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1、高二 B1-2第27期 数学长廊 1 适 用 于 B 1 - 2 广告经营许可证号：2301004000015育才报 社地址：哈尔滨市道里区田地街 100 号邮编：150010 印刷： 北京世纪华彩印务有限责任公司本学期总定价： 26.00 元 编辑部质量反馈热线：0431-81041508刘老师投诉电话：0791-86855729张老师 高二 第期 27 高二 B1-2 编辑计划 陕 西 朱 小 红 广东高建彪 新中国成立后， 员怨缘圆 年首次参加在芬兰赫尔辛基 举行的第 员缘 届奥运会， 但由于种种原因， 中国运动员参 赛竞技历经波折， 只派出了 源园 人体育代表团， 成绩也不 理想，无缘
2、于奖牌. 改革开放之后， 员怨愿源 年 苑愿 月， 第 圆猿 届奥运会在美国洛杉矶举行，中国派出大型体育代 表团一行 猿缘猿 人出席了这次盛会， 中国射击运动员许海 峰取得首金的突破. 之后的历届奥运赛场上， 中国运动 员的成绩不断提高，中国逐渐迈向奥运体育强国之列. 下表是中国自 员怨愿源 年以来参加历届夏季奥运会的金牌 数与奖牌数. 序号123456 届次232425262728 年份/年 1984 1988 199219962000 2004 地点 洛杉矶汉城 巴塞 罗那 亚特 兰大 悉尼 雅典 金牌数15516162832 奖牌数322854505963 78 2930 2008201
3、2 北京 伦郭 5138 10088 根据上述数据， 结合我们所学的有关回归分析的统 计知识， 我们对于历届夏季奥运会与中国所得奖牌数能 得出怎么样的关系？如果存在着某种关系， 试对中国在 圆园员6 年的里约热内卢奥运奖牌数进行一下预测. 分析：我们可以把序号看作变量 x， 所获奖牌数看 作变量 y， 进行相关分析和预报. 解：根据分析可列下表： xi1234 yi32285450 56 5963 78 10088 由以上数据可以画出散点图如下 序号12345678 120 100 80 60 40 20 奖牌数 O 据此， 可以得出两个变量具有线性关系， 而且为 正相关， 即奖牌数有逐届增加
4、的趋势.另外， 二者之间 的相关关系中， 伴随着一种中国国力的稳步提升.故也 可以说国力的强劲发展对体育事业的发展有一定的 促进作用. 根据以上数据并结合最小二乘法可得 b = 8 i = 1 移（xi- x 軃 ） （yi- y 軃 ） 8 i = 1 移（xi- x 軃 ） 2 抑9.381， a = y 軃 - bx 軃 抑17.036. 所以线性回归方程为 y = 9.381x + 17.036. 预测在里约热内卢奥运会上， 中国的奖牌数约为 9.381 伊 9 + 17.036抑101 （块） . 故 2016 年里约热内卢奥运会上，估计中国的奖牌 数约为 101 块左右. 【点评】
5、本题巧妙地将以上复杂的关系转化为序号 与奖牌数之间的关系， 从而进行总结与预测.另外， 对判 断二者的相关关系时， 可以也利用相关系数 r 来分析. 一天， 两位同学争争吵吵的来到生物老师的面前， 一个说他的求解没有错误， 另一个也说他的解答没有 问题， 但结果却相差甚远. 老师看过后对他们的求解过 程都给予了充分的肯定， 这是为什么呢？ 问题是这样： 在研究某细菌繁殖速度时， 得到时间 （t） 与细菌个数 （y） 之间的数据如下： t1234 y2312865 68 217530 根据上表数据， 试问当时间为 员园 时， 细菌的个数 为多少？ 甲同学：首先利用相关系数法对两变量进行相关 性判
