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1、第四章 单元与插值函数 4.1 面积坐标 4.2 Lagrange 单元 4.3 Serendipity单元 4.4 体积坐标 4.5 Hermite插值 1 4. 单元与插值函数 通过变过变 分法或加权权余量法建立有限元方程时时，首先是 在确定单单元形状后，在单单元域内假设场设场 函数的试试解。 本章重点介绍 l构造单单元插值值函数规规范化形式的两类类自然坐标标的建立 方法和特点 l构造单单元插值值函数的两类类方法的步骤骤和特点 有限元法基础 2 4. 单元与插值函数 关键概念 自然坐标 面积坐标 体积坐标 Lagrange单元 Serendipity单元 有限元法基础 3 4. 单元与插值
2、函数 广义坐标有限元法的存在的问题： 1）建立单元插值函数方法繁琐 2）形成单元矩阵过于复杂 有限元法基础 4 4. 单元与插值函数 单元插值函数的构造 与求解问题的微分方程无关 插值函数的构造方法 与单元形状有关 与单元节点数量与位置有关 与单元节点DOF的类型和数量有关 有限元法基础 5 4. 单元与插值函数 有限元法基础 6 4.1 面积坐标 l定义 在三角形内任意一点P的位置 由其三角形子域的面积与三角形 面积的比值确定，即 其中A为三角形面积， 为 的面积， 为 的 面积， 为 的面积。 有限元法基础 7 4.1 面积坐标 记 则三角形内的点P 表示为 称为面积坐标。 有限元法基础
3、8 l面积坐标的性质 1）与j-m 平行的线上具有相同的Li 4.1 面积坐标 有限元法基础 9 4.1 面积坐标 2）角点坐标为 i(1,0,0),j(01,0),m(0,0,1) 3）形心坐标为 4）三角形三条边的坐标为 j-m边: Li = 0, m-i边:Lj = 0, i-j边: Lm = 0 5）三个坐标只有2个是独立的 有限元法基础 10 4.1 面积坐标 l面积坐标与直角坐标的关系 三角形单元 的面积 三角形内任意点 P(x,y), 有限元法基础 11 4.1 面积坐标 有限元法基础 12 4.1 面积坐标 l面积坐标的微积分运算 1）导数 有限元法基础 13 4.1 面积坐标
4、 2）面积分 3) i-j 边长为 l 的线积分 有限元法基础 14 4.1 面积坐标 例： 有限元法基础 15 4.1 面积坐标 例：均质等厚单元的自重 有限元法基础 16 4.1 面积坐标 l用面积坐标给出的单元的插值函数 以面积坐标作为三角形单元的自然坐标，表 示的插值函数，对每一个节点来讲，插值函数 是对称的。 有限元法基础 17 4.1 面积坐标 1）线性单元3节点三角形单元 根据形函数的特点 这样可用过其他两节点的直线方程 来构成。例如节点1，可用23边 的直线方程来构成插值函数，即 有限元法基础 18 4.1 面积坐标 2）二次单元6节点三角形单元 节点1： 节点4： 通用表达式
5、： 角节点 中节点 注： 有限元法基础 19 4.1 面积坐标 2）三次单元10节点三角形单元 节点1 节点4 节点10 有限元法基础 20 4.2 Lagrange单元 单元场函数的插值表示为 插值函数满足下列性质 有限元法基础 21 4.2 Lagrange单元 l一维Lagrange插值 1）总体坐标下的位移插值函数 对于n个节点的一维单元，节点坐标为 多 项式插值可达n-1阶，即 有限元法基础 22 4.2 Lagrange单元 当2时 令 ，则 引进无量纲坐标 有限元法基础 23 4.2 Lagrange单元 2）自然坐标下的位移插值函数 对于n个节点的一维单元，节点坐标为 多 项式
6、插值可达n-1阶，即 或 有限元法基础 24 4.2 Lagrange单元 当n=2时， 通式 有限元法基础 25 4.2 Lagrange单元 当n=3时， 有限元法基础 26 4.2 Lagrange单元 l二维Lagrange单元 二维Lagrange单元的场插值函数由一维Lagrange插值 分别在两个方向插值，即 场插值函数为 有限元法基础 27 4.2 Lagrange单元 可以证明 有限元法基础 28 4.2 Lagrange单元 l一次单元4节点单元 双线性插值 有限元法基础 29 4.2 Lagrange单元 l二次单元9节点单元 角节点 边中节点 内部节点 有限元法基础 3
