内接于O,连结AC和BD交 于点E,则图中共有_对三角形相似. A BC D E O (5)已知:四边形ABCD内接于O,连结AC和BD交 于点E,且AC平分BAD,则图中共有_对三 角形相似. A BC D E O 1 2 3 4 6 2 6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示 的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写 出一对相似三角形(不全等)_. G A BC D E F 1 ADE、BAE、CDA都相似 1.如图，正
7、方形ABCD的边长为8，E是AB的中 点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则 当CN=_时，CMN与ADE相似。 E A BC D M N 1或4 练一练: 2.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，3） , C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O ，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的 坐标是_. y A B C x O P （0，1.5）或（0，2/3） 练一练 E A BC . 3、如图, 在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2, 在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与 ABC相似,那么AF=_ F2 F1 练一练 4、 如图, 在直
8、角梯形中, BAD=D=ACB=90。， CD= 4, AB= 9, 则 AC=_ D A B C 6 5、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点 ，且PB=3，BFBP. 试问在射线BF上是否存在一点E ，使以点B、E、C为顶点的三角形与ABP相似?若存 在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由. F C A B D P 练一练 B C A Q P 8 16 2cm/秒 4cm/秒 练一练 6、在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向 B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以 4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经 几秒
9、钟BPQ与BAC相似？ 1 1 ACP=B A A C C B B P P 2 2 或APC=ACB 或AP:AC=AC:AB 练一练 7、如图点P是ABC的AB边上的一点,要使 APCACB,则需补上哪一个条件? 8、如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形. (1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, PCABDP. (2)当PCA BDP时,求APB的度数. P B CD A 练一练 9、 如图D,E分别AB,AC是上的点, AED=72o， A=58o，B=50o, 那么ADEADE和和ABCABC相似吗？相似吗？ A E B D C 若AE=2,AC=4,则BC是DE的 倍.
10、练一练 A P B C 10、若 ACPABC，AP=4，BP=5，则AC=_， ACP与ABC的相似比是_，周长之比是 _，面积之比是_。 6 2 : 3 2 : 3 练一练 4 : 9 11、如图：已知ABCCDB90，AC5cm， BC=3cm，当BD取多少cm时 ABC和BDC相似？ 4 D A B C 5 3 D C H G A E F B (2)以正方形的边长等量过渡. （3）请找出图中的相似三角形 练一练 13、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2. AB C D E F 若SAEF=6cm2,则SCDF = cm2 54 S ADF=_cm218 练一练 14、如图（），
11、 中， ，则:四边形:四边形 =_ 答案： 画一画: 1、如图,在ABC和DEF中, A=D=700, B=500, E=300,画直线a,把ABC分成两个三角 形,画直线b ,把DEF分成两个三角形,使ABC分成 的两个三角形和DEF分成的两个三角形分别相似 .(要求标注数据) 300 300 C A B 700 500 E D F 700 300 a b C A B 700 500 E D F 700 300 a b 200 200 A A B B C C 画一画 2、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格 点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图44的格 纸中, ABC是一个格点三角形
12、 (1)在右图中,请你画一个格点三角 形,使它与ABC相似(相似比不为 1) (2)在右图中,请你再画一个格 点三角形,使它与ABC相似(相 似比不为1),但与图1中所画的 三角形大小不一样. A BC A BC A BC 2 5 1 2 5 1 1 2 5 1 1 例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC= BC. 求证: AEEF 证明:四边形ABCD是正方形 BC=CD=AD，D=C=90 E是BC中点，FC= BC ADEECF A BC D E F 1 2 3 1=2 D=90 1+ 3=90 2+ 3=90 AEEF 例2、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCE
13、F=36. 求ABC的面积. A BC D E F 25 36 解：DEBC，EFAB A=CEF，AED=C ADEEFC DEBC ADEABC SADE=25 S ABC=121 A B C D E O 例3、如图,O是ABC的外接圆,AB=AC. 求证:AB2=AEAD 证明：连接BD AB=AC ADB=ABE 又BAD=EAB ABCAEB AB2=AEAD = 证明：CDAB， E为AC的中点 DE=AE EDA=A EDA=FDB A=FDB ACB= Rt A=FCD=900-CBA FDB=FCD F= F FDBFCD BD：CD=DF：CF BDCF=CDDF 例4 如
14、图，CD是RtABC斜边上的高，E为AC的中点， ED交CB的延长线于F。 C E A D F B 求证：BDCF=CDDF 例5. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线 BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G . 求证：EA2 = EF EG . 分析：要证明 EA2 = EF EG ， 即 证明 成 立，而EA、EG、EF三 条线段在同一直线上， 无法构成两个三角形， 此时应采用换线段、换 比例的方法。可证明： AEDFEB， AEB GED. 证明： ADBF ABBC AED FEB AEB GED D E F A B C G 例6、如图, 在ABC中,ACB= 900，四边形BEDC为正 方形, AE交BC于F, FGAC交AB于G. 求证: FC=FG. 证明: 四边形BEDC为正方形 CFDE ACFADE 又FG ACBE AGFABE 由可得： 又 DE=BE FC=FG D E A B C 例7、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE. (1) 求证: B
