2-第2讲流体动力学基础

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1、1 第第 3 章章 流体动力学基础流体动力学基础 本章包括流体运动学和流体动力学两部分内容。 流体运动学仅仅研究流体运动的方式和 状态，比如流速、加速度、位移等随空间与时间的变化等。如果涉及到流体运动的原因和条 件，则属于流体动力学范围，比如引起流体流动的作用力、力矩、动量和能量等。 流体的流动必须满足质量守恒定律、 动量守恒定律和能量守恒定律。 本章重点是利用这 些守恒定律推导出适用于流体流动的控制方程，即连续性方程、欧拉方程、伯努利方程、动 量方程、动量矩方程等，并讨论这些方程的具体应用。 第第1节节 流体运动的描述方法流体运动的描述方法 一股清新的空气自窗口吹进，怎样去描述这股风的流动呢

2、？研究流体流动的规律，首 先要建立描述流体运动的方法。表达流体流动的过程与方式有两种方法，一是拉格朗日 (Lagrange)法，二是欧拉(Euler)方法。 1、 拉格朗日法 拉格朗日法又称质点跟踪法， 着眼于流体内部各个质点的运动情况。 这个方法是瑞士科 学家欧拉首先提出的，后被法国科学家 J.L.拉格朗日作了完善的表述和具体运用。 拉格朗日法是将整个流体的流动当成许多流体质点运动的总和来进行研究的。 这一方法 需要考察每一个质点在运动过程中的轨迹、速度、加速度以及相应流动参数的变化等，然后 再汇总起来研究整体的流动情况， 这实际上是用理论力学中质点系动力学的方法来研究流体 的运动。若以某一

3、确定的流体质点为研究对象，其起始位置（0t时）为),(cba，在任 一时刻 t 的位置为),(zyx，则有 ),( ),( ),( tcbazz tcbayy tcbaxx （3-1） 式中，a、b、c称为拉格朗日变量，对某一具体的质点，起始坐标a、b、c为常数，x， y，z 将仅仅是时间 t 的函数， （3-1）式所表达的就是这个质点的运动轨迹。如果 t 取定值， 而a、b、c取不同的值， （3-1）式便表示了某一时刻 t 所有的流体质点的分布情况。 采用拉格朗日法求流体质点的速度，可直接对（3-1）式求导即可，即有 dt tcbadz w dt tcbady v dt tcbadx u )

4、,( ),( ),( （3-2） 式中，u，v，w 分别为流体质点沿 x，y，z 方向的分速度。 由于有无限多的流体质点， 必须选择有代表性的质点进行逐一的研究， 所建立的数学方 程组很大，求解也比较困难，故除特殊情况外，一般很少使用。 2、 欧拉法 2 流体是由无穷多的流体质点组成的连续介质， 流体的流动也是由整个流域中这无限多流 体质点的运动所构成，我们把这个空间称为流场。 鉴于拉格朗日方法的困难性， 我们采用另外的方法对流体流动进行研究。 比如在天气预 报中，需要监测大气的流动，包括大气的温度、流速、流动方向等，并计算其发展趋势。所 采用的方法就是设置许多观测站，在 t 时刻，各观测站汇

5、报当地的气流情况，过t时刻， 再汇报当地的气流情况，然后根据tt时刻的参数与t时刻参数的比较，包括甲地本身随 时间的变化，以及甲地与乙地的差别，预测下一时刻的发展趋势。这种不是跟着气流跑，而 是通过设置许多观测站进行空间整体监测的方法，就是场的方法，也称为欧拉方法。 在研究流体的流动问题时，大多采用欧拉方法。其要点如下： (1) 分析流动空间某固定位置处流体的运动参数（速度、压强等）随时间的变化规律； (2) 分析由某一空间位置转移到另一空间位置时，运动参数（速度、压强等）随空间的 变化规律； 欧拉法着眼于整个流场的流动状态， 而不是个别质点的运动， 研究的是表征流场内部流 动特性的各个物理量

6、，如速度分布、压力分布和密度分布等，并把这些物理量表示为空间坐 标 x，y，z 和时间 t 的函数，既有 ),( ),( ),( tzyxww tzyxvv tzyxuu （3-3） 以及 ),(tzyxpp （3-4） ),(tzyx （3-5） 式中 x、y、z 和 t 称为欧拉变量。 3、 全导数 式（3-3）是欧拉法的三个速度分量表达式，分别对时间求导数，即可得到三个加速度 分量。这里要注意，速度是坐标和时间的函数，运动质点的坐标 x，y，z 也随时间变化，必 须用复合函数的求导法则进行求导。 加速度在 x 方向的分量为 dt dz z u dt dy y u dt dx x u t

7、u dt du ax （3-6） 式中， dt du 称为 u 对时间 t 的全导数，也称为全微分或物质导数。由于 w dt dz v dt dy u dt dx , 代入（3-6）式，有 z u w y u v x u u t u ax （3-7） 同理有 z v w y v v x v u t v ay （3-8） 3 z w w y w v x w u t w az （3-9） 这三个式子可写成矢量形式为 VV t V a )( （3-10） 式中 z k y j x i 是一个矢性算子，称为哈密尔顿算子。 注注 1：用欧拉法描述流体的运动时，加速度由两部分组成： t V 在固定点处的速

8、度变化率，称为当地加速度； VV )(由于空间位置发生变化而引起的速度变化率，称为迁移加速度。 问题讨论：问题讨论：水在一渐缩管道中做定常（与时间无关）的流动如图 3-1 所示。问某截面处 水流的加速度是否为零？（否，当地加速度为 0，但迁移加速度不等于 0） 在图示的渐缩管道中，入口处平均流速为 0 V，入口处断面面积为 4 2 0 D A 设 x 轴坐标原点在入口中心处，则在坐标为 x 处的截面积为 22 )2( 4 )( 4 kxDx L dD DAx 式中，k 为锥管壁面的斜率。则由连续性方程，任一截面处的平均流速 u 为 0 2 2 22 0 00 )2( )2( 44 V kxD

