大学物理简谐运动讲解

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1、第十四章 机械振动14 1 简谐运动 机械振动 与机械波 第十四章 机械振动14 1 简谐运动 振动和波动是物质的基本运动形式，是自然界 的普遍现象，在力学中有机械振动和机械波， 在电磁学中有电磁振荡和电磁波，声是机械波 ，光是电磁波，近代物理研究表明，一切微观 粒子都具有波动性 尽管在物质不同的运动形式中，振动 与波动的具体内容不同，本质不同，但在形式 上它们具有相似性，都遵循相同的运动规律， 都能用相同的数学方法描述，这说明不同的振 动与波动之间具有共同的特性。 本篇讨论机械振动和机械波的基本规律，它是 其它振动与波动的基础 第十四章 机械振动14 1 简谐运动 振动和波动物质的基本运动形

2、式 机械振动和机械波 电磁振荡和电磁波 声（机械波） 光（电磁波） 微观粒子的波动性 机械振动：物体在一定 的位置附近做来回往复 的运动。 振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近 作周期性的变化。 波动：振动状态在空间 的传播。 第十四章 机械振动14 1 简谐运动 任一物理量在某一定值附近往复变化 振动. 机械振动： 物体围绕一固定位置往复运动. 例如一切发声体、心脏、海浪起伏、地震 以及晶体中原子的振动等. 简谐运动： 最简单、最基本的振动. 本章研究：简谐运动 简谐运动复杂振动 合成 分解 第十四章 机械振动14 1 简谐运动 3-1 简谐运动 3-1-1 简谐运动 一、何为简谐运动？

3、 如果一个物体的运动方程的形式为 二、简谐运动的分析 最典型的简谐运动弹簧振子的振动 弹簧振子的振动 1、受力特征 线性恢复力，谐振特征力 令 2、动力学方程 3、运动方程 4、速度 5、加速度 6、运动图线 图 图 图 取 一 振幅 二 周期、频率 周期 图 3-1-2 简谐运动的特征量 弹簧振子周期 周期和频率仅与振动 系统本身的物理性质 有关 注意 频率 圆频率 “固有周期” “固有频率” 1） 存在一一对应的关系 ; 2）相位在 内变化，质点无相同的 运动状态； 三 相位 3）初相位 描述质点初始时刻的 运动状态. 相位一定，振动状态唯一确定 图 四 常数 和 的确定 初始条件 对给定

4、振动系统，周期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定. 取 已知 求 讨论 3-1-3 旋转矢量法 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动. 当 时 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动. 时 旋转 矢量 的 端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动. 例题 14 3 旋转矢量 例.一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为T ，其运动方程用余弦函数表示若t = 0时， (1) 振子在负的最大位移处，则初相为 _； (2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初相为 _； (3)振子在位移为A/2处，且向负方向运动，则初 相为_

5、 (4)振子在位移为-A/2处，且向正方向运动，则 初相为_ (5)写出以上四种情况的运动方程 6.2 14 3 旋转矢量 14 3 旋转矢量 例2 一质量为 的物体作简谐运动，振幅 为 ，周期为 ，起始时刻物体在 处，向 轴负方向运动（如图）. 试求 （1） 时，物体所处的位置和所受的力 （2）由起始位置运动到 处所需要 的最短时间. 例2 一质量为 的物体作简谐运动，振幅 为 ，周期为 ，起始时刻物体在 处，向 轴负方向运动（如图）. 试求 （1） 时，物体所处的位置和所受的力 解（1）先求运动方程 设 代入上式得 （2）由起始位置运动到 处所需要 的最短时间. 法一 设由起始位置运动到

6、处所 需要的最短时间为 解法二，由旋转矢量判断 起始时刻 时刻 例1 如图，一轻弹簧连着一物体，弹簧的劲 度系数 ，物体的质量 . （1）把物体从平衡位置拉到 处停 下再释放，求简谐运动方程； （3）如果物体在 处时速度不等于 零，而是具有向右的初速度 ， 求其运动方程. （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度； 0.05 解 （1） 由旋转矢量图可知 解 由旋转矢量图可知 （负号表示速度沿 轴负方向） （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时 的速度； 解 （3）如果物体在 处时速度不等于 零，而是具有向右的初速度 ，求 其运动方程. 因为 ，由旋转矢量图可知 对给定振动系统，周

7、期由系统本身性质 决定，振幅和初相由初始条件决定. 相位差：两个简谐运动的相位之差 . 对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们步 调上的差异. 同步反相 为其它 超前 落后 14 3 旋转矢量 精析6.8 已知两个简谐振动曲线如图所示x1 的相位比x2的相位超前_ O x x1 t x2 /2 O -A A 1 2 例，两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同 、周期相同第一个质点的振动方程为 x1 = Acos(wt + a)当第一个质点从正位移处回到 平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处求 第二个质点的振动方程 精析6.1 14 3 旋转矢量 精析 6.6一质点沿x轴作简谐振动，振动方程

8、为 (SI) 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x轴正方向运动的最短时间间隔为 例，两个弹簧振子的周期都是0.4 s， 设开始时 第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5 s 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动， 则这两振动的相位差为_ 14 3 旋转矢量 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能 守恒 以弹簧振子为例 （振幅的动力学意义 ） 3-1-4 简谐运动的能量 简 谐 运 动 能 量 图 4 T 2 T 4 3T 能量 简谐运动势能曲线 简谐运动能量守恒，振幅不变 例 质量为 的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为 ，求 ： （1）振动的周期；

9、 （2）通过平衡位置的动能； （3）总能量； （4）物体在何处其动能和势能相等？ 解 （1） （2） （3） （4）时， 由 第十四章 机械振动14 5 简谐运动的能量 第十四章 机械振动 例1、底面积为 S 的长方形木块，浮于水面，水 下部分高度为 a，用手按下 b 后释放， 1）证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动 2）求振动周期。 一个物体的运动形式是由它的受力决定 的，关键是看它的受力是否是简谐振动的特征 力即线性恢复力。 分析：如何判断一个物 体是否做简谐振动？ 第十四章 机械振动 对物体进行受力分析，若符合线性恢复力 的形式，则物体一定做简谐振动 以物体的平衡位置为坐标原点，沿运动

10、方 向建立坐标 列出动力学方程，求出通解 x 根据 ，确定和T，根据初始条 件确定A和，最终确定运动方程 1）证明：平衡时 任意位置x 处，合力 以平衡位置为坐标原点建坐标 木块运动为谐振动 第十四章 机械振动 2）木块的运动微分方程为 一质点按如下规律沿x轴作简谐振动： (SI) 求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加 速度最大值 解：周期 ， 振幅 A = 0.1 m， 初相 = 2p/3， vmax = w A = 0.8p m/s ( = 2.5 m/s )， amax = w 2A = 6.4p2 m/s2 ( =63 m/s2 ) 一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位 置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移 处到最大位移处这段路程所需要的时间是多少 ？ 14 3 旋转矢量 6.19 两个同方向简谐振动的振动方程分别为 (SI), (SI) 求合振动方程 精析6.19 一质点沿x轴作简谐振动，振动方程为 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm处，且向 x轴正方向运动的最短时间间隔？ 14 3 旋转矢量 6 .3 一个质点沿X轴做简谐振动，运动学方程为 x = 0.01cos(8 t + 2 / 3)（SI）。 求此振动的振幅、周期、速度的最大值和加速 度的最大值。 14 3 旋转矢量 解 第十四章 机械振动14 1 简谐运动