7、0 4.2 Lagrange单元 l三维Lagrange单元 单元节点 场插值函数 有限元法基础 31 4.2 Lagrange单元 可以证明 有限元法基础 32 4.2 Lagrange单元 lLagrange单元族的特点 1）插值函数构造方便 2）高次单元内部节点过多，影响计算效率 有限元法基础 一次单元内部节点 0 二次单元内部节点 1 三次单元内部节点 4 平面单元内部节点数（n-1)(m-1) 33 4.3 Serendipity单元 lSerendipity单元族 单元的节点仅配置在 角点和边界上。 不改变精度的情况下， 减少内节点。 Irons等首先提出，按 字面意思是意外发现的
8、， 但有规律可循。 有限元法基础 34 4.3 Serendipity单元 lSerendipity单元族 有限元法基础 35 4.3 Serendipity单元 lSerendipity插值函数的构造 4节点单元的插值函数与Lagrange单元相同 有限元法基础 36 4.3 Serendipity单元 l8节点单元在边中点的插值函数 有限元法基础 37 4.3 Serendipity单元 显然 有限元法基础 38 4.3 Serendipity单元 lSerendipity插值函数的一般构造方法 有限元法基础 39 4.3 Serendipity单元 lSerendipity单元族 有限元
9、法基础 40 4.3 Serendipity单元 l二次平面单元8节点单元 有限元法基础 41 4.3 Serendipity单元 l划线法构造插值函数 二次平面单元8节点单元 由 ，得 有限元法基础 42 4.3 Serendipity单元 l平面四边形8节点单元插值函数 有限元法基础 43 4.3 Serendipity单元 l三维Serendipity单元族 1) 线性单元8节点单元 有限元法基础 44 4.3 Serendipity单元 2) 二次单元20节点单元 插值函数完备到二次。 有限元法基础 45 4.3 Serendipity单元 lSerendipity插值与Lagrang
10、e插值的差异 Serendipity插值函数的多项式表示 与Lagrange插值相比少 都是二次完备，没达到三次完备。 有限元法基础 46 4.3 Serendipity单元 有限元法基础 47 4.3 Serendipity单元 lLagrange插值项 有限元法基础 48 4.3 Serendipity单元 lSerendipity插值项 有限元法基础 49 4.3 Serendipity单元 lSerendipity插值与Lagrange插值的差异 有限元法基础 50 4.3 Serendipity单元 在 边，二次变化 在 边，二次变化 单元的每条边上有三个节点，因此插值是协调的。 有
11、限元法基础 51 4.4 体积坐标 定义：四面体中任一点P的位置 由下列参数确定 有限元法基础 52 4.4 体积坐标 四面体单元族 有限元法基础 53 4.4 体积坐标 1）线性单元4节点单元 2）二次单元10节点单元 角节点 边中节点 有限元法基础 54 4.4 体积坐标 3）三次单元20节点单元 角节点 边中节点 面内节点 有限元法基础 55 4.4 体积坐标 l体积坐标的微分 复合函数求导公式 有限元法基础 56 4.4 体积坐标 l体积坐标的积分 有限元法基础 57 4.5 Hermite插值 l特点 1）多项式插值 2）节点参数包含导数，例如 3）在插值点上导数也连续 4）0阶连续
12、的Hermite插值就是Lagrange插值 有限元法基础 58 4.5 Hermite插值 l例：一维问题有n个节点，包含有2n个节点未知参数， 可唯一确定2n1次多项式的插值函数。 有限元法基础 59 4.5 Hermite插值 容易得到 其中 为Lagrange插值函数 有限元法基础 60 4.5 Hermite插值 采用 局部无量纲坐标时，端点为 有限元法基础 61 4.5 Hermite插值 l在无量纲坐标下，插值函数曲线 有限元法基础 62 4.5 Hermite插值 l二阶Hermite插值函数 有限元法基础 63 4.5 Hermite插值 l例：2节点梁单元 有限元法基础 64 4.6 五面体单元 有限元法基础 65 l线性五面体单元 单元内任意一点的坐标 用面积坐标与自然坐标结合表示 4.6 五面体单元 有限元法基础 66 l二次五面体单元 边中点的插值函数 4.6 五面体单元 有限元法基础 67 待修正的角节点插值函数 4.6 五面体单元 有限元法基础 68 其他中节点的插值函数 4.6 五面体单元 有限元法基础 69 角节点插值函数