9、D u kxDuDV uAAV x 则在 x 处，流体质点的全导数为 D d u x O x V0 L 图 3-1 渐缩管道内的加速度 4 2 0 5 4 32 2 0 2 )( 2 )2( 4 )2( )( V x L dD D D L dD kxD k kxD VD x u u dt du 显然，全导数不为 0。在渐缩管道出口处，x = L，质点的加速度为 d V d D L dD dt du a Lxx 2 0 4 )(2| 注注 2：用欧拉法求质点的其它物理量的时间变化率时，形式是相同的，例如压强的变化 率为 z p w y p v x p u t p dt dp 也分为当地变化率与迁

10、移变化率两部分。 第第2节节 关于流场的一些基本概念关于流场的一些基本概念 1、 定常流动与非定常流动 在流场中，若所有流体质点的各个物理量都不随时间而变化，这种流动称为定常流动。 此时，各物理量仅仅是空间坐标的函数，而与时间无关，各物理量对时间的偏导数均为零。 在流场中，若在任一点上的流体质点，其某个物理量随时间而变化，这种流动称为非定 常流动。此时，各物理量不仅是空间坐标的函数，还是时间的函数，此物理量对时间的偏导 数不为零。 2、 迹线(Pathline) 将某一流体质点 M 在流场中连续占据的位置连成线，就是质点 M 的迹线，如图 3-2 所 示。迹线就是流体质点 M 的运动轨迹。这里

11、强调一下，迹线是同一个质点，不同的时间所 形成的线。在迹线上取微元线段l d表示该质点在 dt 时间内的微小位移，则其速度为 kwj vi u dt l d V dt dz w dt dy v dt dx u, 则有 dt w dz v dy u dx （3-11） 这就是迹线方程，表示 M 点的轨迹。 V 流线 l d B 图3-3 流场中的一条流线 V 迹线 l d 图 3-2 流体质点的迹线 5 3、 流线(Streamline) 某一时刻 t，在流场中做出一条曲线，使位于这条曲线上所有流体质点的速度矢量都与 这条线相切，则这条曲线就是流场中的一条流线。这里强调一下，流线是在同一个时刻由

12、不 同的点连线而成，由此对比流线与迹线的不同。 流线只表示某一时刻 t，许多位于这一流线上的流体质点的运动情况，而不是某一个流 体质点的运动轨迹。因此如果在这条曲线上某点 B 处也取一微元线段l d，它并不表示某个 流体质点在 B 处的位移，当然也就不能以此求出速度表达式了。 由流线的定义， 曲线上某点处也取一微元线段l d， 则l d与该点处的速度矢量V 平行， 由此得到 w dz v dy u dx l dV 0 （3-12） 这就是流线方程。由于式中的l d不是位移，所以它并不表示某一个流体质点的运动轨迹。 它是和照相一样，给出了某一瞬间 t 一些流体质点的运动图像。 流线具有如下的性质

13、： （1） 一般情况下，流线不能相交，也不能突然转折，流线只能是一条光滑的曲线。因 为若两条流线相交则在交点处产生速度的不确定性问题。 若两条流线相交于 A 点，如图 3-4 所示，则在 A 点的质点同时有两个运动方向，这显 然是不能成立的。同理，流线也不能突然转折，故只能是一条光滑的曲线或直线。 注：流线可能相交在驻点或流场中的奇点处。注：流线可能相交在驻点或流场中的奇点处。 （2） 流场中每一点都有流线通过，流线充满整个流场。 （3） 在定常流动条件下，流线的形状和位置不随时间变化；在非定常流动条件下，流 线的形状和位置一般是随时间而变化的。 （4） 对于定常流动， 流线和迹线重合； 对于

14、非定常流动， 流线和迹线一般是不重合的。 4、 流面、流管 在流场中取一条曲线（不是流线） ，则过曲线上的所有流线组成的面称为流面，流面上 每一点的流速与流面相切。 若所取的曲线为一条非流线的封闭曲线， 则过此封闭曲线上的所 有流线就组成了一个管道，称为流管。 按照流线不能相交的特性，流管就相当于一个刚性的管道，里面的流体流不出来，外部 的流体也流不进去。 流线 A 图 3-4 流线不能相交 6 流管可由无数微小流管组成，如图 3-6 所示。微小流管中的流体称为元流，任意大小流 管中的流体称为流束，由无数元流组成的整股流体（如管道中的水流）称为总流。 5、 过流断面，流量与平均流速 垂直于流线

15、的断面称为过流断面，过流断面可以是平面，也可以是曲面，如图中虚线所 示。显然，当流线互相平行时，过流断面为平面，否则为曲面。 单位时间内通过某一过流断面的流体体积称为流量，一般用 Q 表示。单位为sm / 3 。 对于元流，由于过流断面很小，可认为在过流断面 dA 上各点的流速相等，均为 u。方 向与过流断面相垂直，则 dt 时间内通过 dA 的流体体积为 udAdt，从而单位时间内通过 dA 的流体体积即元流流量为 udAdQ 总流的流量 Q 是元流流量 dQ 的积分，有 A udAdQQ （3-13） 在同一个过流断面上流体质点的流速往往是不相等的，用（3-13）式来计算流量，需要 确定过流断面上的速度分布， 这在实际工程中很困难。 为此引入过流断面平均流速