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1、圆锥（第3843页）1教科书分析 本小节教科书内容主要是认识圆锥的特征、探索圆锥体积公式、应用圆锥体积公式解决生活中的实际问题等。与圆柱一节的编写相同，教科书仍然是按实物引入、抽象图形、认识特征、探索求积公式、解决实际问题的顺序编写的。首先，教科书选取了生活中常见的尖顶帽、铅锤、谷堆3个实物图为例，引导学生认真观察并从几个大小各异的实物中抽象出它们的几何图形圆锥。面对圆锥这一几何图形，特别要强调的是它的高，这是圆锥与圆柱的重要区别。教科书用教师的语言介绍圆锥的高，其目的就在于引起学生的注意，从高的特点来认识圆锥，建立圆锥的表象。怎样计算圆锥的体积呢？教科书改变了过去用等底等高的圆柱、圆锥容器装
2、沙（水）的办法，而采用如下图所示的实验方法推导圆锥的体积计算公式：首先提出圆锥体积也等于底面积乘高的猜想，接着进行实验：把等底等高的实心圆柱和实心圆锥分别没入同一个水槽的水中，再分别记录下实心圆柱和实心圆锥没入水中后水位上升的厘米数。最后根据实验发现水槽中水上升部分的体积与圆柱、圆锥体积的关系，让学生发现圆锥没入水中后，水位上升的高度只有圆柱没入水中时水位上升高度的13。通过这一探索活动，引导学生由圆柱体积推导出圆锥体积公式V13Sh。例1、例2是根据不同的条件去求圆锥体积的实际问题。例1是知道铅锤的底面半径和高，求铅锤的体积。例2是知道煤堆底面周长和高，求煤堆体积的问题。两道例题都未直接告诉
3、圆锥的底面积，分别要通过半径或周长去求得，这有利于学生灵活运用圆锥体积公式进行计算。不仅如此，例2还在求出煤堆体积之基础上，增加了“用载重量为5吨的车一次运完这堆煤，需要多少辆车”的问题，既增强了问题的现实性，又有利于学生综合运用所学知识解决实际问题。本节教科书还安排了一个用等底等高的圆柱、圆锥形容器做装沙实验的课堂活动，本活动要求学生在已得出圆锥体积计算公式的基础上，从把沙子装满圆锥后再倒入与它等底等高的圆柱形容器过程中，清楚地看到的确要倒3次才能把圆柱形容器装满。这一结果一方面从另一个角度再次验证了前面对圆锥体积公式的猜想，另一方面通过实验进一步加深学生对圆锥体积公式的理解。同时，还有利于
4、培养学生的合作精神和实践能力。 练习九的习题主要是围绕应用圆锥体积计算公式而设计的。第1题是采用判断正误的方式让学生巩固有关圆锥的一些基础知识。第2，3题均是运用求体积计算公式的训练，不同之处在于2题是求圆锥的体积，3题是求圆锥的容积。第4题（2）小题是关于由圆锥的底（或高）的变化引起它的体积变化的问题，既有利于学生加深对圆锥特征和体积的计算方法的理解，又有利于培养学生思维的灵活性。第5至10题是综合应用圆柱、圆锥体积计算公式方面的练习。第6题是等积变形后，知道圆锥的体积和底面积，求高是多少，是公式的逆用；第7题是运用圆柱体积公式求木材体积后再计算其质量；第8题是有关圆柱、圆锥组合图形求体积的
5、问题；第9题将圆柱、圆锥体积计算和分数问题综合在一起，主要是培养学生综合运用数学知识解决问题的意识和能力。第10题是圆锥体积计算在实际生活中的灵活应用，问题既有现实性，又有一定的思考性。2教学建议 本节内容可用3课时完成教学任务。 本节教学的重点是圆锥特征的认识和体积计算公式的探索。教学时可采用与认识圆柱相同的方法，即引导学生借助对生活中常见圆锥形物体尖顶帽、铅锤、谷堆等的观察，逐一抽象出圆锥的几何特征，在此基础上对照第38页中圆锥的几何图形，认识各部分名称，建立高的概念，同时还要把圆锥的高和圆柱的高进行比较，从中发现它们的异同。当学生初步建立起圆锥的概念后，教师要引导学生通过找生活中的圆锥形
