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1、南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试 高等代数试题参考解答 高等代数资源网 www.52gd.org October 16, 2012 1声明 您现在看到的这份文件来自http:/www.52gd.org.本站原创的内容，采用创作共用组 织（Creative Commons）的“公共领域”（Public Domain）许可。即放弃一切权利，全 归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。 本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本 文而造成的一切后果承担任何责任. 关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否
2、则请不要查看本文.记 住: 别人做是别人的，自己做才是自己的 . 作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:www52gdorg . 2试题 一.(20分)设1= (1,2,2)T,2= (3,0,0)T,3= (0,1,1)T在基1,2,3下的坐标分别 为1,2,3. 1.求向量1,2,3; 2.在R3中求一组标准正交基1,2,3,使得从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为上三 角矩阵. 二.(15分)设有两组向量: (I) : 1= (1,2,3)T,2= (2,3,5)T,3= (1,1,a)T;(II)1= (1,b,c)T,2= (2,b2,c + 1)T. 1.求参数a,使得1
3、,2,3线性相关; 2.当1,2,3线性相关时,求参数b和c,使得向量组(I)和(II)等价. 1 南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试高等代数试题参考解答www.52gd.org 三.(25分)设R3的线性变换T使得 T 1 1 0 = 0 1 1 ,T 0 1 1 = 1 a + 1 0 ,T 1 1 1 = 1 a 1 1 . 1.求T在基础1= (1,0,0)T,2= (0,1,0)T,3= (0,0,1)T下的矩阵A; 2.如果T有三个线性无关的特征向量,求参数a和可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵; 3.如果 = (1,1,1)T是T的一个特征向量,证明A不能与对角矩阵相
4、似,并求A的Jor- dan标准形. 四.(20分)设实二次型 f(X) = (1+a)x1+x2+xn)2+(2x1+(2+a)x2+2xn)2+(nx1+nx2+(n+a)xn)2 的正惯性指数小于n,求参数a以及使得f(X) = 0的全部n维向量X. 五.(15分)设A,B,C是三个n阶方阵,且AB = 0,A + BC = En.证明: 1.r(A) + r(B) = n; 2.矩阵A与形如 (E r 0 00 ) 的矩阵相似,其中r = r(A). 六.(15分)设f(x) = x2+ x + 1,n是自然数.证明: 1.f(x)|xn+2+ a(x + 1)2n+1的充要条件是a
5、= 1; 2.对任意多项式g(x),(f(x),g(x) = 1的充要条件是(fn(x),gn(x) = 1. 七.(20分)设A是n阶正定矩阵,B是n阶实对称矩阵,证明: 1.存在n阶可逆矩阵P,使得PTAP = En而PTBP为对角矩阵; 2.存在正数t0,当t t0时,tA + B是正定矩阵; 3.如果B还是半正定矩阵,则|A + B| |A|. 八.(20分)设A,B是两个n阶实对称矩阵,A = B3.证明: 1.方程组AX = 0与BX = 0同解; 2.对任意的实数c = 0,矩阵P = c2En+ cB + B2是正定矩阵; 3.A的特征向量都是B的特征向量. 休息一下,来张美图
6、欣赏一下吧. 2高等代数资源网http:/www.52gd.org 南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试高等代数试题参考解答www.52gd.org 3参考解答 一.(20分)设1= (1,2,2)T,2= (3,0,0)T,3= (0,1,1)T在基1,2,3下的坐标分别 为1,2,3. 1.求向量1,2,3; 2.在R3中求一组标准正交基1,2,3,使得从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为上三 角矩阵. 解:1.由条件有 (1,2,3) = (1,2,3)(1,2,3), 易知 (1,2,3) = 130 201 201 可逆,从而(1,2,3) = E,即1= (1,0,
7、0)T,2= (0,1,0)T,3= (0,0,1)T. 2.令 1= 1= (1,2,2)T, 2= 2 T 21 T 11 1= (8/3,2/3,2/3)T, 3= 3 T 32 T 22 2 T 31 T 11 1= (0,1,1)T. 则 1= 1 T 11 1= (1/3,2/3,2/3)T, 2= 1 T 22 2= (22/3,2/6,2/6)T 3= 1 T 33 3= (0, 2/2,2/2)T 为R3的一组标准正交基,且从基1,2,3到基1,2,3的过渡矩阵为 311 02222 00 2 . 二.(15分)设有两组向量: (I) : 1= (1,2,3)T,2= (2,
