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1、十二年考研数学（数学二） 真题 20012012 十二年的考研的数学真题 谨以此奉献给考研路上的仁人志士们。让我们一起 为理想而奋斗吧！ 中南林 09 环境科学一班丁咸庆 2012/04/26 说明说明：所有文字资料均来源于互联网，如有雷同，实属巧合。仅个人非商业用途使 用，不承担任何出版法律责任。Explanation:allthe text material areallderived from the Internet.Personal non-commercial useonly, do not assume any legal liability published. Dreamin
2、g without hard work have never amountto anything. Many people fail before they even begin because they failto ask for what theywant！ ！ ！ Twelve years mathematic papers for The postgraduate entrance exam(mathematical 2) 1 20122012 年年 硕士研究生入学统一考试硕士研究生入学统一考试 数学数学二二考试大纲考试大纲 考试科目：高等数学、线性代数 考试形式和试卷结构考试形式和
3、试卷结构 一、试卷满分及考试时间一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟 二、答题方式二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构三、试卷内容结构 高等教学约 78线性代数约 22% 四、试卷题型结构四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题8 小题，每小题 4 分，共 32 分 填空题6 小题，每小题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题）9 小题，共 94 分 高等数学高等数学 一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函 数基本初等函数的性质及其图
4、形初等函数函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两 个重要极限： 0 sin lim1 x x x =， 1 lim 1 x x e x += 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质 考试要求 1理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系 2了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5理解
5、极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系 6掌握极限的性质及四则运算法则 7掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 8理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限 9理解函数连续性的概念（含左连续与右连续） ，会判别函数间断点的类型 10了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小 值定理、介值定理） ，并会应用这些性质 二、一元函数微分学二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面
6、曲线的切线 2 和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的 函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（LHospital）法则函数单调性 的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值弧微 分曲率的概念曲率圆与曲率半径 考试要求 1理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和 法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系 2掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则， 掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运
7、 算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分 3了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数 4会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数 5理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理，了解并会用 柯西( Cauchy ）中值定理 6掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 7理解函数的极值概念， 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值 的求法及其应用 8 会用导数判断函数图形的凹凸性 （注：在区间(),a b内，设函数( )f x具有二阶导数 当( )0fx时， ( )f x的图形是凹的
8、；当( )0fx=+，则数列 n S有界是数列 n a收敛的 () (A) 充分必要条件(B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件(D) 非充分也非必要 (4) 设 2 0 sin d ,(1,2,3), k x k Iex x k = 则有 () (A) 123 III(C) 1212 ,xxyy，x为自变量x在 0 x处的增量，y与dy 分别为( )f x在点 0 x处对应的增量与微分，若0x ，则 （A）0.dyy, 使得 （A）( )f x在(0,)内单调增加. （B）( )f x在(, 0)内单调减小. （C）对任意的(0,)x有( )(0)f xf. （D）对任意的(,0)x
9、有( )(0)f xf. （11）微分方程 2 1 sinyyxx + =+ +的特解形式可设为 （A） 2 ( sincos )yaxbxcx AxBx=+ +. （B） 2 (sincos )yx axbxcAxBx=+ +. （C） 2 sinyaxbxcAx=+ +. （D） 2 cosyaxbxcAx=+ + （12）设函数( )f u连续, 区域 22 ( , )2Dx y xyy=+, 则() D f xy dxdy 等于 （A） 2 2 11 11 () x x dxf xy dy . （B） 2 22 00 2() y y dyf xy dx . （C） 2sin 2 00
10、(sincos )df rdr . （D） 2sin 2 00 (sincos )df rrdr （13）设A是 3 阶方阵, 将A的第 1 列与第 2 列交换得B, 再把B的第 2 列加到第 3 列得C, 则满足AQC=的可逆矩阵Q为 （A） 010 100 101 . （B） 010 101 001 . （C） 010 100 011 . （D） 011 100 001 . （14）设A,B为满足0AB =的任意两个非零矩阵, 则必有 （A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
11、（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关. 三三. 解答题（本题共解答题（本题共 9 小题，满分小题，满分 94 分分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） （15） （本题满分 10 分） 求极限 3 0 12cos lim1 3 x x x x + . （16） （本题满分 10 分） 设函数( )f x在（, +）上有定义, 在区间0, 2上, 2 ( )(4)f xx x=, 若对任意 的x都满足( )(2)f xk f x=+, 其中k为常数. ()写出( )f x在 2,0上的表达式; ()问k为何值时, ( )f x在0x
12、=处可导. （17） （本题满分 11 分） 设 2 ( )sin x x f xt dt + =,()证明( )f x是以为周期的周期函数;()求( )f x的值域. （18） （本题满分 12 分） 曲线 2 xx ee y + =与直线0,(0)xxt t=及0y=围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x 轴旋转一周得一旋转体, 其体积为( )V t, 侧面积为( )S t, 在xt=处的底面积为( )F t. ()求 ( ) ( ) S t V t 的值; ()计算极限 ( ) lim ( ) t S t F t + . （19） （本题满分 12 分） 设 2 eabe=aea，则该曲线上相
13、应于从 0 变到2的一段弧与极轴所 围成的图形的面积为_. （5 5 5 5） 设为 3 维列向量， T 是的转置. 若 = 111 111 111 T ，则 T =. （6 6 6 6） 设三阶方阵 A,B 满足EBABA= 2 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若 = 102 020 101 A，则 B=_. 二、选择题二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求， 把所选项前的字母填在题后的括号内） （1 1 1 1）设, nnn cba均为非负数列，且0lim= n n a,1lim= n n b,= n n clim,则必有
14、(A) nn baII(B).1 21 II (C). 1 12 II(D).1 12 II （6 6 6 6）设向量组 I： r , 21 可由向量组 II： s , 21 线性表示，则 (A) 当sr时，向量组 II 必线性相关. (C) 当sr时，向量组 I 必线性相关. 三 、 （本题满分三 、 （本题满分 10101010 分）分） 设函数 , 0 , 0 , 0 , 4 sin 1 , 6 , arcsin )1ln( )( 2 3 = = += +t du u e y tx t u 所确定，求. 9 2 2 =x dx yd 五 、 （本题满分五 、 （本题满分 9 9 9 9
15、分）分） - 3 - 计算不定积分. )1 ( 2 3 2 arctan dx x xe x + 六 、 （本题满分六 、 （本题满分 12121212 分）分） 设函数 y=y(x)在),(+内具有二阶导数，且)(, 0yxxy=是 y=y(x)的反函数. (1)试将 x=x(y)所满足的微分方程0)(sin( 3 2 2 =+ dy dx xy dy xd 变换为 y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 )0(, 0)0(=yy的解. 七 、 （本题满分七 、 （本题满分 12121212 分）分） 讨论曲线kxy+=ln4与xxy 4 ln4 +=的交点个数. 八 、 （本题满分八 、 （本题满分 12121212 分）分） 设