6、断， 根据以上数据可得t 軃 = 4， y 軃 = 145.5， 相关系数r= 6 i = 1 移（ti- t 軃 ）（yi- y 軃 ） 6 i = 1 移（ti- t 軃 ） 2 n i = 1 移（yi- y 軃 ） 2 姨 抑0.926 7， 可见二者之间具有很强的线性关系，可以利用最 小二乘法进行线性拟合， 于是得 b = 6 i = 1 移（ti- t 軃 ） （yi- y 軃 ） 6 i = 1 移（ti- t 軃 ） 2 抑72.29， a = y 軃 - bt 軃 = -143.66， 故 t， y 之间的线性回归方程为 y = 72.29t - 143.66. 令 t =
7、10， 得 y抑579； 乙同学：首先建立时间 t 与细菌个数 y 之间的散 点图 （略） ， 发现 y 与 t3具有线性相关关系， 于是， 我令 x = t3， 将所给数据转化为下列数表： x182764 y2312865 216512 217530 此时， x 軃 = 138， y 軃 = 145.5， 于是得 r = n i = 1 移（xi- x 軃 ）（yi- y 軃 ） n i = 1 移（xi- x 軃 ） 2 n i = 1 移（yi- y 軃 ） 2 姨 抑0.998 9， 可 见我的判断没有错误. 此时， 具有很强的线性相关性.利用最小二乘法拟 合得 b = 6 i = 1
8、 移（xi- x 軃 ）（yi- y 軃 ） 6 i = 1 移（xi- x 軃 ） 2 抑1.018， a = y 軃 - bx 軃 = 5.016， 那么 x， y 之间的线性回归方程为 y = 1.018x + 5.016. 又 x = t3， 因此， 时间 t 与细菌个数 y 之间的回归方 程 y = 1.018t3+ 5.079. 再令 t = 10， 得 y抑1 023援 这两个数据的的差别太大了， 老师： 您说我们俩谁 正确？ 老师语重心长地说道：你们俩的计算都是正确 的. 结论的可信度应该是乙的高一点，从相关系数这 一点即可以看出.但乙的做法又并不可取， 我们在学 习可性线化的
9、回归分析时， 当两个变量不具有线性相 关关系时， 可将数据进行转化.本题中的两组数据具 有线性相关关系， 因此， 我们没有必要再去对它进行 变换. 回归分析就是通过分析、 判断来确定相关变量之间的 内在关系的一种统计方法. 利 用回归直线可以对一些实际 问题进行分析、 预测， 由一个 变量的变化推测另一个变量 的变化， 它在日常生活、 工农 业生产、 国民经济等领域都有 广泛的应用. 例 员某工厂需大批生产 帐篷支援灾区， 工厂为了规定 工时定额， 需要确定加工帐篷 所花费的时间， 为此进行了 员园 次 试验， 测得的数据如下： 帐篷数x（顶）10 20 30 40 50 60 7080901
10、00 加工时间 y （小时） 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 试问： （员）y 与 x 是否具有线性相关关系？ （圆）如果 y 与 x 具有相关关系， 求线性回归方程. （猿）根据求出的线性回归方程， 预测加工 圆 园16 顶 帐篷需用几小时？ 分析：可通过计算相关系数判断 x 与 y 是否具有 相关关系， 如果二者之间具有相关关系可将有关数据代 入公式求得线性回归方程， 再利用线性回归方程求得加 工 圆园16 顶帐篷所用的时间. 解： （员）根据以上数据可得 r = 10 i = 1 移（xi- x 軃 ） （yi- y 軃 ） 10 i = 1 移（xi
11、- x 軃 ） 2 10 i = 1 移（yi- y 軃 ） 2 姨 抑0.999 8， 可以看出两个变量有很强的相关关系. （圆）设所求得线性回归方程为 y = bx + a， 由最小二乘法得 b抑0.668， a = y 軃 - bx 軃 抑54.96. 故所求得线性回归方程是 y = 0.668x + 54.96. （猿）当 x = 2 016 时， y = 1 402. 故加工 圆 园16 顶帐篷所需时间约为 员402 h. 例 圆 “阿曼德匹萨” 是一个制作和外卖意大利匹 萨的餐饮连锁店， 其主要客户群是在校大学生， 为研究 各店铺的销售额与店铺附近地区大学生人数的关系， 随 机抽取