8、3,5)T,3= (1,1,a)T;(II)1= (1,b,c)T,2= (2,b2,c + 1)T. 1.求参数a,使得1,2,3线性相关; 2.当1,2,3线性相关时,求参数b和c,使得向量组(I)和(II)等价. 3高等代数资源网http:/www.52gd.org 南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试高等代数试题参考解答www.52gd.org 解:1.1,2,3线性相关的充要条件是 ? ? ? ? ? ? 121 231 35a ? ? ? ? ? ? = 0, 即a = 2. 2.当1,2,3线性相关时,易知1,2为其一个极大无关组.由 (1,2,1,2) = 1212
9、 23bb2 35cc + 1 1212 01b 2b2 4 00c b 1c b2 1 . 故 c b 1 = 0,c b2 1 = 0. 解得 b = 0,c = 1或b = 1,c = 2. 若b = 0,c = 1,则1= (1,0,1)T,2= (2,0,2)T是线性相关的,与题意不符.从而b = 1,c = 2. 三.(25分)设R3的线性变换T使得 T 1 1 0 = 0 1 1 ,T 0 1 1 = 1 a + 1 0 ,T 1 1 1 = 1 a 1 1 . 1.求T在基础1= (1,0,0)T,2= (0,1,0)T,3= (0,0,1)T下的矩阵A; 2.如果T有三个线性
10、无关的特征向量,求参数a和可逆矩阵P使得P1AP是对角矩阵; 3.如果 = (1,1,1)T是T的一个特征向量,证明A不能与对角矩阵相似,并求A的Jor- dan标准形. 解:1.由条件有 2+ 3= 0 1 1 = T 1 1 0 = T(1+ 2) = T(1) + T(2), 1+ (a + 1)2= 1 a + 1 0 = T 0 1 1 = T(2+ 3) = T(2) + T(3), 1+ (a 1)2+ 3= 1 a 1 1 = T 1 1 1 = T(1+ 2+ 3) = T(1) + T(2) + T(3). 从而可得 T(1,2,3) = (1,2,3) 001 21a 1
11、00 , 4高等代数资源网http:/www.52gd.org 南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试高等代数试题参考解答www.52gd.org 即A = 001 21a 100 . 2.由于 |A E| = ? ? ? ? ? ? 01 21 a 10 ? ? ? ? ? ? = ( + 1)(1 )2. 由条件T有三个线性无关的特征向量,则r(A E) = 1,于是由 A E = 101 20a 101 可知a = 2.易得 P = 011 102 011 ,P1AP = 1 1 1 . 2.设 = (1,1,1)T是T的对应特征值的一个特征向量,则 (1,3 + a,1)T=
12、 T(1) + T(2) + T(3) = T(1+ 2+ 3) = T() = = (,)T. 故a = 4.此时r(A E) = 2,从而A不能与对角矩阵相似.A的Jordan标准形为 J = 110 010 001 . 四.(20分)设实二次型 f(X) = (1+a)x1+x2+xn)2+(2x1+(2+a)x2+2xn)2+(nx1+nx2+(n+a)xn)2 的正惯性指数小于n,求参数a以及使得f(X) = 0的全部n维向量X. 解:令 y1= (1 + a)x1+ x2+ + xn y2= 2x1+ (2 + a)x2+ + 2xn yn= nx1+ nx2+ + (n + a)
13、xn 则 f(X) = y2 1+ y 2 2+ + y 2 n, 由条件f(X)的正惯性指数小于n知 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 + a11 22 + a2 . . . . . . . . . . . . nnn + a ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 5高等代数资源网http:/www.52gd.org 南京航空航天大学2012年硕士学位研究生入学考试高等代数试题参考解答www.52gd.org 从而a = 0或a = (n + 1)n 2 . f(X) = 0的充要条件是 0 = (1 + a)x1+ x2+ + xn 0 = 2x1+ (2 + a)x2+
14、+ 2xn 0 = nx1+ nx2+ + (n + a)xn 解得X = k(1,0, ,0)T(此时a = (n + 1)n 2 )或X = (l2 l3 ln,l2,l3, ,ln)T(此 时a = 0.) 其中k,l2,l3, ,ln为任意实数. 五.(15分)设A,B,C是三个n阶方阵,且AB = 0,A + BC = En.证明: 1.r(A) + r(B) = n; 2.矩阵A与形如 (E r 0 00 ) 的矩阵相似,其中r = r(A). 证明: 1.由AB = 0有r(A) + r(B) n.由A + BC = En有 n = r(En) = r(A + BC) r(A) + r(BC) r(A) + r(B), 从而r(A) + r(B) = n. 2.由AB = 0,A + BC = En有 A = AEn= A(A + BC) = A2+ ABC = A2, 从而结论成立. 六.(15分)设f(x) = x2+