6、物体和指出几何图形中的圆锥等方式强化学生对圆锥的认识，建立圆锥的概念。探索圆锥体积计算公式时，要特别重视学生的实验操作，教师要加强对学生实验的指导。引导学生就实心的圆柱、圆锥是否等底等高；水槽中水的高度原来是多少厘米；实心圆锥、圆柱分别完全没入水中后，水位各上升了多少厘米等问题展开讨论。在讨论的基础上根据水槽中的水两次不同的上升高度，去发现等底等高的圆锥和圆柱之间的关系，从而由圆柱的体积公式概括出圆锥的体积公式。这一过程中，要注意运用等积变形的思想引导学生明确两个问题：一是水槽中上升部分的水的体积就是完全没入水中的实心圆锥（或圆柱）的体积；二是由于是同一个水槽中的水，所以底面的大小是相同的，而
7、体积是由底面积乘高求得。教学例1时，可先让学生自己说一说铅锤是什么形状，怎样计算它的体积，然后独立地运用圆锥体积公式计算出铅锤的体积。 教学例2时，首先让学生看图以增强实感，了解这样的煤堆是一个近似圆锥形，知道运用圆锥的求积公式可以求到它的体积。已知底面周长求底面积是学生已有的知识，教师只需提示学生注意一下题中的条件即可。其次是解决“这堆煤用载重5吨的车来一次运完，需几辆车”的问题，它涉及量的包含，教学时要注意指导学生理清解决问题的思路，会进行正确地分析，提高综合应用知识解决实际问题的能力。本节教科书中的课堂活动非常强调自主操作，让学生在自主操作的过程中去进一步认识圆锥体积与等底等高圆柱体积之
8、间的关系，进而理解并掌握圆锥的体积公式。这个课堂活动可以让学生自主进行，用等底等高的圆锥、圆柱容器装沙子（或水）的时候，注意让每个学生都在实验中观察到把圆锥容器装满的沙子（或水），倒入和它等底等高的圆柱形容器中，不多不少正好倒3次就把圆柱形容器装满。然后再组织学生在小组内进行讨论和交流，尽可能让每个学生都说说自己从实验中发现了什么。最后再推出各组代表在全班交流自己小组做实验后得到的结果，即圆柱体积用“底面积乘高”来计算，而与它等底等高的圆锥体积只有它的体积的13（倒3次才装满，倒1次就只有13），所以圆锥的体积是同它等底等高圆柱体积的13。教师要认真倾听学生的讨论和交流，关注他们在实验进行中的
9、发现，对表述有条理的学生都应予以充分的肯定，使其从中获得成功的体验，以增强其学好数学的自信心。 关于练习九中一些习题的教学建议。本练习主要围绕圆锥体积公式的应用安排训练。第1题（3）小题可启发学生想一想，怎样说才对。若学生说出削去部分的体积是圆柱体积的23时，教师可以让学生说明为什么，从中让学生们明确把一个圆柱削成最大的圆锥，这个最大的圆锥一定与该圆柱等底等高。因为削成的圆锥体积是这个圆柱体积的13，那么削去部分的体积则一定是圆柱体积的23了。第2题可让学生计算完3个图形的体积后，比较一下3个图在计算中的区别，得出同样是算底面（圆）积，由于给的条件（一个是半径，另两个是直径）不同，所以在算法上
10、就有区别。第4题中第（2）小题第1空可应用积的变化规律：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）几倍加以认识。第2空则要引导学生去认真辨析底面积扩大2倍与底面半径扩大2倍是完全不同的两个概念，最好能让学生通过具体的计算加以区别。第6题教学时抓住重点，铸成的圆锥形零件的体积圆柱形钢件的体积，建议学生找到相等关系后，最好用方程去解决问题。第8题是求圆锥、圆柱的体积和，有一定的综合性。在独立解答之前，教师可以安排学生交流一下这题准备怎样解，听听学生对题意的理解，再根据学情进行指导。关键要让学生明白圆锥、圆柱的高是不相同的，但它们的底却是相同的。第9题重点明白“圆锥的容积只有圆柱
