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1、面积类1、已知椭圆：与正半轴、正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值。【解析】试题分析：先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 试题解析：依题意，直线：，即 设点的坐标为，则点到直线的距离是 ， 当时，所以面积的最大值是考点：椭圆的参数方程、点到直线的距离、三角函数求最值2、设点A（，0），B（，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为. （）求动点M的轨迹C的方程； （）若直线过点F（1，0）且绕F旋转，与圆相交于P、Q两点，与轨迹C相交于R、S两点，若|PQ|求的面积的最大值和最小值（F为轨迹C
2、的左焦点）.【解析】（）设，则化简轨迹的方程为（）设，的距离，将代入轨迹方程并整理得：设，则，设，则上递增，考点：椭圆，根与系数关系，基本不等式，坐标表示3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为B，离心率为，圆与轴交于两点 （）求的值； （）若，过点与圆相切的直线与的另一交点为，求的面积 【解析】 （）由题意， 得，,则， 得，, 则 （）当时，得在圆F上， 直线，则设 由得， 又点到直线的距离， 得的面积 考点：椭圆，根与系数关系，坐标表示等，考查了学生的综合化简计算能力 4、设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. (1) 求椭圆方程. (2) 过点的直线与椭圆交于不
3、同的两点，当面积最大时，求.【解析】 (1)由题意可得，又，解得，所以椭圆方程为 (2)根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程由直线与椭圆相交于两点，则有，即得 由根与系数的关系得 故又因为原点到直线的距离， 故的面积 令则，所以当且仅当时等号成立， 即时， 考点：1.椭圆方程；2.椭圆与直线综合；3.基本不等式.5、已知椭圆的左、右焦点分别为、，P为椭圆上任意一点，且的最小值为. （1）求椭圆的方程； （2）动圆与椭圆相交于A、B、C、D四点，当为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积.【解析】（1）因为P是椭圆上一点，所以. 在中，由余
4、弦定理得 . 因为，当且仅当时等号成立. 因为，所以. 因为的最小值为，所以，解得. 又，所以.所以椭圆C的方程为. （2）设，则矩形ABCD的面积. 因为，所以. 所以. 因为且，所以当时，取得最大值24. 此时，. 所以当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为. 考点：椭圆的定义、余弦定理、二次函数6、已知、分别是椭圆: 的左、右焦点，点在直线上，线段的垂直平分线经过点直线与椭圆交于不同的两点、，且椭圆上存在点，使，其中是坐标原点，是实数 （）求的取值范围； （）当取何值时，的面积最大？最大面积等于多少？【答案】（）;（）当时，的面积最大，最大面积为.【解析】（）设椭圆的半焦距为，根据题意
5、得 解方程组得 椭圆的方程为 由，得 根据已知得关于的方程有两个不相等的实数根. ， 化简得： 设、，则 （1）当时，点、关于原点对称，满足题意； （2）当时，点、关于原点不对称，. 由，得即 在椭圆上， 化简得： ， ， ，即且 综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是 （）当时，此时，、三点在一条直线上，不构成. 为使的面积最大，. . 原点到直线的距离， 的面积 ， . ， “” 成立，即 当时，的面积最大，最大面积为 考点：直线和椭圆的相关问题，综合考查考生的运算求解能力.7、设椭圆的离心率，是其左右焦点，点是直线（其中）上一点，且直线的倾斜角为. （）求椭圆的方程； （）若是椭
6、圆上两点，满足，求（为坐标原点）面积的最小值.【解析】（） 则,故 （）当直线的斜率不存在时，可设代入椭圆得 ，此时， ,当直线的斜率存在时，设代入椭圆得： ,设 则 由得： 当时，取等号，又，故的最小值为. 考点：直线与椭圆的位置关系综合应用.8、已知椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点. （I）求椭圆的方程； （II）直线与椭圆交于，两点，且线段的垂直平分线经过点，求（为原点）面积的最大值.【解析】 (I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2， 一内角为的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 (II)设因为的垂直平分线通过点， 显然直线有斜率， 当直线的斜率为时,则的垂直
7、平分线为轴,则 所以 因为， 所以，当且仅当时，取得最大值为当直线的斜率不为时,则设的方程为 所以，代入得到 当,即 方程有两个不同的解 又， 所以， 又，化简得到代入，得到 又原点到直线的距离为 所以 化简得到 因为，所以当时，即时，取得最大值 综上，面积的最大值为 考点：直线与圆锥曲线的位置关系9、如图，A,B是椭圆的两个顶点, ，直线AB的斜率为求椭圆的方程；（2）设直线平行于AB，与x,y轴分别交于点M、N，与椭圆相交于C、D， 证明：的面积等于的面积 【解析】（1）解：依题意， 整理得 解得 所以 椭圆的方程为（2）证明：由于/，设直线的方程为，将其代入，消去， 整理得 设， 所以