12、十个分店的样本， 得到数据如下： 人数 售额 0.20.60.80.81.21.6222.22.6 5.810.58.811.8 11.7 13.7 15.7 16.9 14.9 20.2 （员）试对区内大学生人数与店铺的销售额的关系 进行相关性判断； （圆）试根据这些数据建立回归模型， 然后再进一步 根据回归方程预测一个区内大学生人数 员 万人店铺的 季度销售额； （猿）若店铺的季度销售额低于 员园 万元则亏损， 试 求建店区内大学生人数至少约多少人？ 分析：先根据表中的数据作相关判断， 然后判断是 否具有相关关系， 再根据所给的数据解出线性回归方程， 最后进行预测. 解：（员）根据数据我们
13、对区内大学生人数 x 与店 铺季度销售额 y 作相关检验. 根据数据可得 r = 28.4 5.68 伊 157.3姨 抑0.95. 可以得出两个变量之间有很强的线性相关关系援 （圆）由最小二乘法可得 b = 28.4 5.68 = 5， a = 13 - 5 伊 1.4 = 6， 因此线性回归方程是 y = 5x + 6. 当 x = 1 时， y = 5 伊 1 + 6 = 11， 即区内大学生人数 员 万人店铺的季度销售额约 员员 万元； （猿）由线性回归方程是 y = 5x + 6.令 y逸10， 解得 x 逸0.8， 所以当建店区内大学生人数至少 愿 园园园 人时才 适合建店. 山西
14、刘大洪 江西廖长春 河南周冰 在对变量 曾 与 赠 进行相关关 系判断时， 常规方法是借助散点图 来判断， 本文介绍另外一种新的方 法相关系数 则 来衡量两个变 量之间的线性相关关系. 一、公式亮相 r= n i = 1 移xiyi -nx 軃 y 軃 n i = 1 移xi2-nx 軃 2 姨 n i = 1 移yi2 -ny 軃 2 姨 （曾蚤不全相等且 赠蚤也不全相等） 员. 具体用途：用来衡量两个 变量之间的线性相关程度. 圆. 相关性质：|r|臆员，当 r 跃 0 时， 表明两个变量正相关， 当 r 约 0 时， 表明两个变量负相关且与相关 系数 b 的符号具有一致性； r 的绝 对
15、值越接近于 员，表明两个变量线 性相关性越强， r 的绝对值越接近 于 园，说明两个变量几乎不存在线 性相关关系. 猿. 注意事项：讨论两个变量 是否线性相关， 一般需利用相关系 数 r （或散点图） 进行相关性判断， 在确认线性相关后， 再 求回归直线，即把非确定性问题转化成确定性问题援 但 不具有相关性的两个变量的相关系数无意义. 二、锋芒小试 例下表给出的 x， y 之间的一组数据： 试求变量 x， y 之间的线性回归方程. x01234 y02541 解：根据以上数据， 由最小二乘法可得 b = 0.4， a = y 軃 - bx 軃 = 2.4 - 0.4 伊 2 = 1.6， 故所
16、求线性回归方程为 y = 0.4x + 1.6. 反思：回归方程的建立必须具有实际意义， 为保证 我们建立的线性回归方程有意义， 对变量 曾， 赠 必须进行 相关性检验， 否则线性回归方程无意义.可以画散点图， 也可以计算相关系数. 根据以上数据， 求得相关系数 r = 5 i = 1 移xiyi- nx 軃 y 軃 5 i = 1 移xi 2 - 5x 軃 2 姨 5 i = 1 移yi 2 - 5y 軃 2 姨 抑0.305， 可以看出变量 x， y 之间不具有线性相关关系， 没有 必要用回归直线进行拟合， 即使用样本数据求得线性回 归方程 y = 0.4x + 1.6 也是没有意义的. 对此， 我们可以看出， 在进行线性拟合过程中， 一定要 先判断二者是否具有相关性， 判断方法多采用散点图或相 关系数法， 但在准确程度上， 相关系数更胜一筹. 安 徽 谢 长 智 回归分析是新课标下新增的内容， 以下我们从相关 关系入手， 循序渐进地认识一下回归分析. 一、相关关系 相关关系是学习回归分析的必要前提， 我们可以从 以下三个方面来加以认识： 员. 相关关系与函数关系不同
