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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 (I)(I) 主要内容： 2.1 基本概念 2.2 微分方程的建立 2.3 传递函数 2.4 动态结构图（方框图） 2.5 动态结构图的等效变换求传递函数 2.6 信号流图和梅逊增益公式 2.7 控制系统的典型传递函数 2.8 典型环节的传递函数 2.1 2.1 基本概念基本概念 一、控制系统数学模型的定义 描述系统输入与输出动态关系的数学表达式描述系统输入与输出动态关系的数学表达式。 二、建立控制系统数学模型的意义 数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。数学模型是进行控制系统性能分析的前提条件。 三、建立控制系统数学模型的方法 1 1、
2、理论建模、理论建模* 2* 2、试验建模、试验建模3 3、系统辨识、系统辨识 四、控制系统数学模型的几种形式 1 1、微分方程、微分方程2 2、传递函数、传递函数* 3* 3、频率特性、频率特性* * 2.2 微分方程的建立 2.2.1 微分方程的建立 实例：无源电网络模型、机械位移、机械旋转、直流电动机系统 2.2.2 控制系统数学模型特征 1、微分方程的阶数等于整个系统中蓄能元件的个数； 2、同一个系统，选择不同输入或输出信号，微分方程的形式则不同； 3、数学模型存在的共性是系统性能仿真研究的理论依据(相似系统)。 2.2.3 非线性模型的线性化 1、线性模型的特征：齐次性和叠加性 2、非
3、线性模型线性化问题的提出：理论研究和工程应用的需要 3、线性化的基本方法：静态工作点附近线性化（级数展开） 4、液位系统线性化模型求取应用实例 课后练习一 无源电网络模型实例 要求：确定图示无源电网络的输入ur(t) 和输出uc(t)之间的数学模型； 求解： Step1.依据回路电压定律，设置中间变 量回路电流i(t)，从输入到输出 建立微分方程组； Step2.代入消元，消除中间变量i(t)，获仅含输入输出变量的线性连续微分 方程。化微分方程为规范结构形式 R L C)(tur)(tuc + _ + _ )(ti = =+ (t)ui(t)dt C 1 (t)ui(t)dt C 1 Ri(t
4、) dt di(t) L c r (t)(t)u u(t)(t)u u dtdt (t)(t)dudu RCRC dtdt (t)(t)u ud d LCLC r rc c c c 2 2 c c 2 2 =+ 机械位移实例 要求：确定图示外力发F(t)(输入)与质量模块 m的位移y(t)(输出)之间的数学模型； 求解： Step1.依据运动学定律 F = m a，建立微分 方程组 Step2.获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。化微分方程为规范 结构形式 )(tF m )(ty f k F(t)ky(t) dt dy(t) f dt y(t)d m 2 2 =+ (t)F(t)FF(t)
5、dt y(t)d m kB 2 2 = dt dy(t) f(t)FB= ky(t)(t)Fk= 机械旋转实例 要求：确定图示动力矩Mf(输入)与物体旋转角 度或角速度(输出)之间的数学模型； 求解： Step1.依据运动学定律，作用力矩=反作用力 矩，M = J a，建立微分方程组。 Step2.获仅含输入输出变量的线性连续微分方程。化微分方程为规 范结构形式 f M f f 2 2 M dt d f dt d 角位移方程：角位移方程：J=+ f f M Mf f dtdt d d 角速度方程：角速度方程：J J=+ f f 2 2 2 2 M M dtdt d d f f dtdt d d
6、 J J=+ f f M Mf f dtdt d d J J=+ 直流电动机系统实例 要求：确定直流电动机电枢两端电压和转速之间的数学模型。 求解：依据 基尔霍夫定律； 运动学定律； 直流发电机相关定律。 建立微分方程组 电网络平衡方程 电动势平衡方程 机械平衡方程 转矩平衡方程 a R a L a I a E a U f U f i a M a J L M aaaa a a UEIR dt dI L=+ KE ea = Laa MM dt d J= aCa IKM= ae C aa 2 2 C aa U K dt d K RJ dt d K LJ =+ （空载Ml=0） 当时，有 则函数y=
7、f(x)在A点附近可以展开成泰勒级数 线性化的基本方法(微偏线性化) )( 00 xfy = xxx+= 0 yyy+= 0 L+ += = 2 000 )( ! 2 1 )()( )( xxfxxfxf xfy 略去高次项， xxfxfxfyyor xxfxfxfy = += )()()( )()()( 000 00 xxfy=)( 0 已知 即 略去增量符号，则非线性函数在预定工作点A的线性化方程为 kxxxfy=)( 0 液位系统线性化模型求取应用实例 求取过程求取过程 确定系统的输入和输出确定系统的输入和输出 建立原始方程组建立原始方程组 非线性模型线性化非线性模型线性化 系统微分方程
8、的求取系统微分方程的求取 )(th)( 2 tq )( 1t q (t);q(t)q dt dh(t) C 21 =; ;h(t)h(t)(t)(t)q q 2 2 = h(t) R 1 (t)q(t)hh(t) R 1 (t)q(t)q (t)hh(t) dt (t)dq (t)q(t)q h(t) (t)q 20202 0(t)q 2 202 2 20 = += = (t)Rqh(t) dt dh(t) RC 1 =+(t)q(t)q dt (t)dq RC 12 2 =+ 无源电网络模型 R L C)(tur)(tuc + _ + _ )(ti (t)(t)u u(t)(t)u u dt
9、dt (t)(t)dudu RCRC dtdt (t)(t)u ud d LCLC r rc c c c 2 2 c c 2 2 =+ 机械位移模型 )(tF m )(ty f k F(t)ky(t) dt dy(t) f dt y(t)d m 2 2 =+ 相似系统 课后练习一 p 习题习题1 建立图示电网络输入电压和输建立图示电网络输入电压和输 出电压之间的微分方程。出电压之间的微分方程。 p 习题习题2 建立图示初箱输入流量和末建立图示初箱输入流量和末 箱水位之间的微分方程。（两个箱水位之间的微分方程。（两个 水箱的横截面积分别为水箱的横截面积分别为C1和和C2） L 1 R 2 R C r u c u + _ + _ 1 u _ 1 h r q c q 2 h 1 R 0 q 2 R )()()()()()( 112121 tuRtuRtuLCRRtuLCRR rccc =+& & )()()()()( 22212221122121 tqRththCRCRCRthCCRR r =+ & &