8、证法一：记的面积是，的面积是 由， 则 因为 ，所以 ，从而 证法二：记的面积是，的面积是 则线段的中点重合 因为 ，所以 ， 故线段的中点为 因为 ，所以 线段的中点坐标亦为 从而 考点：1.斜率公式；2.直线与曲线的位置关系；3.韦达定理.10、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）抛物线的焦点为， 又椭圆离心率， 所以椭圆的方程为 （2）设点，则，连交轴于点， 由对称性知： 由得： ， （当且仅当即时取等号） 面积的最大值为. 考点：椭圆标准方程的求
9、解，直线与椭圆的位置关系.11、已知椭圆：的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点. (1)求椭圆的方程； (2)若(为坐标原点)，求的值； (3)设点关于轴的对称点为（与不重合），且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为， 故圆与轴交与两点，. 1分 所以，在椭圆中或，又， 所以，或 (舍去，), 于是，椭圆的方程为. (2)设，；直线与椭圆方程联立, 化简并整理得. ，, ， . ，,即得 ，即为定值. (3)，, 直线的方程为 令，则 , 当且仅当即时等号成立.故的面积存在最大值考点：直线与椭圆的位
10、置关系 点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。12、已知两点F1(-1,0)及F2(1,0),点P在以F1、F2为焦点的椭圆C上,且|PF1|、|F1F2|、|PF2|构成等差数列. （1）求椭圆C的方程; （2）如图,动直线l:y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点,点M,N是直线l上的两点,且F1Ml, F2Nl.求四边形F1MNF2面积S的最大值.【解析】 (1)依题意,设椭圆的方程为. 构成等差数列, , . 又,. 椭圆的方程为 (2) 将直线的方程代入椭圆的方程中, 得 由直线与椭圆仅有一个公共点知, 化简得: 设, 当时,设直线的倾斜角为,
11、则, , ,当时,. 当时,四边形是矩形, 所以四边形面积的最大值为 考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。13、如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点 （1）若点的横坐标为，求直线的斜率； （2）记的面积为，（为原点）的面积为试问：是否存在直线，使得？说明理由【解析】 （）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为 将其代入，整理得 设，所以 故点的横坐标为依题意，得， 解得 （）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直 由（）可得 因为 ，所以 ， 解得 ， 即 因为 ，所
12、以 所以 ，整理得 因为此方程无解，所以不存在直线，使得 考点：直线与椭圆相交的位置关系 点评：直线与椭圆相交时常联立方程借助于方程根与系数的关系整理化简，此类题目计算量较大要求学生具有较高的数据处理能力14、已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆的焦距为2 求椭圆的方程； 设为椭圆上任意一点，以为圆心，为半径作圆，当圆与椭圆的右准线有公共点时，求面积的最大值【解析】 因为，且，所以 2分 所以 4分 所以椭圆的方程为设点的坐标为，则 因为，所以直线的方程为由于圆与有公共点，所以到的距离小于或等于圆的半径 因为，所以， 即 又因为，所以 解得，又，当时，所以 考点：本题主要考查椭
13、圆的标准方程，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，不等式的解法。 点评：中档题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，a,b,c,e的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理，简化解题过程。利用函数观点，建立三角形面积的表达式，确定其最值。15、已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. （）求椭圆的方程； （）过点的直线与椭圆相切，直线与轴交于点，当为何值时的面积有最小值？并求出最小值.【解析】（）设方程为，抛物线的焦点为， 则. 双曲线的离心率所以，得 椭圆C的方程为.（）设直线的方程为，由对称性不妨设 由消得： 依题意，得： 由，令，得，即 当且仅当即时取等号. 因为故时，有最小值.考点：直线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。16、已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距