11、的27”的含义。教学第10题时，先让学生明白麦麸堆是一个14的圆锥，然后运用圆锥体积计算公式进行计算。必要时可让学生课外做在墙角堆沙的实验，让他们在操作中探索问题解决的办法。由于本题是星号题，并不要求全体同学都理解和掌握，教学时注意把握好这个度。3教学案例圆锥的体积（教学片断）教学内容：教科书第39至40页例题1。教学过程：一、分组实验教师：每组都备有相同的实验材料，即实心圆锥和圆柱各一个，一个装有水的玻璃缸，请同学们6人一组，分好工，按要求进行实验。实验开始。黑板（或屏幕）上出示要求：（1）圆柱和圆锥有没有相等的地方？（2）实验前先量出并记下玻璃缸中水位的高度是多少厘米。（3）分别把实心圆锥
12、和圆柱投入水中，再记下它们各自没入水中后水位的高度。（4）议一议，发现了什么？二、汇报交流教师：按照要求我们分小组进行了实验和议论，现在请各组代表上台进行汇报交流。学生：我们组的圆锥和圆柱有两个地方是相等的（边说边比较），它们的底面相等，高也相等。学生：玻璃缸中的水位原来是15 cm，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了1 cm；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了3 cm。学生：我们发现圆柱没入水中后水位上升的高度刚好是圆锥没入水中时水位上升高度的3倍。学生：我们实验得到的结果和他们是一样的。教师：既然大家得到相同的结果，就说明这个圆锥和圆柱之间有联系，到底是什么联系，谁能说清楚？三
13、、推导圆锥体积计算公式学生：我们做实验用的圆柱和圆锥的底面和高都分别相等，把它们分别没入水中，圆柱体积要大些，水位上升肯定要高一些。教师：当圆锥或圆柱没入水中后，水为什么要上升？说明水上升部分的体积和谁有关？两次水位上升的高度之间有没有规律？有什么规律？学生：我知道，乌鸦喝水的故事就告诉我们物体占了水的空间，水就会升高，这说明水上升部分的体积和没入的圆锥或圆柱有关。学生：没入圆锥时，水上升部分就是圆锥的体积。学生：没入圆柱时，水上升部分就是圆柱的体积。学生：我明白了，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的3倍，因为没入圆柱时水的上升高度正好是没入圆锥时水上升高度的3倍。学生：那圆锥的体积只有这个圆柱体
14、积的13了。教师：是不是任何一个圆锥和圆柱之间都有这种规律？学生：不是，只有当圆锥和圆柱的底面相等、高也相等时才有这种规律。教师：圆柱的体积公式我们已知道了，通过实验和刚才的讨论，圆锥的体积公式能推导出了吗？学生：圆柱的体积公式是底面积高，通过实验我们知道和圆柱等底等高的圆锥体积只有圆柱体积的13，那么，圆锥的体积公式是13底面积高。教师板书：圆锥的体积13底面积高教师：你能用字母把上面的公式表示出来吗？ 评析:本教学片断的设计有两个特点：重视学生的操作活动。全体学生都参与用等底等高的实心圆柱、圆锥做没入同一缸水中的实验，利于学生发现其中的联系；发挥学生的主动性，让学生在自主探索、合作交流中推导出圆锥体积公式，培养学生的探索精神和概括能力。4
